D0 n°3 : logique - MPSI

Lycée Alphonse Daudet MPSI
Devoir Optionnel n 2
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Année 2016-2017 Devoir
Du calcul propositionnel
À rendre au plus tard le 30/09
On rappelle qu'un connecteur logique est un opérateur qui, à partir d'une, ou de deux, ou même de zéro formules
logiques, permet de construire une nouvelle formule logique. On connaît déjà les connecteurs logiques ¬ (négation), ∨
(disjonction), ∧ (conjonction), ⇒ (implication), ⇔ (équivalence), v (proposition vraie) et f (proposition fausse). On
appellera ces connecteurs logique les connecteurs fondamentaux.
On peut bien sûr dénir de nouveaux connecteurs, comme par exemple le ou exclusif, qu'on pourrait noter xor, ou
encore le connecteur de Sheer noté | dont la table de vérité est la suivante :
P
v
v
f
f
Q
v
f
v
f
P |Q
f
v
v
v
1. Montrer que toute formule propositionnelle même écrite avec de nouveaux connecteurs est égale à une formule propositionnelle ne contenant que des connecteurs fondamentaux. Application : donner une formule égale à P xor Q
n'utilisant que des connecteurs fondamentaux. Même chose pour P |Q.
On dira qu'un ensemble E de connecteurs logiques est une base lorsque les deux propriétés suivantes sont vériées :
i/ toute formule est égale à une formule ne s'écrivant qu'avec des connecteurs de E ,
ii/ si l'on retire un connecteur à l'ensemble E , la propriété précédente n'est plus vraie.
2. Montrer que E1 = {¬, ∨} est une base.
3. Montrer que E2 = {|} est une base.
Énoncé disponible à l'adresse suivante : http://mpsi.daudet.free.fr/. N'hésitez pas à en rendre juste un bout.
Aucun DO ne comptera d'aucune façon dans la moyenne.