Logique, ensembles

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 22/09/2014
DM no 2 : Logique, ensembles
Exercice – Systèmes complets de connecteurs
Un ensemble S de connecteurs logiques est dit complet si toute formule propositionnelle est équivalente à une formule
pouvant s’écrire uniquement à l’aide de ces connecteurs. Ainsi, par construction-même, {¬, ∧, ∨, =⇒} est un système
complet de connecteurs.
On dit qu’il est complet minimal si quel que soit le connecteur qu’on enlève du système, le système obtenu n’est plus
complet.
1. Exprimer A =⇒ B à l’aide des connecteurs ¬, ∧, ∨. Le système complet {¬, ∧, ∨, =⇒} est-il minimal ?
2. Justifier que {¬, ∧, ∨} est un système complet non minimal.
3. (a) Justifier que toute formule ne faisant intervenir que le connecteur ∨ est satisfaite par la distribution de
vérité prenant la valeur V pour toute variable propositionnelle.
On pourra raisonner par récurrence sur le nombre de symboles de connecteur de la formule.
(b) En déduire que le système {¬, ∨} est un système complet minimal de connecteurs.
(c) Démontrer que même que {¬, ∧} est un système complet minimal de connecteurs.
4. On définit deux connecteurs logiques, appelés barres de Sheffer, et correspondant au NON-ET (NAND) et NONOU (NOR) par :
A ∧| B = ¬(A ∧ B)
et
A ∨| B = ¬(A ∨ B)
(a) Donner une formule simple équivalente à A ∧| A et à A ∨| A.
(b) Montrer que { ∧| } et { ∨| } sont deux systèmes complets de connecteurs.
Il est assez remarquable de pouvoir écrire toutes les formules de la logique propositionnelle avec un seul connecteur !
Évidemment, en pratique, ce serait très compliqué à lire !
Problème – Lemme de classe monotone
Le but de ce problème est d’établir le lemme de classe monotone, aussi appelé lemme λ-π de Dynkin. Ce lemme est
à la base de la démontration du fait que la fonction de répartition d’une variable aléatoire caractérise la loi de cette
variable aléatoire, et d’autres résultats similaires en théorie de la mesure.
Soit Ω un ensemble. Pour tout A ⊂ Ω, on note A son complémentaire dans Ω. On appelle σ-algèbre (ou tribu) sur Ω
un sous-ensemble A de P(Ω) tel que :
• Ω∈A
• si A ∈ A, alors A ∈ A
[
• pour toute famille (An )n∈N telle que pour tout n ∈ N, An ∈ A, on a aussi
An ∈ A.
n∈N
On appelle classe monotone (ou λ-système) un sous-ensemble M de P(Ω) tel que :
• Ω∈M
• si A et B sont dans M, et A ⊂ B, alors B \ A est aussi dans M.
• pour toute famille (An )n∈N telle que pour tout
[ n ∈ N, An ∈ A, et croissante pour l’inclusion (c’est-à-dire telle que
pour tout n ∈ N, An ⊂ An+1 ), on a aussi
An ∈ A.
n∈N
Partie I – Autour des σ-algèbres
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1. Montrer que P(Ω) est une σ-algèbre. Quelle est la plus petite σ-algèbre sur Ω ?
2. (a) Soit A une σ-algèbre. Montrer que :
(i) ∅ ∈ A
(ii) si A et B sont dans A, alors A ∪ B aussi
(iii) si A et B sont dans A, alors A ∩ B aussi
(iv) si (An )n∈N est une famille d’éléments de A, alors
\
An est aussi dans A.
n∈N
3. Montrer que si (Ai )i∈I est une famille de σ-algèbres, alors
\
Ai est une σ-algèbre.
i∈I
4. Soit C un sous-ensemble de P(Ω), et AC l’ensemble des σ-algèbres A telles que C ⊂ A. En considérant
\
A,
A∈AC
montrer qu’il existe une σ-algèbre σ(C), minimale au sens de l’inclusion, et contenant C. On dit que σ(C) est la
σ-algèbre (ou tribu) engendrée par C.
5. Décrire σ(C) lorsque :
• C = {A}, où A ⊂ Ω
• C est une partition (Ai )i∈I de Ω, I étant fini.
