Espaces vectoriels normés.

Chapitre 6
Espaces vectoriels normés.
I. Normes. ................................................................................... 2
1/ Notion de norme. ...................................................................2
2/ Normes usuelles. ....................................................................3
3/ Un exercice classique : la norme subordonnée. ..................................4
4/ Le théorème fondamental : l’équivalence des normes. ...........................4
5/ Boules, sphères. .....................................................................5
6/ Ensembles bornés. ..................................................................6
7/ Parties convexes.....................................................................6
II. Suites d’un espace vectoriel normé. .................................................8
1/ Limite d’une suite ..................................................................8
2/ Propriétés de la limite ............................................................. 9
3/ Espaces vectoriels avec un produit. ..............................................10
III. Distance et topologie induite par la norme. .....................................11
1/ Distance ............................................................................11
2/ Ouverts d’un espace vectoriel normé.............................................11
3/ Notion de topologie................................................................12
4/ Intérieur, adhérence, frontière. ...................................................12
5/ Densité..............................................................................13
IV. Limite et continuité d’une application entre evn................................15
1/ Limite d’une application ..........................................................15
2/ Propriétés de la limite ............................................................16
3/ Continuité ..........................................................................16
4/ Cas des fonctions à valeurs dans R...............................................17
5/ Cas des applications linéaires, multilinéaires et polynômiales. ...............18
1

Chapitre 6
Espaces vectoriels normés.
Dans ce chapitre, Esera un Kespace vectoriel avec K=Rou K=C.
I. Normes.
I.1/ Notion de norme.
Définition. Une norme sur Eest une application Nde Edans R+vérifiant :
1) ∀x∈E,N(x)=0⇐⇒x=0(Séparation).
2) ∀x∈E,∀λ∈K,N(λ.x)=λ.N(x)(Homogénéité)
3) ∀x, y ∈E,N(x+y)≤N(x)+N(y)(Inégalité triangulaire)
Si on choisit une norme Nsur E, on dit que (E, N)est un espace vectoriel normé (evn).
Exercice.1
1. Montrer que la valeur absolue est une norme sur R , et que toute norme N sur R vérifie ∀x∈R ,
N(x)=λ.xavec λdans R.
2. Montrer que le module est une norme sur le C ev C , et que toute norme N sur C vérifie ∀z∈C ,
N(z)=λ.zavec λdans C.
Remarque. S’il manque la séparabilité à une application N pour devenir une norme, on l’appelle une
semi-norme.
Propriété.2Si Nest une norme sur Ealors
∀x, y ∈E, N(x)−N(y) ≤N(x+y)≤N(x)+N(y)
2

I.2/ Normes usuelles.
Sur Kn.3Soit x=(x1,...,xn)dans Knet pdans [1; +∞[, on définit :
x1=n
∑
i=1xi x2=n
∑
i=1xi2
1
2xp=n
∑
i=1xip
1
px∞=Max
1≤i≤nxi
Remarquons que :
1. Si n=1alors x1=x2=x∞=x.
2. Si p=2, on retrouve la norme euclidienne ...2.
3. Pour tout xde Kn,lim
p→+∞ xp=x∞d’où son nom.
Sur C([a, b],K).4Soit fdans C([a, b],K)et pdans [1; +∞[, on définit :
f1=∫b
af f2=∫b af21
2fp=∫b
afp1
pf∞=Max
x∈[a,b]f(x)
Remarquons que :
1. Si p=2, on retrouve la norme euclidienne ...2.
2. Pour tout fde C(a, b],K),lim
p→+∞ fp=f∞d’où son nom.
3. Les applications précédentes définies sur Cm([a, b],K) au lieu de C([a, b],K) sont semi-normes
uniquement.
Sur Mpq(K).5Soit A=(aij )dans Mpq (K)et pdans [1; +∞[, on définit :
A1=p
∑
i=1
q
∑
j=1aij  A2=
p
∑
i=1
q
∑
j=1aij 2
1
2Ap=
p
∑
i=1
q
∑
j=1aij p
1
pA∞=Max
i,j aij 
Remarquons que :
1. Si p= 2, on retrouve la norme euclidienne ...2 . On rappelle qu’on a aussi A2=tr(t A.A) pour
tout Ade Mpq(K).
2. Pour tout Ade Mpq (K),lim
p→+∞ Ap=A∞d’où son nom.
3

Sur R[X].6
1. On peut considérer un polynôme comme une fonction. Toutes les normes sur C([a, b],R) avec a
et bquelconques.
2. On a aussi pour P=(ai)∈K[X]:P=∞
∑
k=0ak.
I.3/ Un exercice classique : la norme subordonnée.
Exercice.7 Dans cet exercice on identifie les élément de Rn aux matrices colonnes. Soient ... une
norme sur Rnet Bla sphère unité associée. On pose pour Adans Mn(K)
A =Sup
x∈BAx
1. Justifier l’existence de Aet montrer que le sup est en fait un max.
2. Montrer que ... est une norme sur Mn(R).
3. Montrer que pour toutes matrices A et B de Mn(R) , on a (AB)≤(A)(A) . Les normes
de ... vérifiant cette propriété sont des normes matricielles (ou des normes d’algèbre).
I.4/ Le théorème fondamental : l’équivalence des normes.
Définition. Deux normes N1 et N2 sur E sont dites équivalentes et on note N1∼N2 s’il existe λ et µ
dans R∗
+vérifiant :
λ.N1(x)≤N2(x)≤µ.N1(x)
Exercice.8
1. Montrer que les normes ...1,...2et ...∞sont équivalentes sur R2.
2. Montrer que ...1et ...∞ne sont pas équivalentes sur C([a, b],K).
Théorème.9
1. L’équivalence de normes est une relation d’équivalence.
2. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
4

I.5/ Boules, sphères.
Définition. Soit ...une norme sur E,adans Eet rdans R∗
+.
1. La boule ouverte de centre aet de rayon rest :
B(a, r)=x∈E x−a<r
2. La boule fermée de centre aet de rayon rest :
B(a, r)=x∈E x−a≤r
3. La sphère de centre aet de rayon rest :
S(a, r)=x∈E x−a=r
4. Si a=0et r=1, les objets précédents sont appelés boule unité ouverte/fermée ou sphère unité.
Remarques.
1. On a B(a, r)=a+r.B( 0 , 1 ) (translation + homothétie). Moralité, la géométrie de la boule unité
détermine la géométrie de toutes les autres boules.
2. Sur R les boules ouvertes sont les intervalles du type ]a, b[ et les boules fermés sont les intervalles
du type [a, b]avec aet bdans Rtels que a<b.
Exemple. Les sphères unités pour les normes 1, 2 et ∞dans R2sont :
..1
..∞
..2
Exercice.10 Montrer que On(R)⊂S(0,√n). On rappelle que :
On(R)=A∈Gln(R)  A−1=t A
Exercice.11 Montrer que tout sev de (E, N )contenant une boule est égale à E.
5