Espaces vectoriels normés.

Chapitre 6
Espaces vectoriels normés.
I. Normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
Notion de norme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Normes usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Un exercice classique : la norme subordonnée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Le théorème fondamental : l’équivalence des normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Boules, sphères. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Ensembles bornés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Parties convexes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
II. Suites d’un espace vectoriel normé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1/ Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2/ Propriétés de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3/ Espaces vectoriels avec un produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III. Distance et topologie induite par la norme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1/
2/
3/
4/
5/
Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ouverts d’un espace vectoriel normé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Notion de topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Intérieur, adhérence, frontière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV. Limite et continuité d’une application entre evn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
1/
2/
3/
4/
5/
Limite d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Propriétés de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Cas des fonctions à valeurs dans R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Cas des applications linéaires, multilinéaires et polynômiales. . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
Chapitre 6
Espaces vectoriels normés.
Dans ce chapitre, E sera un K espace vectoriel avec K = R ou K = C.
I. Normes.
I.1/ Notion de norme.
Définition. Une norme sur E est une application N de E dans R+ vérifiant :
1) ∀x ∈ E, N (x) = 0 ⇐⇒ x = 0
(Séparation).
2) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, N (λ.x) = ∣λ∣.N (x)
(Homogénéité)
3) ∀x, y ∈ E, N (x + y) ≤ N (x) + N (y)
(Inégalité triangulaire)
Si on choisit une norme N sur E, on dit que (E, N ) est un espace vectoriel normé (evn).
1
Exercice.
1. Montrer que la valeur absolue est une norme sur R, et que toute norme N sur R vérifie ∀x ∈ R,
N (x) = λ.∣x∣ avec λ dans R.
2. Montrer que le module est une norme sur le C ev C, et que toute norme N sur C vérifie ∀z ∈ C,
N (z) = λ.∣z∣ avec λ dans C.
Remarque. S’il manque la séparabilité à une application N pour devenir une norme, on l’appelle une
semi-norme.
2
Propriété.
Si N est une norme sur E alors
∀x, y ∈ E, ∣N (x) − N (y)∣ ≤ N (x + y) ≤ N (x) + N (y)
2
I.2/ Normes usuelles.
Soit x = (x1 , . . . , xn ) dans Kn et p dans [1; +∞[, on définit :
3
Sur Kn .
n
n
∥x∥1 = ∑ ∣xi ∣
∥x∥2 = (∑ ∣xi ∣ )
i=1
2
1
2
n
∥x∥p = (∑ ∣xi ∣ )
i=1
p
1
p
∥x∥∞ = M ax ∣xi ∣
1≤i≤n
i=1
Remarquons que :
1. Si n = 1 alors ∥x∥1 = ∥x∥2 = ∥x∥∞ = ∣x∣.
2. Si p = 2, on retrouve la norme euclidienne ∥...∥2 .
3. Pour tout x de Kn , lim ∥x∥p = ∥x∥∞ d’où son nom.
p→+∞
Soit f dans C([a, b], K) et p dans [1; +∞[, on définit :
Sur C([a, b], K).
4
∥f ∥1 = ∫
b
a
∣f ∣
∥f ∥2 = (∫
b
a
∣f ∣2 )
1
2
∥f ∥p = (∫
a
b
∣f ∣p )
1
p
∥f ∥∞ = M ax ∣f (x)∣
x∈[a,b]
Remarquons que :
1. Si p = 2, on retrouve la norme euclidienne ∥...∥2 .
2. Pour tout f de C(a, b], K), lim ∥f ∥p = ∥f ∥∞ d’où son nom.
p→+∞
3. Les applications précédentes définies sur Cm ([a, b], K) au lieu de C([a, b], K) sont semi-normes
uniquement.
Sur Mpq (K).
5
Soit A = (aij ) dans Mpq (K) et p dans [1; +∞[, on définit :
1
1
p
q
∥A∥1 = ∑ ∑ ∣aij ∣
i=1 j=1
⎛p q
⎞p
∥A∥p = ∑ ∑ ∣aij ∣p
⎝i=1 j=1
⎠
⎛p q
⎞2
∥A∥2 = ∑ ∑ ∣aij ∣2
⎝i=1 j=1
⎠
∥A∥∞ = M ax ∣aij ∣
Remarquons que :
1. Si p = 2, on retrouve la norme euclidienne ∥...∥2 . On rappelle qu’on a aussi ∥A∥2 =
tout A de Mpq (K).
