Logique TD6 : FND, FNC, système complet de connecteurs

Université Paris 13 L1 – 2eme semestre
Institut Galilée Année 2014-2015
Logique
TD6 : FND, FNC, système complet de connecteurs,
conséquences sémantiques
Exercice 1 Soit la formule F= (A∨B)⇒((¬C∧A)⇔B).
1. Donner la table de vérité de F.
2. Utiliser cette table pour construire une FND équivalente à F.
3. On voudrait maintenant construire une FNC équivalente à F:
(a) Commencer par trouver une FND équivalente à ¬F. On appellera Gcette formule.
(b) En distribuant la négation, trouver une FNC équivalente à ¬G. On appellera H
cette formule.
(c) En déduire une FNC équivalente à F.
Exercice 2 On définit le connecteur binaire |, appelé « barre de Sheffer », dont la table de
vérité est la suivante :
A B A|B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Montrer par induction que l’ensemble { | } est un système complet de connecteurs.
(ce connecteur correspond à la porte NAND en électronique)
Exercice 3 On donne Γun ensemble fini de formules qui admet un modèle (une distribution
de valeurs de vérité donnant la valeur 1 à toutes les formules de Γ). On suppose que Φest
une conséquence sémantique de Γ, et que Ψn’est pas une conséquence sémantique de Γ. Soit
τune tautologie.
1. Est-ce que Φest une conséquence sémantique de Γ∪ {τ}?
2. Est-ce que Ψest ou n’est pas une conséquence sémantique de Γ∪ {τ}?
3. Quelle formule ρpourrait-on ajouter à Γpour que ¬Φsoit aussi une conséquence sé-
mantique de Γ∪ {ρ}?
Justifier chaque réponse par une démonstration.
Exercice 4 - inspiré de l’exercice 4 du partiel En utilisant certaines distributions
de valeur de vérité mais SANS faire la table de vérité complète, déterminer si les formules
suivantes sont des tautologies :
(a) (A∨B)⇒(A∧B)
(b) ((F∧G)∨ ¬B)⇒(F∧G∧ ¬B)
(c) (A⇒((B∧ ¬C)∨ ¬(D⇒E))) ∨((E∧ ¬A)∨(A∨D))
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