Limites I. Limite d`une suite ou d`une fonction. Propriété vraie au

Limites
I. Limite d’une suite ou d’une fonction.
Propriété vraie au voisinage d’un point, au voisinage de −∞ ou +∞, à partir d’un certain rang.
Limite finie ou infinie d’une suite (en +∞) ou d’une fonction en a∈¯ R. Vocabulaire : suite convergente ou divergente.
Équivalence un→aet |un−a| → 0.
Unicité de la limite dans ¯ R. Produit d’une suite/fonction bornée par une suite/fonction de limite 0.
Théorème des gendarmes. Extension aux limites infinies ("théorème de comparaison" : u≥v; si u→+∞alors v→+∞; si
v→ −∞ alors u→ −∞.
Passage à la limite (théorème de comparaison des limites).
Toute suite convergente est bornée. Toute fonction admettant une limite finie en a∈¯ Rest bornée au voisinage de a. Si
f(x)→` > 0, alors f(x)>0au voisinage de a(et même, f(x)≥`
2au voisinage de a).
Théorèmes généraux sur limites (finies et infinies) et opérations.
Composition : limite de l’image d’une suite (f(un)) ; limite d’une composée ("théorème de composition des limites"). Utilisation
pour montrer qu’une fonction n’a pas de limite en a.
II. Suites extraites. Toute suite extraite d’une suite qui converge vers `tend vers `. Utilisation pour montrer qu’une suite diverge.
Théorème de recollement (si u2net u2n+1 tendent vers `, alors un→`).
III. Suites monotones. Critères de monotonie (avec un+1 −unet un+1
un
). Critère spécial des suites monotones. Une suite monotone
tend vers `ssi elle admet une sous-suite qui tend vers `.
IV. Si (an)croît, (bn)décroît et (an)≤(bn)alors (an)et (bn)sont convergentes. Théorème (et définition) des suites adjacentes.
Théorème des segments emboîtés.
V. Comparaison des suites de référence : na,an,n!,nn.
Continuité
a) Continuité locale.
NB : la notion de limite par valeur différente étant hors programme, la continuité en a∈Iéquivaut à l’existence d’une limite en a
(ou encore f(a+) = f(a−) = f(a)).
Prolongement par continuité ; continuité à gauche, à droite. Continuité et opérations. Composition.
b) Continuité sur un intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires (2 énoncés).
Théorème sur l’image d’un segment par une fonction continue (2 énoncés).
Théorème de "la bijection continue" : On note Iun intervalle et ses bornes u<vdans ¯ R. Soit f:I→R. On pose Jl’intervalle
dont les bornes sont u0= limufet v0= limvf, fermé ou ouvert en u0(resp v0) selon que Iest fermé ou ouvert en u(resp v).
Si fest continue et strictement monotone sur I, alors fest bijective de Isur Jet f−1est continue sur J.
Une fonction continue sur un intervalle est injective si et seulement si elle est strictement monotone.
Fonctions lipschitziennes. Toute fonction lipschitzienne sur Iest continue sur I.
NB : l’uniforme continuité, et donc le th. de Heine sont hors programme.
Questions de cours.
1) Théorème des segments emboîtés.
2) Théorème de la limite monotone (démontré en cours dans le cas croissant) : si a < b dans l’intervalle de définition, il existe
f(a+) et f(b−)et f(a)≤f(a+) ≤f(b−)≤f(b)[On pourra demander la démonstration de l’une de ces inégalités]
3) Une fonction lipschizienne sur l’intervalle Iest continue sur cet intervalle.
4) Théorème des valeurs intermédiaires
5) Théorème "de la bijection continue" [On pourra demander la démonstration de l’une des 3 parties : J=f(I);fbijective de I
sur J;f−1continue sur J]
6) Théorème sur l’image continue d’un segment.
Prochain programme : Dérivation.