Logique, ensembles

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Pour le 22/09/2014
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
DM no2 : Logique, ensembles
Exercice –Systèmes complets de connecteurs
Un ensemble Sde connecteurs logiques est dit complet si toute formule propositionnelle est équivalente à une formule
pouvant s’écrire uniquement à l’aide de ces connecteurs. Ainsi, par construction-même, {¬,∧,∨,=⇒} est un système
complet de connecteurs.
On dit qu’il est complet minimal si quel que soit le connecteur qu’on enlève du système, le système obtenu n’est plus
complet.
1. Exprimer A=⇒Bà l’aide des connecteurs ¬,∧,∨. Le système complet {¬,∧,∨,=⇒} est-il minimal ?
2. Justifier que {¬,∧,∨} est un système complet non minimal.
3. (a) Justifier que toute formule ne faisant intervenir que le connecteur ∨est satisfaite par la distribution de
vérité prenant la valeur Vpour toute variable propositionnelle.
On pourra raisonner par récurrence sur le nombre de symboles de connecteur de la formule.
(b) En déduire que le système {¬,∨} est un système complet minimal de connecteurs.
(c) Démontrer que même que {¬,∧} est un système complet minimal de connecteurs.
4. On définit deux connecteurs logiques, appelés barres de Sheffer, et correspondant au NON-ET (NAND) et NON-
OU (NOR) par :
A|
∧B=¬(A∧B)et A| ∨B=¬(A∨B)
(a) Donner une formule simple équivalente à A|
∧Aet à A| ∨A.
(b) Montrer que {|
∧}et {| ∨}sont deux systèmes complets de connecteurs.
Il est assez remarquable de pouvoir écrire toutes les formules de la logique propositionnelle avec un seul connecteur !
Évidemment, en pratique, ce serait très compliqué à lire !
Problème –Lemme de classe monotone
Le but de ce problème est d’établir le lemme de classe monotone, aussi appelé lemme λ-πde Dynkin. Ce lemme est
à la base de la démontration du fait que la fonction de répartition d’une variable aléatoire caractérise la loi de cette
variable aléatoire, et d’autres résultats similaires en théorie de la mesure.
Soit Ωun ensemble. Pour tout A⊂Ω, on note Ason complémentaire dans Ω. On appelle σ-algèbre (ou tribu) sur Ω
un sous-ensemble Ade P(Ω) tel que :
•Ω∈ A
•si A∈ A, alors A∈ A
•pour toute famille (An)n∈Ntelle que pour tout n∈N,An∈ A, on a aussi [
n∈N
An∈ A.
On appelle classe monotone (ou λ-système) un sous-ensemble Mde P(Ω) tel que :
•Ω∈ M
•si Aet Bsont dans M, et A⊂B, alors B\Aest aussi dans M.
•pour toute famille (An)n∈Ntelle que pour tout n∈N,An∈ A, et croissante pour l’inclusion (c’est-à-dire telle que
pour tout n∈N,An⊂An+1), on a aussi [
n∈N
An∈ A.
Partie I – Autour des σ-algèbres
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1. Montrer que P(Ω) est une σ-algèbre. Quelle est la plus petite σ-algèbre sur Ω?
2. (a) Soit Aune σ-algèbre. Montrer que :
(i) ∅∈ A
(ii) si Aet Bsont dans A, alors A∪Baussi
(iii) si Aet Bsont dans A, alors A∩Baussi
(iv) si (An)n∈Nest une famille d’éléments de A, alors \
n∈N
Anest aussi dans A.
3. Montrer que si (Ai)i∈Iest une famille de σ-algèbres, alors \
i∈I
Aiest une σ-algèbre.
4. Soit Cun sous-ensemble de P(Ω), et ACl’ensemble des σ-algèbres Atelles que C ⊂ A. En considérant \
A∈AC
A,
montrer qu’il existe une σ-algèbre σ(C), minimale au sens de l’inclusion, et contenant C. On dit que σ(C)est la
σ-algèbre (ou tribu) engendrée par C.
5. Décrire σ(C)lorsque :
• C ={A}, où A⊂Ω
• C est une partition (Ai)i∈Ide Ω,Iétant fini.
