Crible d`Ératosthène

Crible d’Ératosthène
Le but de cet exercice est de déterminer, sans trop d’efforts, tous les nombres premiers
inférieurs ou égaux à 100.
Pour cela, on va se servir du tableau ci-dessous :
12345678910
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Dans la suite, nous allons entourer les nombres premiers et barrer les autres.
1. Barrer le nombre 1car il n’est pas premier.
2. a. Entourer le nombre 2qui est premier.
b. Barrer tous les multiples de 2.
3. a. Le plus petit nombre non barré est 3.
Ainsi, 3n’est divisible que par 1et lui-même, il est donc premier. Entourer 3.
b. Barrer tous les multiples de 3.
4. Faire de même avec 5puis avec 7.
5. Choisir un nombre non barré (ni entouré) au hasard, est-il premier ?
6. Quelle conjecture peut-on faire ?
Démonstration
On considère p, un nombre du tableau ni barré ni entouré.
1. Compléter l’encadrement suivant : . . . 6p6. . ..
2. pest-il divisible par 2,3,5ou 7? Expliquer pourquoi.
3. pest-il divisible par 4,6,8,9ou 10 ? Dans chaque cas, expliquer pourquoi.
4. En utilisant une proposition du cours, en déduire que pest premier.
Entourer tous les nombres premiers du tableau.
Pour aller (un peu) plus loin
Peut-on améliorer la proposition du cours utilisée à la question 4pour la rendre plus efficace ?
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Crible d’Ératosthène
Correction
Les nombres ni barrés ni entourés sont : 11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,
67,71,73,79,83,89,97.
Tout ces nombres étant premiers, on peut conjecturer que tout nombre inférieur à 100 qui n’est
pas un multiple de 2,3,5ou 7est premier.
Démonstration
1. pétant un nombre du tableau ni barré ni entouré, on a : 11 6p697.
2. pn’est pas divisible par 2,3,5ou 7. En effet, les multiples de ces entiers ont été barrés.
3. pn’étant pas divisible par 2, il ne peut être divisible par 2×2=4.
pn’étant pas divisible par 2ni par 3, il ne peut être divisible par 2×3=6.
pn’étant pas divisible par 2, il ne peut être divisible par 2×2×2 = 8.
pn’étant pas divisible par 3, il ne peut être divisible par 3×3=9.
pn’étant pas divisible par 2ni par 5, il ne peut être divisible par 2×5 = 10.
4. On sait que p697 <100, autrement dit on sait que √p < 10.
Étant donné que √pn’est divisible par aucun nombre inférieur ou égal à 10, pest premier.
Pour aller (un peu) plus loin
Ainsi, nous venons de préciser une proposition du cours :
Proposition. Soit a∈N, si aucun nombre premier inférieur ou égal à √ane divise a, alors
aest premier.
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