2. Pour tout A de Mpq (K), lim ∥A∥p = ∥A∥∞ d’où son nom.
p→+∞
3
i,j
√
tr( tA.A) pour
6
Sur R[X].
1. On peut considérer un polynôme comme une fonction. Toutes les normes sur C([a, b], R) avec a
et b quelconques.
∞
2. On a aussi pour P = (ai ) ∈ K[X] : P = ∑ ∣ak ∣.
k=0
I.3/ Un exercice classique : la norme subordonnée.
Exercice. Dans cet exercice on identifie les élément de Rn aux matrices colonnes. Soient ∥...∥ une
norme sur Rn et B la sphère unité associée. On pose pour A dans Mn (K)
7
∣∣∣A∣∣∣ = Sup ∥Ax∥
x∈B
1. Justifier l’existence de ∣∣∣A∣∣∣ et montrer que le sup est en fait un max.
2. Montrer que ∣∣∣...∣∣∣ est une norme sur Mn (R).
3. Montrer que pour toutes matrices A et B de Mn (R), on a ∣∣∣(∣∣∣AB) ≤ ∣∣∣(∣∣∣A)∣∣∣(∣∣∣A). Les normes
de ∣∣∣...∣∣∣ vérifiant cette propriété sont des normes matricielles (ou des normes d’algèbre).
I.4/ Le théorème fondamental : l’équivalence des normes.
Définition. Deux normes N1 et N2 sur E sont dites équivalentes et on note N1 ∼ N2 s’il existe λ et µ
dans R∗+ vérifiant :
λ.N1 (x) ≤ N2 (x) ≤ µ.N1 (x)
8
Exercice.
1. Montrer que les normes ∥...∥1 , ∥...∥2 et ∥...∥∞ sont équivalentes sur R2 .
2. Montrer que ∥...∥1 et ∥...∥∞ ne sont pas équivalentes sur C([a, b], K).
9
Théorème.
1. L’équivalence de normes est une relation d’équivalence.
2. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
4
I.5/ Boules, sphères.
Définition. Soit ∥...∥ une norme sur E, a dans E et r dans R∗+ .
1. La boule ouverte de centre a et de rayon r est :
B(a, r) = { x ∈ E / ∥x − a∥ < r }
2. La boule fermée de centre a et de rayon r est :
B(a, r) = { x ∈ E / ∥x − a∥ ≤ r }
3. La sphère de centre a et de rayon r est :
S(a, r) = { x ∈ E / ∥x − a∥ = r }
4. Si a = 0 et r = 1, les objets précédents sont appelés boule unité ouverte/fermée ou sphère unité.
Remarques.
1. On a B(a, r) = a + r.B(0, 1) (translation + homothétie). Moralité, la géométrie de la boule unité
détermine la géométrie de toutes les autres boules.
2. Sur R les boules ouvertes sont les intervalles du type ]a, b[ et les boules fermés sont les intervalles
du type [a, b] avec a et b dans R tels que a < b.
Exemple. Les sphères unités pour les normes 1, 2 et ∞ dans R2 sont :
∥..∥1
∥..∥∞
∥..∥2
10
Exercice.
Montrer que On (R) ⊂ S(0,
√
n). On rappelle que :
On (R) = { A ∈ Gln (R) / A−1 = tA }
11
Exercice.
Montrer que tout sev de (E, N ) contenant une boule est égale à E.
5
I.6/ Ensembles bornés.
Définition. Soit (E, ∥...∥) un espace vectoriel normé.
1. Une partie A de E est bornée pour ∥...∥ ssi :
∃M ∈ R, ∀x ∈ A, ∥x∥ ≤ M
2. Une suite (un ) de E est bornée pour ∥...∥ ssi :
∃M ∈ R, ∀n ∈ N, ∥un ∥ ≤ M
3. Une application de X dans E est bornée pour ∥...∥ ssi : ∃M ∈ R, ∀x ∈ X, ∥f (x)∥ ≤ M
12
Remarque. La notion de "borné" dépend de la norme comme le montre l’exemple suivant. Pour n
dans N∗ , considérons l’application fn de [0, 2] dans R définie par :
⎧
n2 x
⎪
⎪
⎪
⎪
fn (x) = ⎨ − n2 (x − n2 )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 0
n
1
n
si x ∈ [0; n1 ]
si x ∈ [ n1 ; n2 ]
si x ∈ [ n2 ; 2]
2
n
La suite (fn ) est bornée pour ∥..∥1 mais non bornée pour ∥...∥∞ . Cependant en dimension finie, comme
le montre le théorème suivant, la notion de "bornée" ne dépend plus de la norme.