6. On définit Bla σ-algèbre sur Rengendrée par les intervalles ]− ∞, a],a∈R. La σ-algèbre Best appelée tribu
des boréliens de R.
Montrer que Best aussi la tribu engendrée par les intervalles [a, +∞[.
Partie II – Autour des classes monotones
1. Montrer qu’une σ-algèbre est une classe monotone.
2. Soit Mune classe monotone.
(a) Montrer que ∅∈ M
(b) Montrer que si A∈ M, alors A∈ M.
(c) Montrer que si (An)n∈Nest une suite d’éléments de Mdécroissante pour l’inclusion, alors \
n∈N
An∈ M.
3. Montrer qu’une intersection (quelconque) de classes monotones est une classe monotone.
4. Soit Cun sous-ensemble de P(Ω). Montrer qu’il existe une plus petite classe monotone m(C)au sens de l’inclusion
(appelée classe monotone engendrée par C), contenant C. Décrire cette classe sous forme d’une intersection.
5. Montrer que m(C)⊂σ(C).
Partie III – Lemme de classe monotone
On souhaite montrer qu’avec une hypothèse supplémentaire sur C, on peut obtenir l’égalité m(C) = σ(C).
1. Soit Mune classe monotone stable par intersections finies (donc si Aet Bsont dans M,A∩Baussi)
(a) Montrer que pour toute famille finie (Ai)i∈[[1,n]] d’éléments de M,
n
\
i=1
Aiet
n
[
i=1
Aisont dans M.
(b) Montrer que Mest une σ-algèbre
2. Jusqu’à la fin de cette partie, on suppose que Cest un π-système, c’est à dire un sous-ensemble de P(Ω) stable
par intersections finies.
(a) Soit A∈m(C). On définit
DA={B∈m(C)|A∩B∈m(C)}.
Montrer que DAest une classe monotone.
(b) Soit C∈ C. Montrer que C ⊂ DC, puis que DC=m(C)
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(c) En déduire que D(A) = m(C).
3. Montrer que m(C) = σ(C).
Partie IV – Caractérisation des mesures bornées
Une mesure (positive) sur une σ-algèbre Aest une application :
µ:A −→ [0,+∞],
telle que pour toute famille (An)n∈Nd’éléments deux à deux disjoints de A, on ait :
µ +∞
G
n=0
An!=
+∞
X
n=0
µ(An).
C’est une façon de mesurer la taille des ensembles de A. Notez que la valeur +∞est possible.
On dit que cette mesure est bornée, si elle est à valeurs dans un intervalle [0, M], pour Massez grand différent de
+∞.
On se donne une mesure µsur une σalgèbre A.
1. Montrer que pour tout (A, B)∈ A2si A⊂B, alors µ(A)6µ(B).
2. Montrer que µest bornée si et seulement si µ(Ω) 6= +∞. On suppose désormais que cette condition est réalisée.
3. Montrer que pour tout (A, B)∈ A2, si A⊂B, alors µ(B\A) = µ(B)−µ(A).
4. On considère µet νdeux mesures bornées sur A, vérifiant de plus µ(Ω) = ν(Ω) et un π-système Ctel que µet
νcoïncident sur C, c’est-à-dire :
∀C∈ C, µ(C) = ν(C).
Montrer que µet νcoïncident sur σ(C).
On pourra commencer par montrer que {A∈ A | µ(A) = ν(A)}est une classe monotone.
5. Soit µet νdeux mesures bornées sur la tribu des boréliens B, et Fµet Fνles fonctions sur Rdéfinies pour tout
x∈Rpar :
Fµ(x) = µ(] − ∞, x]),et Fν(x) = ν(] − ∞, x]).
Montrer que µ=νsi et seulement si Fµ=Fν.
Étant donnée une variable aléatoire Xà valeurs réelles, si µXest la mesure définie sur un borélien B∈ B par
µX(B) = P(X∈B)(on peut montrer qu’il s’agit bien d’une mesure, appelée loi de X), la fonction FµXn’est autre
que la fonction de répartition de X. On a ainsi montré que la fonction de répartition de Xdétermine entièrement la
loi µXde X.
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