6. On définit B la σ-algèbre sur R engendrée par les intervalles ] − ∞, a], a ∈ R. La σ-algèbre B est appelée tribu
des boréliens de R.
Montrer que B est aussi la tribu engendrée par les intervalles [a, +∞[.
Partie II – Autour des classes monotones
1. Montrer qu’une σ-algèbre est une classe monotone.
2. Soit M une classe monotone.
(a) Montrer que ∅ ∈ M
(b) Montrer que si A ∈ M, alors A ∈ M.
(c) Montrer que si (An )n∈N est une suite d’éléments de M décroissante pour l’inclusion, alors
\
An ∈ M.
n∈N
3. Montrer qu’une intersection (quelconque) de classes monotones est une classe monotone.
4. Soit C un sous-ensemble de P(Ω). Montrer qu’il existe une plus petite classe monotone m(C) au sens de l’inclusion
(appelée classe monotone engendrée par C), contenant C. Décrire cette classe sous forme d’une intersection.
5. Montrer que m(C) ⊂ σ(C).
Partie III – Lemme de classe monotone
On souhaite montrer qu’avec une hypothèse supplémentaire sur C, on peut obtenir l’égalité m(C) = σ(C).
1. Soit M une classe monotone stable par intersections finies (donc si A et B sont dans M, A ∩ B aussi)
n
n
[
\
Ai sont dans M.
Ai et
(a) Montrer que pour toute famille finie (Ai )i∈[[1,n]] d’éléments de M,
i=1
i=1
(b) Montrer que M est une σ-algèbre
2. Jusqu’à la fin de cette partie, on suppose que C est un π-système, c’est à dire un sous-ensemble de P(Ω) stable
par intersections finies.
(a) Soit A ∈ m(C). On définit
DA = {B ∈ m(C) | A ∩ B ∈ m(C)}.
Montrer que DA est une classe monotone.
(b) Soit C ∈ C. Montrer que C ⊂ DC , puis que DC = m(C)
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(c) En déduire que D(A) = m(C).
3. Montrer que m(C) = σ(C).
Partie IV – Caractérisation des mesures bornées
Une mesure (positive) sur une σ-algèbre A est une application :
µ : A −→ [0, +∞],
telle que pour toute famille (An )n∈N d’éléments deux à deux disjoints de A, on ait :
! +∞
+∞
X
G
µ
µ(An ).
An =
n=0
n=0
C’est une façon de mesurer la taille des ensembles de A. Notez que la valeur +∞ est possible.
On dit que cette mesure est bornée, si elle est à valeurs dans un intervalle [0, M ], pour M assez grand différent de
+∞.
On se donne une mesure µ sur une σ algèbre A.
1. Montrer que pour tout (A, B) ∈ A2 si A ⊂ B, alors µ(A) 6 µ(B).
2. Montrer que µ est bornée si et seulement si µ(Ω) 6= +∞. On suppose désormais que cette condition est réalisée.
3. Montrer que pour tout (A, B) ∈ A2 , si A ⊂ B, alors µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
4. On considère µ et ν deux mesures bornées sur A, vérifiant de plus µ(Ω) = ν(Ω) et un π-système C tel que µ et
ν coïncident sur C, c’est-à-dire :
∀C ∈ C, µ(C) = ν(C).
Montrer que µ et ν coïncident sur σ(C).
On pourra commencer par montrer que {A ∈ A | µ(A) = ν(A)} est une classe monotone.
5. Soit µ et ν deux mesures bornées sur la tribu des boréliens B, et Fµ et Fν les fonctions sur R définies pour tout
x ∈ R par :
Fµ (x) = µ(] − ∞, x]),
et
Fν (x) = ν(] − ∞, x]).
Montrer que µ = ν si et seulement si Fµ = Fν .
Étant donnée une variable aléatoire X à valeurs réelles, si µX est la mesure définie sur un borélien B ∈ B par
µX (B) = P (X ∈ B) (on peut montrer qu’il s’agit bien d’une mesure, appelée loi de X), la fonction FµX n’est autre
que la fonction de répartition de X. On a ainsi montré que la fonction de répartition de X détermine entièrement la
loi µX de X.
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