13
Théorème.
1. Deux normes équivalentes donnent les mêmes ensembles, applications et suites bornées.
2. En dimension finie, être bornée ne dépend pas de la norme choisie.
I.7/ Parties convexes.
Définitions.
1. Soit x et y dans E. Le segment [x, y] est l’ensemble :
[x, y] = { λ.x + (1 − λ).y / λ ∈ [0, 1] }
2. Un combinaison linéaire convexe (CLC) de x1 , . . . , xn dans E est une expression du type
λ1 x1 + . . . + λn xn avec λ1 + . . . + λn = 1 et λ1 , . . . , λn dans R+ .
3. Un ensemble A est stable par CLC ssi pour tous x1 , . . . xn de A les CLC de x1 , . . . , xn est encore
dans A.
4. Une partie A de E est convexe ssi pour tous x, y de E, le segment [x, y] est encore dans E.
6
Exemple. Dans R, les convexes sont exactement les intervalles.
Exemples. Dans R2 :
Convexe
Non convexe
14
Théorème.
1. A est convexe ssi A est stable par CLC
2. L’intersection de convexes est encore un convexe.
3. Les espaces vectoriels et les boules d’un evn sont convexes.
4. Soit A une partie de E. Il existe un ensemble convexe Conv(A) qui est plus petit que tout convexe
contenant A. C’est l’enveloppe convexe de A
a b
] / a + b + c + d = 1 } est convexe. Est-ce un espace vectoriel ?
c d
15
A={[
16
L’ensemble des polynômes à coefficients positifs est convexe.
Exercice.
Exercice.
17
Exercice.
Soit P dans C[X]. Notons P ′ son polynôme dérivé.
1. Montrer que Rac(P ′ ) ⊂ Conv(Rac(P )) (Lucas)
2. En déduire que si P scindé alors P ′ est scindé.
7
II. Suites d’un espace vectoriel normé.
II.1/ Limite d’une suite
Définition. La suite (un ) de E tend vers l de E pour la norme ∥...∥ si et seulement si :
∀ε ∈ R∗+ , ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∥un − l∥ ≤ ε
On note un
∥...∥
n→+∞
l.
Remarques.
1. C’est la définition de la limite d’une suite réelle en remplaçant la valeur absolue par la norme.
2. La convergence d’une suite dépend de la norme ∥...∥ choisie. Considérons la suite de fonction (fn ) :
⎧
nx
⎪
⎪
⎪
⎪
fn (x) = ⎨ − n (x − n2 )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 0
1
1
n
si x ∈ [0; n1 ]
si x ∈ [ n1 ; n2 ]
si x ∈ [ n2 ; 2]
2
n
La suite (fn ) tend vers la fonction nulle pour ∥...∥1 mais pas pour ∥...∥∞ .
3. On peut toujours se ramener à la convergence d’une suite réelle puisque :
un
∥...∥
n→+∞
l
⇐⇒
∥un − l∥ Ð→ 0
n→+∞
18
Propositions.
1. Deux normes équivalentes définissent les mêmes suites convergentes. De plus, les limites sont les
mêmes.
2. En dimension finie, il n’y a pas besoin de préciser la norme utilisée puisque toutes les normes sont
équivalentes.
Exercice. Montrer que toute matrice de Mn (C) est limite d’une suite de matrices diagonalisables.
On verra que cela signifie que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn (C).
19
8
II.2/ Propriétés de la limite
20
Propriétés.
1. Toute suite convergente est bornée.
2. Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente.
3. Toute CL de suites convergentes converge vers la CL des limites.
4. Si E est de DF, une suite de vecteur (xk ) de E converge vers x ssi les coordonnées de xk dans
une base converge vers les coordonnées de x.
