Les travaux de Koszul, I

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
H ENRI C ARTAN
Les travaux de Koszul, I
Séminaire N. Bourbaki, 1948-1951, exp. no 1, p. 7-12
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Séminaire BOURBAKI
(Décembre 1948)
LES TRAVAUX DE
I.
KOSZUL,
par Henri CARTAN.
L’homologie
et la
cohomologie
l’algèbre
tement
sur
theory
of Lie groups and Lie
En
opérant ainsi,
d’un groupe de Lie
de Lie du groupe
algebras,
peut étudier
(af.
compact peuvent s’étudier direc-
CHEVALIEY et EIIENBERG.-
Cohomology
Soc., 63, 1948, p. 85-124).
un corps quelconque (le
Trans. Amer. Math.
algèbres de Lie sur
plus souvent, de caractéristique nulle) ;3 les hypothèses de compacité sont alors
remplacées par des hypothèses de semi-simplicité. La présente conférence a pour but
d’exposer quelques outils algébriques utiles à cette étude, et de démontrer lea premiers résultats obtenus, notamment le théorème sur le troisième nombre de Betti.
Dans une conférence ultérieure, on introduira les notions relatives à une sous-algèbre d’une algèbre de Lie, et à l’"espace homogène" correspondant.
1. Notations
on
des
générales.
opérateur dans un ensemble A (c’est-à-dire une transformation
A ) étant désigné par une lettre quelconque telle que T ~ on notera
formé de x ~, A par T , et TU le composé des opérateurs T et U
TU.x = T.(U.x) .
Un
2.
Rappel de
Chap. III).
E :
notions. relatives à
espace vectoriel
l’algèbre extérieure (cf.
BOURBAKI.-
A
de
T.x
dans
le trans-
:
Algèbre,
(ou même, module unitaire sur
commutatif). A(E) : algèbre extérieure de E , somme directe des
( .~C (E ) _ K , ~1.I (E ) ~ E) . Notation : minuscules latines pour les éléments
de E ~ grecques pour ceux de A(E) . Notation
pour le produit ; en particulier (produit d’éléments de degré un)
sur un
corps commutatif
K
un anneau
...
La forme bilinéaire définissant la dualité entre
x , x’ ) . Le produit intérieur d’un
de
.hp"1 (E ) ,
noté
oc,
Lx’ , défini
°
E
et
par
son
un
dual
E’
x’‘ E E’
est notée
est
un
élément
par
,
(le chapeau ^ sur xi indique que le facteur x.
teur de A(E) : c( -~ Lx’ est noté i(x’) ; on
i(~’) pour
A(E’) par:
=
7
i(x.)
doit être
supprimé). L’opérai(x’) i(x’) 0 . On défini t
=
...
i(xp .
On
écrit
H. CARTAN
i (oc) . a’
se
note 03B1 03B1’ . On
et de
L
A(E’) .
et
On
ce’
scalaire"
"produit
re : ce
rents,
~cx ,
a
et
exprime
second
sont
que
sur
t~’
si
=0
et
ce
... /1
dualité entre A(E)
sont homogènes de degrés diffé-
ce’
x~ ~ ) .
^
extérieure
A
multipli-
aux
endomorphismes d’algèbres
général.
en
ce
l’ automorphisme qui, à
endomorphisme à (de la struc-
ce --3
Un
le
antidérivation si
Si e est
antidérivation,
antidérivations, 8~ é-2 + 8z
e~
une
"crochet" ~ ~1 ,
9 e2 - e 2 6 le crochet de
el
~
est
est une
A est engendrée par
(resp. antidérivation) qui
quement nulle.
Si
.~
x’ ~
E’ )
est une
est
est
éléments de
s’annule
l’algèbre extérieure
une
sur
.~. {E)
8I
et
8z
sont
el
une
degrés
e2
et
une
étant par définition
dérivation,
le crochet
antidérivation.
0
et
les éléments de
1~
degrés
toute dérivation
0 et 1 est identi-
d’un espace vectoriel
antidérivation. Pour toute dérivation
0 de
E , i(x’ )
(pour
A (E) , e (x) e
antidérivation.
Rappel
Pour
les
si
dérivation.
deux dérivations est
d’une dérivation et d’une antidérivation est
Si
dérivation ;3
une
opérateurs
deux
Le
4.
la
et
d’algèbre graduée A . On note alors
ce homogène de degré
un
n, associe (-1)n4~ .
ture vectorielle) est une dérivation si
des
e(a’)
et
ce’ .La relation
-~.
Notion
une
composantes scalaires
cette composante scalai-
i(~) sont transposés (le premi.er opère sur .~ (E) ,
.~ (E’ ) ) .De même , e (~’ ) et i ( ~’ ) sont transposés.
e (~)
3. Notions relatives
et
A(E’) ;
dans
et définit la
~x , x’ >
prolonge
...
cation extérieure
i(03B1 ^ 03B2) = i(03B2) i(03B1) .
