Crible d`Ératosthène

Crible d’Ératosthène
Le but de cet exercice est de déterminer, sans trop d’efforts, tous les nombres premiers
inférieurs ou égaux à 100.
Pour cela, on va se servir du tableau ci-dessous :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Dans la suite, nous allons entourer les nombres premiers et barrer les autres.
1. Barrer le nombre 1 car il n’est pas premier.
2. a. Entourer le nombre 2 qui est premier.
b. Barrer tous les multiples de 2.
3. a. Le plus petit nombre non barré est 3.
Ainsi, 3 n’est divisible que par 1 et lui-même, il est donc premier. Entourer 3.
b. Barrer tous les multiples de 3.
4. Faire de même avec 5 puis avec 7.
5. Choisir un nombre non barré (ni entouré) au hasard, est-il premier ?
6. Quelle conjecture peut-on faire ?
Démonstration
On considère p, un nombre du tableau ni barré ni entouré.
1. Compléter l’encadrement suivant : . . . 6 p 6 . . ..
2. p est-il divisible par 2, 3, 5 ou 7 ? Expliquer pourquoi.
3. p est-il divisible par 4, 6, 8, 9 ou 10 ? Dans chaque cas, expliquer pourquoi.
4. En utilisant une proposition du cours, en déduire que p est premier.
Entourer tous les nombres premiers du tableau.
Pour aller (un peu) plus loin
Peut-on améliorer la proposition du cours utilisée à la question 4 pour la rendre plus efficace ?
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Cours 2˚
Crible d’Ératosthène
Correction
Les nombres ni barrés ni entourés sont : 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,
67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Tout ces nombres étant premiers, on peut conjecturer que tout nombre inférieur à 100 qui n’est
pas un multiple de 2, 3, 5 ou 7 est premier.
Démonstration
1. p étant un nombre du tableau ni barré ni entouré, on a : 11 6 p 6 97.
2. p n’est pas divisible par 2, 3, 5 ou 7. En effet, les multiples de ces entiers ont été barrés.
3. p
p
p
p
p
n’étant
n’étant
n’étant
n’étant
n’étant
pas
pas
pas
pas
pas
divisible
divisible
divisible
divisible
divisible
par
par
par
par
par
2, il
2 ni
2, il
3, il
2 ni
ne peut être divisible par 2 × 2 = 4.
par 3, il ne peut être divisible par 2 × 3 = 6.
ne peut être divisible par 2 × 2 × 2 = 8.
ne peut être divisible par 3 × 3 = 9.
par 5, il ne peut être divisible par 2 × 5 = 10.
√
4. On sait que p 6 97 < 100, autrement dit on sait que p < 10.
√
Étant donné que p n’est divisible par aucun nombre inférieur ou égal à 10, p est premier.
Pour aller (un peu) plus loin
Ainsi, nous venons de préciser une proposition du cours :
Proposition. Soit a ∈ N, si aucun nombre premier inférieur ou égal à
a est premier.
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√
a ne divise a, alors
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