Conséquences. En appliquant le point 5 à différents espaces vectoriels normés de DF, on trouve :
1. Une suite de vecteurs (x1k , . . . , xnk )k∈N de Rn converge vers (x1 , . . . , xn ) ssi pour tout i de
{1, . . . , n}, xik Ð→ xi .
k→+∞
2. Une suite de matrice (Ak ) converge vers la matrice A si et seulement si les coefficients de Ak
converge vers ceux de A.
3. Une suite de polynômes (Pk ) de Rn [X] (donc les degrés des polynômes Pk sont majorés par n)
converge vers le polynôme P si et seulement si les coefficients de Pk convergent vers les coefficients
de P .
Exemples.
1. arctan(n)(X + 1)2 +
2.
1
n2 + 1
π
(X + 2) − 2
Ð→
(X + 1)2 − 1
n
n − 1 n→∞ 2
n
n+1 ⎞
⎛ 0 1 ⎞
1 ⎛ (−1)
Ð→
1
2
n ⎝ n sin ( n )
1 ⎠ n→+∞ ⎝ 1 0 ⎠
Remarque. La conséquence 3 est fausse si les degrés des polynômes ne sont pas majorés (on est donc
en DI). Par exemple, la suite (X n ) ne converge pas vers le polynôme nul pour la norme infinie sur [0, 1]
et pourtant chaque coefficient de X n converge vers 0. On pourra trouver un autre contre-exemple dans
l’exercice suivant.
21
Exercice.
∞
Soit P dans R[X] de coefficients (an ). On note ∥P ∥ = ∑ (k + 1)∣ak ∣
k=0
1. Montrer que ∥...∥ est une norme sur R[X].
2. Montrer que :
1
Xn + X + 1
n+1
∥...∥
n→+∞
9
X +1
II.3/ Espaces vectoriels avec un produit.
Problématique. On considère un K-espace vectoriel normé muni d’une 2ème LCI × distributive par
rapport à +. Par exemple on peut prendre Mn (K), K, K[x], C([a, b], R), L(E) (avec la composition
pour 2ième LCI). . . On prend ensuite deux suites (xn ), (yn ) de E. A-t-on :
⎧
lim xn = x
⎪
?
⎪ n→+∞
⎨
Ô⇒
lim xn yn = xy
n→+∞
lim
y
=
y
⎪
n
⎪
⎩ n→+∞
Comme le montre l’exemple suivant, la réponse est non.
Pour tout polynôme réel P de coefficients (an ), on définit N (P ) par :
22
Exercice.
∞
∣ak ∣
k=0 k + 1
N (P ) = ∑
1. Montrer que N est une norme sur R[x].
√
2. Posons Pn = n + 1.X n . Déterminer la limite P de (Pn ) pour cette norme.
3. Montrer que Pn2
23
Théorème.
∥...∥
n→+∞
P2
Cependant, le résultat est vrai dans 2 cas particuliers.
1. E est de dimension finie.
2. E = C([a, b], R) muni de la norme ∥...∥∞
10
III. Distance et topologie induite par la norme.
III.1/ Distance
Définition. Une distance sur un ensemble A est une application d de A2 dans R+ vérifiant :
1) ∀x, y ∈ A, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
(Sépération)
2) ∀x, y ∈ A, d(x, y) = d(y, x).
(Symétrie)
3) ∀x, y ∈ A, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
(Inégalité triangulaire)
24
Proposition.
Pour toute norme ∥...∥ sur E, on peut définir une distance d par :
∀x, y ∈ E, d(x, y) = ∥x − y∥
25
Remarque. Il existe des distances qui ne proviennent pas de norme. Par exemple, sur R, l’application
d définie de R2 dans R+ par :
∀x, y ∈ R, d(x, y) = arctan ∣x − y∣
est une distance. Mais, à partir de maintenant, on va les ignorer (HP).
III.2/ Ouverts d’un espace vectoriel normé.
Définitions.
1. Un sous ensemble O de (E, ∥...∥) est un ouvert ssi : ∀x ∈ O, ∃r ∈ R+ / B(x, r) ⊂ O
2. Un sous ensemble F de (E, ∥...∥) est un fermé ssi son complémentaire est un ouvert.
Remarques.
1. Il existe des ensembles ouverts et fermés. Il y a par exemple E et ∅, et il peut y en avoir d’autres.
2. Dans la définition, r dépend de x.
3. La définition de B(?, ?) dépend de la norme ! Si on change de norme, on change les ouverts.
4. Pour tous a et b de R avec a < b, les ensembles
● ∅, R, ]a, b[, ]a, +∞[ et ] − ∞; a[ sont ouverts.