égales ; on note ~c~ , ~,~~
Les
a
~xi ~
e (f) la multiplication
Soit
i (a) qui opère
. On définit de même
i (a’ ) , cx
pour
relatif
aux
simplifier,
variétés différentiables.
on se
les "fonctions" seront
bornera
supposées
variétés indéfiniment différentiables. Toutes
indéfiniment différentiables.
aux
LES TRAVAUX DE KOSZUL, I
chaque point M de la variété V, on a dualité entre l’espace E (M) des
vecteurs tangents (en M ) et l’espace É’ (M) des différentielles de fonctions
numériques au point M. Ce sont des espaces vectoriels de dimension n sur le
corps réel R (n = dimension de V ). Un "champ de vec teurs" X est une fonction
qui, à chaque point M de V , associe un vecteur tangent en M ; les champs de
En
vecteurs forment
module
un
E
(sur
e s t le module de s f orme s différentielles de
due~l E’
numériques) dont
degré un . Notation
l’anneau des fonctions
le
pour la forme bilinéaire définissant cette dualité. La différentielle
df d’une fonction numérique f est une forme différentielle (élément de E’ ).
L’algèbre des "formes différentielles extérieures" s’identifie à l’algèbre exté-
~X ~ ~ j
A(E’) (où E’ est considéré comme module sur l’anneau de s fonctions
numériques) ; l’opérateur d ("différentiation extérieure") est caractérisé par
les 3 propriétés :
1°) pour une f onction f (élément de .I~ C (E’ ) ) , df est la différentielle de f ;
2o) dd = 0 ;
3°) d est une antidérivation.
rieure
Chaque champ
do vecteurs
X
définit
une
transformation
infinitésimale,
que nous
A(E) et (E’) . On définit d’ abord
sur
~1 C (E ) - .11, C (E’ j en posant 8(X).f C X , df ~ . Alors il exis te un noyau
de groupe d’automorphismes de V , dépendant d’un paramètre réel additif t, soit
noterons 03B8(X) ,
qui opère
et
sur
=
~
c~ (M , t),
M --3~
opère
Ce groupe
t = 0 ,
tes
on
(qui
6(X)
ne
tel que, pour toute f onction
sur
obtient
A(E) et .il (E’ ) , et,
l’opérateur 8 (X ) , Il se
f,
en
dérivant par rapport à
commute
d
avec
(E’ ) ) ;
(sur
rieur, intérieur ou scalaire),
d’un produit ;3 en particulier,
on
sur
pour
applique
A(E)
prendre 03B8 {X )
sur
pour
suivan-
d’automorphismes):
la formule
et
règles
calculs à l’ aide des
nécessitent pas la recherche du groupe
t
A
d’un
produit (exté-
classique donnant
(E t ) ~ a {X )
est
la dérivée
une
déri-
vation.
Si
on
applique
6(X)
aux
champs
de
vecteurs,
on
obtient
6 {X ) .Y ;$
on a
la
formule fondamentale
qui
conduit à noter
l’identité de Jacobi.
~X ~ Y]
le champ de
vecteurs 6(X).Y .
Alors
(1 )
donne
H. CARI’AN
Enfin,
la "f ormule fondamentale du calcul des variations" :
on a
différentielles
extérieures,
(Démonstration : les 2 membres
égales sur les fonctions).
5.
n° 2 ,
comme au
sont des dérivations
le
qui commutent
produit intérieur.
avec
d
et sont
Lie.
Groupes de
V
i(X) désigne,
où
désignant
la variété d’un groupe de Lie
G,
on
ex le sous-espace de
notera
formé des champs de vecteurs invariants par les translations à gauche du groupe
G ; on notera 4~’ le sous-espace de E’ formé des formes différentielles (de
degré un) invariantes à gauche. a: et (X.’ sont deux espaces vectoriel* de dimension n sur le corps des réels R , et sont en dualité. L’algèbre extérieure
E
~(a’)
s’identifie à la
sous-algèbre
les extérieures invariantes à
à
l’opérateur
et est stable pour
gauche
(.~C{Q’ )
rentiation extérieure.
des formes différentiel-
A(E’) formée
de
d
de diffé-
constantes, identifié
est le corps des fonctions
R ).
Si
X
e
0: ,
le groupe
d’automorphismes
de
V
(cf . n° 4 ) est le
sous-groupe de G ; trajectoi-
défini par X
groupe des translations à droite par les éléments du
re de l’élément neutre. Donc
A (a) et A ( Of’) sont stables pour
.En
X E.
éléments
particulier,
sur
si
lesquels 6(X)
X
et
Y
s’annule
sont dans
quel
CC,
que soit
[X , Y]
8(X ) ,
est dans
si
et
Les
.
sont les éléments
X ~ 03B1
invariants à la fois par les translations à gauche et par les translations à droite.
On les appellera éléments invariants (tout court).
