Lemme des coalitions : Tribus et indépendance

Le lemme des coalitions revisité
Il s’agit de donner une version unifiée du lemme des coalitions vu dans le cours sous plusieurs versions. Pour cela on
va introduire une notion fondamentale : celle d’indépendance de tribus.
1 Tribus : rappels et compléments
Soit Ωun ensemble non vide.
a) Une algèbre (sur Ω)est un ensemble Ade parties de Ω(i.e. A⊂ P (Ω)stable par passage au complémentaire,
stable par réunion finie et contenant Ω.
b) Une tribu ou σ-algèbre (sur Ω) est est un ensemble Ade parties de Ωstable par passage au complémentaire,
stable par réunion dénombrable et contenant Ω.
c) Une sous-tribu d’une tribu Aest simplement une tribu Tvérifiant T⊂A.
d) La donnée d’un ensemble non vide Ω(appelé aussi univers) et d’une tribu Asur Ωdéfinit un espace proba-
bilisable (Ω,A). Les éléments de As’appellent les événements de l’univers.
Définition 1 (Tribus-algèbre)
•Une algèbre est aussi stable par intersection finie en vertu de la formule \
i∈J1,nK
Ai=[
i∈J1,nK
Aiet du fait que
si A ∈Aalors A ∈A.
•Une algèbre est exactement un sous-anneau de l’anneau (P(Ω),∆,∩)où ∆est la différence symétrique
(A∆B=A∩B∪B∩A).
•Si A est une tribu alors ∅∈Aet pour toute famille (Ai)i∈I∈AIindexée par I au plus dénombrable alors
[
i∈I
Ai∈Aet \
i∈I
Ai∈A. De ce fait une tribu est aussi une algèbre.
Remarques
Exemples 1
•La tribu la plus simple que l’on puisse définir sur un ensemble Ωest ∅,Ω: on l’appelle la tribu grossière.
•A contrario la tribu la plus complète est P(Ω).
Une famille quelconque Fde parties de Ωétant donnée , il existe une plus petite (au sens de l’inclusion) tribu
contenant Fet notée σ(F). La tribu σ(F)s’appelle la tribu engendrée par F.
Proposition 1 et définition 2 (Tribu engendrée)
ÐÐÐ
On montre facilement qu’une intersection quelconque de tribus est une tribu et comme il existe toujours une tribu
contenant F(à savoir P(Ω)) on a σ(F) = \
Atribu
F ⊂A
A.
dem :
Exemple 2
La tribu engendrée par A ⊂Ωqu’on note σ(A)à la place de σAest σ(A) = ∅,A,A,Ω.
1

a) Si A1,...,Ansont des tribus sur Ω, on note σ(A1,...,An)la tribu engendrée par F=A1∪ · · · ∪ An.
b) Si A1,...,Ansont des parties de Ω, on note σ(A1, . . . , An)la tribu engendrée par F=A1,...,An.
Définition 3
Dans la suite on considère un espace probabilisable (Ω,A,P); on rappelle que Aest une tribu sur Ωet que Pest une
application de Adans [0,1]telle que :
a) P(Ω) = 1
b) pour toute suite d’événements (An)ndeux à deux incompatibles, la famille (P(An))nest sommable et
P[
n∈N
An=X
n∈N
P(An) (σ-additivité)
Et les propriétés que vérifie P:
i. P(∅) = 0
ii. Si A1,...,Ansont des événements deux à deux incompatibles alors Pn
[
k=1
Ak=
n
X
k=1
P(Ak). En particulier, pour
tout événement A, P(A) = 1−P(A).
iii. Si A et B sont des événements vérifiant A ⊂B alors P(A)¶ P(B)et P(B\A) = P(B)−P(A).
iv. Si A et B sont des événements alors P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
v. Sous-additivité finie : si A1, . . . , Ansont des événements alors P(A1∪ · · · ∪ An)¶ P(A1) + · · · +P(An).
vi. Continuité croissante : si (An)nest une suite d’événements croissante pour l’inclusion, alors :
lim
n→+∞P(An) = P[
n∈N
An
vii. Continuité décroissante : si (An)nest une suite d’événements décroissante pour l’inclusion, alors :
lim
n→+∞P(An) = P\
n∈N
An
viii. Sous-additivité dénombrable : soit (An)nune suite d’événements. Alors
P[
n∈N
An¶X
n∈N
P(An)
avec la convention que si la famille (P(An))nn’est pas sommable alors X
n∈N
P(An) = +∞.
