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Chapitre 6
Espaces vectoriels normés.
I. Normes. ................................................................................... 2
1/ Notion de norme. ...................................................................2
2/ Normes usuelles. ....................................................................3
3/ Un exercice classique : la norme subordonnée. ..................................4
4/ Le théorème fondamental : l’équivalence des normes. ...........................4
5/ Boules, sphères. .....................................................................5
6/ Ensembles bornés. ..................................................................6
7/ Parties convexes.....................................................................6
II. Suites d’un espace vectoriel normé. .................................................8
1/ Limite d’une suite ..................................................................8
2/ Propriétés de la limite ............................................................. 9
3/ Espaces vectoriels avec un produit. ..............................................10
III. Distance et topologie induite par la norme. .....................................11
1/ Distance ............................................................................11
2/ Ouverts d’un espace vectoriel normé.............................................11
3/ Notion de topologie................................................................12
4/ Intérieur, adhérence, frontière. ...................................................12
5/ Densité..............................................................................13
IV. Limite et continuité d’une application entre evn................................15
1/ Limite d’une application ..........................................................15
2/ Propriétés de la limite ............................................................16
3/ Continuité ..........................................................................16
4/ Cas des fonctions à valeurs dans R...............................................17
5/ Cas des applications linéaires, multilinéaires et polynômiales. ...............18
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