Comme
Autrement
8(X)
dit,
est nul
8 (X )
sur
sur
les scalaires
les formes est
(fonctions constantes),
transposé
de -
e(X)
on a :
sur
les
champs,
de
vecteurs.
L’espace vectoriel a ,
(X , Y ) .~ ~ X , Y ~
de
muni de la structure définie par
dans
est
l’algèbre
l’application
de Lie du groupe
G.
.~
6. Algèbres de Lie.
part d’une algèbre de Lie abstraite Û (définition classique), prise sur
un corps
K provisoirement quelconque. Soit n la dimension de l’espace vectoriel
sur K . On va tout construire à partir de la structure de a , en prenant
~
comme définitions les relations établies plus haut dans le cas du corps
R .
On
LES TRAVAUX DE
KOSZUL, I
On notera désormais. x, y , ~.. les
G~~ l’espace vectoriel dual
les éléments de J1. (et) ;
éléments
a’ ; (~ , ~ ,
; x’ , y’ ceux de
:
ceux de
.~ ( a’ ) . On définit A (x) , pour x E ~C
~ , ~g’ ,,
Soit
...
...
étant défini sur a et
e(x)
a’ ,
sur
transposé
de
de
h ( Oc’ ) ) ,
sur
c’est
une
est
à
définit,
commute
est nul
une
(resp;.
s’appellent
forment
un
sous-algèbre J .
,
endomorphisme ~
sur
les
a ;3
il commute
~. (a’) ,
de
nul
sur
les
dans
les
8(x) ,
et satisfait à
,
8(x) ,
on a
avec
caractérisée par
I~ ~(~j , l’endomorphisme
sur
avec
unique,
antidérivation,
~ applique ~.p ~ OC’)
On
de
conduit à définir
opérateur à
~~_0;
x
A (a)
tel que
scalaires,
tel
(2)
tout
0(x) qui opère
éléments de
A( Oi’)
sur
bi-invariants. Les éléments invariants de
sous-algèbre J , ceux
La relation
un
ou
Les
et
à
prolonge
8(x) soit une
- 0(x) opérant sur .~.(Oc’) .
lesquels 0 (x ) s’annule pour
éléments invariants
une
le
dérivation. Le
par la condition que
est
on
0,
ô
ô
transposé
dans
applique
/1,~~’(aj ,
enfin
d’où par récurrence la f ormule explicite
L’opérateur d
("algèbre
cohomologie, notée H(a’) . L’opérateur
définit un groupe d’homologie noté H(a)
cation dans
H(~)
et
parce
et
que a
en
dualité,
d’un groupe compact connexe,
l’espace (topologique)
donc
cochaînes"),
â,
; il
sur
n’est pas
sont naturellement
sont
des
ont
en
définit
algèbre de
chaînes")
.A (à) ("algèbre
n’y a pas, en général, de multipli-
une
une
des
antidérivation.
dualité ;
pour
chaque degré p,
méme dimension. Si Oc est
l’algèbre
de Lie
H(C’) s’identifie à l’algèbre de c ohomologie de
d’après le théorème de de Rham. Ceci prouve que
du groupe,
H. CARTAN
deux groupes
et connexes, localement
compacta
Dans tous les cas, la dimension commune de
p-ième nombre de Betti de l’algèbre de Lie
isomorphes,
ont même nombre de Betti.
s’appellera
et
Oc
le
.
développement. - Expressions de S et à à l’aide d’une base
de la base duale
(xk) de ( K de caractéristique 1: 2) ;
Sommaire du
de
X
et
C( unimodulaire :
"ad j ointe" ) ,
la chaîne
l4)
a une
de
03B8(x) , considéré
trace nulle, quel
degré
n
est
Si a est unimodulaire :
ceci
sur
un
correspond
endomorphisme de 03B1 (représentation
soit x 6 ù ;3 condition équivalente :
comme
que
cycle 3 condition équivalente : 03C9
L oc. définit
ce
au
(xk)
un
isomorphisme
de
est invariante.
ït~(~)
"théorème de dualité" de Poincaré. pour les
nom-
bres de Betti d’une variété.
d’algèbre de Lie semi-simple. - Algèbre sans radical -- algèbre dont
toutes les représentations sont complètement réductibles (au moins si K de carac( C : centre de a ) est semi-simple, on a un isomortéristique 0). Si
phisme canonique de H ( a’ ) sur $ ’ , de H (Ot) sur 3 (d’où : structure multiplicative de H(tt) dans ce cas).
Notion
Si
a est
sions 1 et 2
semi-simple, son
sont nuls, le 3e
vectoriel des f orme s
est
une
f (x, y )
égal
nul,
les nombres de Betti pour les dimen-
nombre de Betti est
quadrati que s
invariante s
(une
égal
à la dimension de
forme
quadratique
l’espace
invariante
bilinéaire telle que
COROLLAIRE. - Si
Betti est
centre est
K
est
quasi-réel maximale
à 1 .
12
et
03B1
simple,
le 3e nombre de