On rappelle aussi la définition d’une variable aléatoire discrète :
On appelle variable aléatoire discrète (v.a.) de l’espace probabilisé (Ω,A,P)et à valeurs dans un ensemble E,
toute application X : Ω−→ E
ω7−→ X(ω)
telle que :
a) l’ensemble X(Ω)est au plus dénombrable ;
b) pour tout x∈X(Ω), l’ensemble X−1xest un événement : ∀x∈X(Ω), X−1x∈A.
L’ensemble des valeurs prises par X et noté X(Ω)s’appelle le support de X.
Définition 4 (Variable aléatoire discrète)
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans E. Alors l’ensemble σ(X) = X−1(A); A ∈ P (E)est une tribu dite
engendrée par X.
Théorème 2 et définition 5
ÐÐÐ
2

On a Ω=X−1(E)donc Ω∈σ(X); si A ∈ P (E)alors X−1(A) = X−1(A)et donc σ(X)est stable par passage au
complémentaire. Enfin si (An)n∈ P (E)Nalors [
n∈N
X−1(An) = X−1[
n∈N
Anet donc σ(X)est stable par union
dénombrable.
dem :
•Avec la notation probabiliste, on a aussi σ(X) = X∈A; A ∈ P (E)=X−1(A); A ∈ P (X(Ω))puisque
pour tout A ∈ P (E), X−1(A) = X−1(A∩X(Ω)). De ce fait il n’est pas difficile de voir que σ−1(X)est la tribu
engendrée par les événements X=xxdécrivant X(Ω)(utiliser le fait que X(Ω)est au plus dénombrable
et la stabilité d’une tribu par union dénombrable). Et ainsi σ(X)ne dépend que de X et de Ω.
•Plus généralement si Test une tribu de parties de E alors σT(X) = X−1(A); A ∈Test une tribu dite
engendrée par Xet T.
•Si fest une application de E dans F (ensemble non vide), on aura σ(f(X)) = σT(X)où T=P(f−1(F))
vu que ∀A∈ P (F),(f(X))−1(A) = X−1(f−1(A)).
Remarques
Exemple 3 (Fondamental)
Si A ∈Aest un événement alors σ(A) = σ(1A) = ∅,A,A,Ω. En effet 1−1
A(∅) = ∅,1−1 A1=A,1−1 A0=A et
1−1
A0,1=Ω.
Soit X1,...,Xndes variables aléatoires sur un même espace probabilisé avec Xià valeurs dans un ensemble Ei.
On note σ(X1,...,Xn)la tribu engendrée par σ(X1)∪ · · · ∪ σ(Xn)i.e. σ(X1, . . . , Xn) = σ(σ(X1)∪ · · · ∪ σ(Xn)) ou
encore σ(X1,...,Xn) = σ(σ(X1), . . . , σ(Xn)).
Définition 6
Avec les notations précédentes : σ(X1, . . . , Xn) = σ(Y)où Y = (X1, . . . , Xn).