● ∅, R, [a, b], [a, +∞[ et ] − ∞; a] sont fermés.
26
Propriétés.
1. Si N1 et N2 sont des normes équivalentes alors les ouverts/fermés pour N1 sont les ouverts/fermés
pour N2 .
2. En dimension finie, les ouverts ne dépendent pas de la norme choisie. On peut donc parler
d’ouverts/fermés sans préciser la norme.
3. Les boules ouvertes sont des ouverts, les boules fermées et les sphères sont des fermés.
4. Un ensemble F est fermé si et seulement si toute suite convergente de F converge dans F .
11
27
Exercice.
Notons
A={[
a b
] / a, b, c, d ∈ R∗ }
c d
B ={[
a b
] / a, b, c, d ∈ [0, 1]}
c d
Montrer que A est ouvert et B est fermé dans Mn (R)
28
Exercice.
1. Montrer que le seul sev de (E, N ) ouvert est E tout entier.
2. Montrer que tout sev de dimension finie d’un evn est fermé.
3. Montrer que F = {P ∈ R[X] / P (0) = 0} n’est pas fermé dans K[X] muni de la norme infinie sur
[1, 2].
4. Montrer que F est fermé pour la norme infinie sur [0, 1]
III.3/ Notion de topologie.
Définition.
1. Définir une topologie sur un ensemble E, c’est choisir parmi les sous-ensembles de E, ceux qu’on
appellera des ouverts. Ainsi une topologie est un sous ensemble de P(E). Ces ouverts doivent
vérifier :
a) ∅ et E sont ouverts
b) Une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert.
c) Une intersection finie d’ouverts est un ouvert.
2. Un sous-ensemble F est alors fermé ssi son complémentaire dans E est ouvert.
29
Proposition. L’ensemble des ouverts définis dans le paragraphe précédent dans l’espace vectoriel
normé (E, ∥...∥) est une topologie. C’est la topologie associée à la norme ∥...∥.
Remarques.
1. Ainsi se donner une Norme, c’est également se donner une distance et une topologie.
2. Pour se souvenir que l’intersection d’ouverts doit être fini penser aux intervalles ]− n1 , n1 [.
III.4/ Intérieur, adhérence, frontière.
Définitions. Soit A un sous-ensemble de E.
○
1. L’intérieur de A, noté A , est le grand ouvert contenu dans A.
2. L’adhérence de A, notée A , est le petit fermé contenant A.
○
3. La frontière de A, notée δA ou F r(A) est l’ensemble A ∖ A
12
Remarques.
○
1. En particulier A ⊂ A ⊂ A,
○
○
A est ouvert, A est fermé.
2. ]a, b[ = [a, b], [a, b[ =]a, b[. Par contre ]a, +∞[ = [a, +∞[.
3. Attention R n’est pas l’adhérence de R dans l’evn R.
4. L’intérieur d’une boule fermée est la boule ouverte, l’adhérence de la boule ouverte est la boule
fermée.
30
Proposition.
○
1. x ∈ A
ssi il existe une boule centrée en x incluse dans A.
2. x ∈ A
ssi toute boule centrée en x rencontre A
○
3. A est ouvert ssi A = A,
○
○
ssi x est limite d’une suite de A.
A est fermé ssi A = A
4. Si A ⊂ B alors A ⊂ B et A ⊂ B.
○
○
5. E ∖ A = E ∖ A et E ∖ A = E ∖ A .
III.5/ Densité.
Définition. Un ensemble est dense D dans E ssi D = E.
31
Propriétés.
Ø D est dense dans E
Ú
Ú
Ú D=E
Ú
Ú
Ú E ∖ D est d’intérieur vide
Ú
Ú
Ú Il existe des éléments de D dans chaque boule ouverte de E
Ù
32
Exercice.
1. Montrer que Q et R ∖ Q sont denses dans R et sont d’intérieur vide.
2. Montrer que toute application continue de R dans R vérifiant :
∀x, y ∈ R, f (x + y) = f (x) + f (y)
est une homothétie.
33
Exercice.
