Limites I. Limite d`une suite ou d`une fonction. Propriété vraie au

Limites
I. Limite d’une suite ou d’une fonction.
Propriété vraie au voisinage d’un point, au voisinage de −∞ ou +∞, à partir d’un certain rang.
Limite finie ou infinie d’une suite (en +∞) ou d’une fonction en a ∈ R̄. Vocabulaire : suite convergente ou divergente.
Équivalence un → a et |un − a| → 0.
Unicité de la limite dans R̄. Produit d’une suite/fonction bornée par une suite/fonction de limite 0.
Théorème des gendarmes. Extension aux limites infinies ("théorème de comparaison" : u ≥ v ; si u → +∞ alors v → +∞ ; si
v → −∞ alors u → −∞.
Passage à la limite (théorème de comparaison des limites).
Toute suite convergente est bornée. Toute fonction admettant une limite finie en a ∈ R̄ est bornée au voisinage de a. Si
f (x) → ` > 0, alors f (x) > 0 au voisinage de a (et même, f (x) ≥ 2` au voisinage de a).
Théorèmes généraux sur limites (finies et infinies) et opérations.
Composition : limite de l’image d’une suite (f (un )) ; limite d’une composée ("théorème de composition des limites"). Utilisation
pour montrer qu’une fonction n’a pas de limite en a.
II. Suites extraites. Toute suite extraite d’une suite qui converge vers ` tend vers `. Utilisation pour montrer qu’une suite diverge.
Théorème de recollement (si u2n et u2n+1 tendent vers `, alors un → `).
un+1
III. Suites monotones. Critères de monotonie (avec un+1 −un et
). Critère spécial des suites monotones. Une suite monotone
un
tend vers ` ssi elle admet une sous-suite qui tend vers `.
IV. Si (an ) croît, (bn ) décroît et (an ) ≤ (bn ) alors (an ) et (bn ) sont convergentes. Théorème (et définition) des suites adjacentes.
Théorème des segments emboîtés.
V. Comparaison des suites de référence : na , an , n!, nn .
Continuité
a) Continuité locale.
NB : la notion de limite par valeur différente étant hors programme, la continuité en a ∈ I équivaut à l’existence d’une limite en a
(ou encore f (a+) = f (a−) = f (a)).
Prolongement par continuité ; continuité à gauche, à droite. Continuité et opérations. Composition.
b) Continuité sur un intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires (2 énoncés).
Théorème sur l’image d’un segment par une fonction continue (2 énoncés).
Théorème de "la bijection continue" : On note I un intervalle et ses bornes u < v dans R̄. Soit f : I → R. On pose J l’intervalle
dont les bornes sont u0 = limu f et v 0 = limv f , fermé ou ouvert en u0 (resp v 0 ) selon que I est fermé ou ouvert en u (resp v).
Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f est bijective de I sur J et f −1 est continue sur J.
Une fonction continue sur un intervalle est injective si et seulement si elle est strictement monotone.
Fonctions lipschitziennes. Toute fonction lipschitzienne sur I est continue sur I.
NB : l’uniforme continuité, et donc le th. de Heine sont hors programme.
Questions de cours.
1) Théorème des segments emboîtés.
2) Théorème de la limite monotone (démontré en cours dans le cas croissant) : si a < b dans l’intervalle de définition, il existe
f (a+) et f (b−) et f (a) ≤ f (a+) ≤ f (b−) ≤ f (b) [On pourra demander la démonstration de l’une de ces inégalités]
3) Une fonction lipschizienne sur l’intervalle I est continue sur cet intervalle.
4) Théorème des valeurs intermédiaires
5) Théorème "de la bijection continue" [On pourra demander la démonstration de l’une des 3 parties : J = f (I) ; f bijective de I
sur J ; f −1 continue sur J]
6) Théorème sur l’image continue d’un segment.
Prochain programme : Dérivation.