Proposition 3
Ð
Soit A ∈σ(Y): il existe donc B ∈Y(Ω)tel que A =Y−1(B) = ω∈Ω|(X1(ω),...,Xn(ω)) ∈B∩Y(Ω); notons
πiE1× · · · × En−→ Ei
(x1,..., xn)7−→ xi
la i-ième projection de sorte que Xi=πi(Y); comme B∩Y(Ω)est au plus dénombrable
il existe une surjection α:N→B∩Y(Ω)et dès lors
ω∈A⇐⇒ ∃p∈N,(X1(ω),...,Xn(ω)) = α(p)
⇐⇒ ∃p∈N,∀i∈J1, nK,ω∈X−1
i(πi(α(p)) (car Xi=πi(Y))
Et donc A =[
p∈NX1=π1(α(p))∩ · ·· ∩ Xn=πn(α(p)); or chaque Xi=πi(α(p))∈σ(Xi)⊂
par def σ(X1,...,Xn)
et comme σ(X1,...,Xn)est stable par union dénombrable, on a bien A ∈σ(X1,. . . , Xn)i.e. σ(Y)⊂σ(X1,...,Xn).
Réciproquement pour tout i,σ(Xi)⊂σ(Y)car pour tout Ai∈ P (Ei), X−1
i(Ai) = Y−1(E1×· · ·×Ei−1×Ai×Ei+1×· · · En)
et ainsi σ(Y)contient σ(X1)∪ · · · ∪ σ(Xn)et donc aussi, par définition, la tribu engendrée par σ(X1)∪ · · · ∪ σ(Xn)
i.e. σ(X1,...,Xn)⊂σ(Y).
dem :
Soit A1,...,Andes événements de A; la tribu engendrée par A1, . . . , Anest aussi la tribu engendrée par les
v.a. 1A1, . . . , 1Ani.e. σ(A1, . . . , An) = σ(σ(1A1),...,σ(1An)) = σ(σ(A1),...,σ(An)).
Proposition 4
ÐÐÐ
3

Posons F=A1,...,An; on a pour tout i,Ai⊂ F ⊂ σ(F)et donc par définition d’une tribu engendrée,
σ(Ai)⊂σ(F)puis
n
[
i=1
σ(Ai)⊂σ(F)et donc σn
[
i=1
σ(Ai)⊂σ(F)i.e. σ(σ(A1),...,σ(An)) ⊂σ(F).
Puis pour tout i∈J1, nK, Ai∈σ(Ai)⊂
n
[
i=1
σ(Ai)⊂σ(σ(A1),...,σ(An)) et donc F ⊂ σ(σ(A1),...,σ(An)) et donc
on a l’autre inclusion : σ(F) = σ(σ(A1),...,σ(An)).
Conclusion : σ(A1, . . . , An) = σ(F) = σ(σ(A1),...,σ(An)) ; mais σ(Ai) = σ(1Ai)et donc
σ(A1,...,An) = σ(σ(1A1), . . . , σ(1An)) =
def σ(1A1,...,1An).
dem :
Terminons cette partie par la notion de π-système et de classe monotone, deux notions qui vont être cruciales pour
les démonstrations qui vont suivre.
Un π-système est un ensemble Cde parties de Ωstable par intersection finie.
Définition 7 (π-système)
Exemples 4
•Une tribu et une algèbre sont bien évidemment des π-systèmes.
•[a,b];(a,b)∈R2et a¶b∪∅,]a,b];(a,b)∈R2et a¶bet ]− ∞,x];x∈Rsont des π-systèmes.
Une classe monotone est un ensemble Mde parties de Ωstable par union croissante et par différence et qui
contient Ω. Ainsi M⊂ P (Ω),Ω∈M,∀(An)n∈MNvérifiant ∀n∈N, An⊂An+1alors [
n∈N
An∈Met si A, B ∈M
vérifie A ⊂B alors B \A∈Ma.
a. Il est alors d’usage de noter B −A à la place de B \A, l’inclusion A ⊂B étant implicite dans cette notation.
Définition 8 (classe monotone)
Exemples 5
•Une tribu est bien évidemment une classe monotone.
•Si Pet Qsont deux probabilités sur un même espace probabilisable (Ω,A)alors M=A∈A|P(A) = Q(A)est
une classe monotone : en effet on a bien Ω∈Mcar P(Ω) = Q(Ω) = 1; si A,B ∈Mvérifient A ⊂B alors B−A∈M
car P(B−A) = P(B)−P(A) = Q(B)−Q(A)et si (An)∈MNest une suite croissante, par continuité croissante,
P[
n∈N
An=lim
n→+∞P(An) = lim n→+∞Q(An) = Q[
n∈N
Anet donc [
n∈N
An∈M.