1. Montrer que tout sev strict de (E, N ) est d’intérieur vide.
2. En déduire que An (R) Sn (R), Tn+ (R), Tn− (R) et Dn (R) sont d’intérieur vide dans Mn (R)
13
34
Exercice.
1. Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables sur C est dense dans Mn (C).
2. Montrer que l’ensemble des matrices ayant n valeurs propres distincts sur C est dense dans
Mn (C).
3. Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables sur R n’est pas dense dans Mn (R).
4. Démontrer le théorème de Cayley-Hamilton. On admettra si :
Mn Ð→ M
n→+∞
Ô⇒
14
χMn (Mn ) Ð→ χM (M )
n→+∞
IV. Limite et continuité d’une application entre evn.
IV.1/ Limite d’une application
Définition. Soient (E, ∥...∥E ) et (F, ∥...∥F ) des espaces vectoriels normés. Une application f de E dans
F admet une limite l en x0 si et seulement si :
∀ε ∈ R∗+ , ∃η ∈ R∗+ , ∀x ∈ Df , ∥x − x0 ∥E ≤ η Ô⇒ ∥f (x) − l∥F ≤ ε
Remarques.
1. C’est la définition de la limite d’une fonction réelle en remplaçant les valeurs absolues par des
normes.
2. Si on arrive à montrer que pour tout x de E, on a :
∥f (x) − l ∥F ≤ α∥x − x0 ∥βE
1
avec α et β réels positifs, l’application f admet l pour limite en x0 (on prend η = ( αε ) β ). En
pratique, comme par exemple dans l’exercice suivant, on essaie de retrouver cette inégalité.
Montrer que l’application f de (R2 , ∥...∥∞ ) dans (R, ∣...∣) suivante admet une limite en 0 :
35
Exercice.
f (x, y) =
x2 y 2
x2 + y 2
36
Théorème - caractérisation séquentielle.
lim f (x) = l
x→x0
⇐⇒
⎧
⎪
⎪
⎪ Pour toute suite (un ) de A
⎨
∥...∥E
⎪
⎪
u
x0 Ô⇒ f (un )
⎪
n
n→+∞
⎩
∥...∥
F
n→+∞
f (l)
37
Exercice. Comme pour les fonctions de R dans R, on se sert souvent de la caractérisation séquentielle
pour montrer qu’il n’y a pas de limite. Montrer que la fonction de R2 dans R suivante n’a pas de limite
en (0, 0) :
xy
f (x, y) = 2
x + y2
38
Théorème.
1. Des normes équivalentes dans les espaces de départ et d’arrivée définissent les mêmes fonctions
convergentes. De plus les limites sont les mêmes.
2. En dimension finie (espaces de départ et d’arrivée), il n’y a pas besoin de préciser les normes
utilisées puisque la notion de convergence est indépendante des normes choisies.
15
IV.2/ Propriétés de la limite
Définition. Soit f dans F(E, F ). Si F est de dimension finie, les coordonnées de f (x) dans une base
β sont appelées les fonctions composantes de f dans β.
39
Propriétés.
1. Toute application convergente en x0 est bornée au voisinage de x0 .
2. Toute CL d’applications convergentes converge vers la CL des limites.
⎧
Ð→ x1
⎪
⎪ f (x) x→x
0
3. Si ⎨
alors g(f (x)) Ð→ l
x→x0
g(x) Ð→ l
⎪
⎪
x→x1
⎩
4. Si E est de DF alors toute application à valeur dans E converge vers l ssi toutes ses fonctions
composantes de f converge vers les coordonnées de l.
Exemples.
1. ( x ln(x) ,
2.
(ex − 1)
, x sin ( x1 ) ) Ð→ (0, 1, 0)
x→0
x
tan(x) ⎞
⎛ 1 1 ⎞
1 ⎛ sin(x)
Ð→
x ⎝ arctan(x) arcsin(x) ⎠ x→0 ⎝ 1 1 ⎠
IV.3/ Continuité
Définitions. Soient (E, ∥...∥E ) et (F, ∥...∥F ) des evn, f ∈ F(E, F ), x0 ∈ E et A ⊂ E.
1. f est continue en x0 ssi : lim f (x) = f (x0 )
x→x0
2. f est continue sur A ssi f est continue en tout point de A. On note C(A, F ) l’ensemble des
applications continues de A dans F .
