Programme de colle de la semaine n°30

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2014-2015
Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°30
Questions de cours
Question n°1 : Définition de f (x) tend vers ℓ ∈ R quand
x tend vers a ∈ R pour une fonction f ; définition de la
notion de propriété locale en a ∈ R pour une fonction ; si
une fonction admet une limite finie en a ∈ R, alors elle est
bornée localement en a (preuve dans le cas a ∈ R).
Question n°2 : Théorème de la limite monotone pour les
fonctions (énoncé) ; la fonction
Zx
t2
x 7→
e − 2 dt
1
admet une limite finie en +∞.
Question n°3 : Définition de la continuité d’une fonction
sur un intervalle ; si une fonction est continue sur un intervalle I et s’il existe a ∈ I tel que f (a) > 0 alors f est
f (a)
minorée par 2 localement en a (preuve en s’appuyant
sur un graphique).
Question n°4 : Composition d’une limite de suite par
une fonction (énoncé et preuve dans le cas où la suite
converge vers a ∈ R et où la fonction admet pour limite ℓ ∈ R en a) ; la fonction sin n’a pas de limite en +∞
(preuve).
Question n°5 : Cas particulier du théorème des valeurs
intermédiaires (énoncé et preuve par dichotomie) ; théorème des valeurs intermédiaires (énoncé : trois formulations d’un même résultat).
Limites et continuité
• Les 15 définitions des notions de limite pour une
fonction.
• Théorème sur l’unicité de la limite et définition du
symbole lim pour les fonctions.
• Définition de la notion de propriété locale en a ∈ R
pour une fonction.
• Si une fonction admet une limite finie en a ∈ R,
alors elle est bornée localement en a.
• Opérations sur les limites.
• Composition d’une limite de suite par une fonction.
• Passage à la limite dans une inégalité large pour les
fonctions.
• Théorème d’encadrement pour les fonctions.
• Théorème de domination pour les fonctions.
• Théorème de la limite monotone pour les fonctions.
• Définition de la continuité (resp. continuité à
gauche, continuité à droite) d’une fonction en un
point.
• Prolongement par continuité d’une fonction en un
point.
• Image d’une suite de limite a par une fonction
continue en a.
• Opérations sur les fonctions continues en un
point.
• Définition d’une fonction continue sur un intervalle.
• Résultats sur la continuité des fonctions usuelles.
• Opérations sur les fonctions continues.
• Cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires et algorithme de dichotomie.
• Théorème des valeurs intermédiaires (3 formulations d’un même résultat).
• Calcul de l’image d’un intervalle par une fonction
continue et strictement monotone.
• Définition d’un segment.
• Théorème sur les extrema d’une fonction continue sur un segment.
• Théorème de la bijection.