Une partie Ade P(Ω)est une tribu ssi Aest un π-système et une classe monotone.
Proposition 5
Ð
•Le sens =⇒est clair.
•sens ⇐=: soit A⊂ P (Ω)un π-système et une classe monotone, montrons que Aest une tribu :
a) Ω∈Acar Aest une classe monotone;
b) si A ∈Aalors A =Ω−A∈Acar Aest une classe monotone et Ω∈A;
dem :
4

c) il reste la stabilité par réunion dénombrable; on commence par montrer la stabilité par réunion finie : soit
donc A0,...,An∈A; on a A0,...,An∈Aet comme Aest un π-système, on a donc A0∩ · · · ∩ An∈Aet donc
A0∪ · · · ∪ An=A0∩ · · · ∩ An∈A.
Passons maintenant au cas dénombrable : soit (An)∈AN; posons pour tout n∈N, Bn=A0∪· · ·∪An; d’après
ce qu’on vient de voir, Bn∈A; de plus pour tout n, Bn⊂Bn+1et ainsi puisque Aest une classe monotone,
[
n∈N
Bn∈Aet on conclut car [
n∈N
An=[
n∈N
Bn.
2 Indépendance et tribus
On commence par introduire la notion d’indépendance de tribus qui est très simple (pas la peine d’examiner des sous-
ensembles). Une sous-tribu de l’espace probabilisé (Ω,A,P)n’est rien d’autre ici qu’une sous-tribu de A.
Soit A1,...,Andes sous-tribus de l’espace probabilisé (Ω,A,P); on dit que A1,...,Ansont indépendantes ssi
∀(A1,...,An)∈A1× · ·· × An,P \
i∈J1,nK
Ai!=
n
Y
i=1
P(Ai).
Définition 9
Si A1,...,Ansont indépendantes, il en va de même de (Ai)i∈Ioù I est une partie non vide J1, nK: cela vient du
fait que \
i∈I
Ai=\
j∈J1,nK
Bjoù Bj=Ajsi j∈I et Ωsinon. Puis comme chaque Bjest dans Aj, par indépendance
de A1,...,An,P \
j∈J1,nK
Bj!=
n
Y
j=1
P(Bj), ce qui donne P\
i∈I
Ai=Y
i∈I
P(Ai)puisque P(Bj) = 1 si j6∈ I.
Remarque
Soit A1,...,Andes sous-tribus de l’espace probabilisé (Ω,A,P)alors A1,...,Ansont indépendantes ssi
∀(A1,...,An)∈A1× · ·· × An, A1, . . . , Ansont indépendantes.
Théorème 6
ÐÐÐ
•le sens ⇐=est clair;
•supposons A1,...,Anindépendantes et soit (A1,...,An)∈A1× · · · × An; il s’agit de montrer que pour tout
ensemble fini I non vide, P\
i∈I
Ai=Y
i∈I
P(Ai)ce qui découle directement de la remarque ci-dessus.
Ainsi on peut conclure que pour toute partie finie I, P\
i∈I
Ai=Y
i∈I
P(Ai), ce qui par définition signifie l’indé-
pendance de A1,...,An.
dem :
Soit A1,...,Andes événements alors A1,...,Ansont indépendants ssi les tribus σ(A1),...,σ(An)sont indé-
pendantes.
Théorème 7 (Lien avec l’indépendance d’événements)
ÐÐÐ
•sens ⇐=: c’est clair avec le théorème précédent puisque Ai∈σ(Ai).
•sens =⇒: il s’agit de voir que pour tout B1, .. . , Bn∈σ(A1)× · · · × σ(An),Pn
\
i=1
Bi=
n
Y
i=1
P(Bi)soit encore en
dem :
5