Programme de colle de la semaine n°30

Lycée Benjamin Franklin PTSI −2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°30
Questions de cours
Question n°1 : Définition de f(x) tend vers ℓ∈Rquand
xtend vers a∈Rpour une fonction f; définition de la
notion de propriété locale en a∈Rpour une fonction ; si
une fonction admet une limite finie en a∈R, alors elle est
bornée localement en a(preuve dans le cas a∈R).
Question n°2 : Théorème de la limite monotone pour les
fonctions (énoncé) ; la fonction
x7→ Zx
1
e−t2
2dt
admet une limite finie en +∞.
Question n°3 : Définition de la continuité d’une fonction
sur un intervalle ; si une fonction est continue sur un in-
tervalle Iet s’il existe a∈Itel que f(a)>0 alors fest
minorée par f(a)
2localement en a(preuve en s’appuyant
sur un graphique).
Question n°4 : Composition d’une limite de suite par
une fonction (énoncé et preuve dans le cas où la suite
converge vers a∈Ret où la fonction admet pour li-
mite ℓ∈Ren a) ; la fonction sin n’a pas de limite en +∞
(preuve).
Question n°5 : Cas particulier du théorème des valeurs
intermédiaires (énoncé et preuve par dichotomie) ; théo-
rème des valeurs intermédiaires (énoncé : trois formula-
tions d’un même résultat).
Limites et continuité
•Les 15 définitions des notions de limite pour une
fonction.
•Théorème sur l’unicité de la limite et définition du
symbole lim pour les fonctions.
•Définition de la notion de propriété locale en a∈R
pour une fonction.
•Si une fonction admet une limite finie en a∈R,
alors elle est bornée localement en a.
•Opérations sur les limites.
•Composition d’une limite de suite par une fonc-
tion.
•Passage à la limite dans une inégalité large pour les
fonctions.
•Théorème d’encadrement pour les fonctions.
•Théorème de domination pour les fonctions.
•Théorème de la limite monotone pour les fonc-
tions.
•Définition de la continuité (resp. continuité à
gauche, continuité à droite) d’une fonction en un
point.
•Prolongement par continuité d’une fonction en un
point.
•Image d’une suite de limite apar une fonction
continue en a.
•Opérations sur les fonctions continues en un
point.
•Définition d’une fonction continue sur un inter-
valle.
•Résultats sur la continuité des fonctions usuelles.
•Opérations sur les fonctions continues.
•Cas particulier du théorème des valeurs intermé-
diaires et algorithme de dichotomie.
•Théorème des valeurs intermédiaires (3 formula-
tions d’un même résultat).
•Calcul de l’image d’un intervalle par une fonction
continue et strictement monotone.
•Définition d’un segment.
•Théorème sur les extrema d’une fonction conti-
nue sur un segment.
•Théorème de la bijection.