Logique TD6 : FND, FNC, système complet de connecteurs

Université Paris 13
Institut Galilée
L1 – 2eme semestre
Année 2014-2015
Logique
TD6 : FND, FNC, système complet de connecteurs,
conséquences sémantiques
Exercice 1 Soit la formule F = (A ∨ B) ⇒ ((¬C ∧ A) ⇔ B).
1. Donner la table de vérité de F .
2. Utiliser cette table pour construire une FND équivalente à F .
3. On voudrait maintenant construire une FNC équivalente à F :
(a) Commencer par trouver une FND équivalente à ¬F . On appellera G cette formule.
(b) En distribuant la négation, trouver une FNC équivalente à ¬G. On appellera H
cette formule.
(c) En déduire une FNC équivalente à F .
Exercice 2 On définit le connecteur binaire | , appelé « barre de Sheffer », dont la table de
vérité est la suivante :
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A|B
1
1
1
0
Montrer par induction que l’ensemble { | } est un système complet de connecteurs.
(ce connecteur correspond à la porte NAND en électronique)
Exercice 3 On donne Γ un ensemble fini de formules qui admet un modèle (une distribution
de valeurs de vérité donnant la valeur 1 à toutes les formules de Γ). On suppose que Φ est
une conséquence sémantique de Γ, et que Ψ n’est pas une conséquence sémantique de Γ. Soit
τ une tautologie.
1. Est-ce que Φ est une conséquence sémantique de Γ ∪ {τ } ?
2. Est-ce que Ψ est ou n’est pas une conséquence sémantique de Γ ∪ {τ } ?
3. Quelle formule ρ pourrait-on ajouter à Γ pour que ¬Φ soit aussi une conséquence sémantique de Γ ∪ {ρ} ?
Justifier chaque réponse par une démonstration.
Exercice 4 - inspiré de l’exercice 4 du partiel En utilisant certaines distributions
de valeur de vérité mais SANS faire la table de vérité complète, déterminer si les formules
suivantes sont des tautologies :
(a) (A ∨ B) ⇒ (A ∧ B)
(b) ((F ∧ G) ∨ ¬B) ⇒ (F ∧ G ∧ ¬B)
(c) (A ⇒ ((B ∧ ¬C) ∨ ¬(D ⇒ E))) ∨ ((E ∧ ¬A) ∨ (A ∨ D))
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