3. f est lipschitzienne sur A ssi il existe λ dans R telle que :
∀x, y, ∈ A, ∥f (x) − f (y)∥F ≤ λ∥x − y∥E
16
40
Propriétés.
1. Des normes équivalentes dans les espaces de départ et d’arrivée définissent les mêmes fonctions
continues.
2. En dimension finie (espaces de départ et d’arrivée), il n’y a pas besoin de préciser les normes
utilisées puisque la notion de continuité est indépendante des normes choisies.
3. Une CL, la composée d’applications continues est continue.
4. Toute application lipschitzienne sur A est continue sur A.
5. Une application f est continue en x0 ssi ses fonctions composantes le sont.
Exemple. L’application f de R2 dans R3 définie par
f (x, y) = (xy , sin(x)ey , y arctan(x))
est continue sur R
41
Exercice.
Montrer que l’application de R2 dans R définie par :
⎧
x3 + xy 2 + 3x2 y + 7y 3
⎪
⎪
⎪
⎪
x2 + y 2
f (x, y) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
0
⎩
si (x, y) ≠ (0, 0)
sinon
est continue en (0, 0).
42
Montrer que la norme d’un espace vectoriel normé E est continue sur E.
43
Considérons l’application
Exercice.
Exercice.
δ
C([0, 1], R)
f
→
↦
R
f (0)
1. Montrer que δ est lipschitzienne pour ∥...∥∞ et par pour la norme ∥...∥1
2. Montrer que δ est continue pour ∥...∥∞ et par pour la norme ∥...∥1
IV.4/ Cas des fonctions à valeurs dans R.
44
Propositions.
Soit E un R-evn et f dans C(E, R).
1. La préimage d’un ouvert de R par l’application continue f est un ouvert de E.
2. La préimage d’un fermé de R par l’application continue f est un fermé de E.
3. En dimension finie les ensembles fermés et bornés sont appelés des compacts. Si E est de DF,
l’application continue f sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
17
Remarques.
1. En particulier si f est continue alors :
● f −1 (R∗ ), f −1 (]0, +∞[) et f −1 (] − ∞, 0[) sont ouverts.
● f −1 ({0}), f −1 ([0, +∞[) et f −1 (] − ∞, 0]) sont fermés.
2. Les points 1 et 2 sont vrais même si l’espace d’arrivée est un evn quelconque. Ce sont même les
"vraies" définitions des applications continues. Ainsi la topologie est structure minimale pour
parler d’applications continues. Mais ceci est une autre histoire. . .
3. Le point 3 est une généralisation de "toute application continue sur un segment est bornée et
atteint ses bornes".
4. Le point 3 peut aussi se généraliser en remplaçant R par un evn de DF. On peut aussi se placer
en dimension quelconque à condition de donner une autre définition aux compacts. . . Largement
hors programme.
45
Exercice. Montrer que toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. Pour une norme N
quelconque, on pourra montrer qu’elle est continue pour la norme ∥...∥∞ et donc qu’elle bornée et atteint
ses bornes sur la sphère unité.
IV.5/ Cas des applications linéaires, multilinéaires et polynômiales.
46
Théorème.
1. Toute AL d’un evn de DF dans un evn de DQ est continue.
2. Toute application multilinéiaire d’un produit d’evn de DF dans un evn de DQ est continue.
3. Toute application polynômiale de Kn dans K est continue.
Exemples.
1. La trace, la transposée sont des applications continues.
2. Le produit scalaire d’un eve (donc de DF) est continue.
3. L’ensemble des matrices de trace nulle, An (K) et Sn (K) sont des fermés de Mn (R).
4. L’ensemble de polynômes de degré 2 ayant 2 racines réelles distinctes est un ouvert de R2 [X]
5. Une ellipse {(x, y) ∈ R2 /
x2
a2
+
y2
b2
= 1 } est un fermé de R2 .
Rappels.
1. Une application multilinéaire est une application qui est linéaire par rapport à toutes ses variables.
2. Une application monomiale de Kn dans K est une application f du type :
f (x1 , . . . , xn ) = xα1 1 xα2 2 . . . xαnn
avec α1 , . . . , α1 dans N.
3. Une application polynômiale est une CL d’applications monomiales.
18
47
Exercice.
1. Montrer que det est une continue sur Mn (K).
2. En déduire que Gln (K) est un ouvert de Mn (K).
19