DM3 - Sciences Physiques en MP au lycée Clemenceau Nantes Site

1 – DM3 Sciences Physiques MP 2016-2017
Devoir de Sciences Physiques n˚3 pour le 03-11-2016
Probl`eme no1 – Les t´elescopes infrarouges Centrale MP 2014
Sujet adapt´e pour tenir compte des nouveaux programmes. . .
Ce sujet traite de l’observation, `a l’aide de t´elescopes, des rayonnements infrarouges provenant de l’espace. Ces
rayonnements sont ´emis par des corps tels que des ´etoiles jeunes ou des poussi`eres froides. L’observation dans
ce domaine de longueurs d’onde se heurte `a plusieurs difficult´es. D’une part, ces rayonnements sont fortement
absorb´es par l’atmosph`ere. D’autre part, l’atmosph`ere et les instruments de mesure sont ´egalement sources de
rayonnement infrarouge. On peut s’affranchir du probl`eme de l’atmosph`ere en embarquant le t´elescope sur un
satellite et de l’´emission thermique de l’instrument en refroidissant les diff´erents ´el´ements `a l’aide de puissants
syst`emes cryog´eniques. Cependant, les dimensions des t´elescopes en orbite ´etant limit´ees, leur r´esolution th´eo-
rique est moins bonne que celle de certains t´elescopes au sol comme ceux du Very Large Telescope array (VLT)
de l’European Southern Observatory `a Paranal au Chili qui b´en´eficient d’un ciel tr`es pauvre en vapeur d’eau et
d’une atmosph`ere tr`es stable.
A. D´etection de rayonnement infrarouge
Les rayonnements infrarouges sont d´etect´es par des instruments appel´es bolom`etres. Le principe de la d´etection
repose sur la variation de la r´esistance d’un mat´eriau lors de son ´echauffement suite `a une absorption de
rayonnement ´electromagn´etique. La figure 1 pr´esente le sch´ema de principe du bolom`etre ´etudi´e dans cette
partie.
R(T)
Cth T(t)
I
Courant
Rayonnement incident
Puissance Φi
Poutre de conductance
thermique Gth
Source froide `a TS
Figure 1 – Sch´ema d’un bolom`etre
Le bolom`etre, de capacit´e thermique Cth , absorbe le flux ´electromagn´etique incident Φisuppos´e constant. Il
poss`ede par ailleurs une r´esistance ´electrique R(T) fonction de sa temp´erature Tsuppos´ee uniforme et est
parcouru par un courant d’intensit´e I. Le bolom`etre est reli´e m´ecaniquement et thermiquement `a une source
froide maintenue `a la temp´erature TSpar des poutres de conductance thermique Gth. On mesure les variations
de la tension V`a ses bornes lorsque la r´esistance Rvarie. La r´esistance ´electrique Rdu mat´eriau varie avec la
temp´erature en suivant la loi lin´eaire :
R(T) = R0+αR0(T−TS)
o`u αet R0sont des constantes caract´eristiques du mat´eriau. On suppose α < 0.
G´en´eralit´es sur les d´etecteurs
1. Citer des d´etecteurs d’ondes ´electromagn´etiques utilis´es en travaux pratiques et le domaine des ondes
auxquels ils sont sensibles.
2. Dans quel intervalle de longueur d’onde se situent les rayonnements infrarouges ?
3. La loi de Wien relative `a l’´emission thermique d’un corps noir peut s’´ecrire λmaxT= 2,89 ×10−3m·K.
Cette loi permet de caract´eriser le spectre de la puissance rayonn´ee par tout corps suivant le mod`ele du corps
noir en donnant la longueur du spectre pour laquelle l’´emission est maximale. Expliquer, en le justifiant avec
des valeurs num´eriques, pourquoi il est n´ecessaire de refroidir les instruments d’un t´elescope, qu’ils soient sur
Terre ou dans l’espace (temp´erature de l’ordre de quelques dizaines de Kelvin).
Principe du bolom`etre
Un montage ´electrique permet d’assurer dans le bolom`etre la circulation d’un courant ´electrique d’intensit´e I.
La temp´erature du bolom`etre ob´eit `a une ´equation diff´erentielle issue de l’application du premier principe de la
Thermodynamique :
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Cth
dT
dt=X
k
Pk
o`u X
k
Pkrepr´esente l’ensemble des puissances re¸cues (Pk>0) et des puissances perdues (Pk<0) par le
bolom`etre. On indique que le bolom`etre perd la puissance suivante par conduction thermique `a travers la
poutre :
Pth =Gth (T(t)−TS)
4. Montrer que la temp´erature du bolom`etre v´erifie l’´equation diff´erentielle suivante :
τdT
dt+T(t) = β(Φi)
o`u τ=Cth
Gth −αR0I2et β(Φi) est une fonction de Φique l’on d´eterminera.
5. Expliquer pourquoi un coefficient αn´egatif garantit la stabilit´e du fonctionnement du dispositif.
6. D´eterminer la temp´erature Tp(Φi) du bolom`etre qui re¸coit un flux Φien r´egime permanent.
Temps de r´eponse du bolom`etre
On s’int´eresse dans un premier temps au temps de r´eponse du bolom`etre. Pour cela, le syst`eme ´etant en ´equi-
libre thermique sous un flux ´electromagn´etique incident Φi, on supprime brutalement le flux ´electromagn´etique
incident `a l’instant t= 0.
7. Tracer l’allure de l’´evolution T(t), on pr´ecisera sur le graphe la signification de τ.
8. Expliquer qualitativement l’influence de la capacit´e thermique Cth et de la conductance thermique Gth sur
le temps de r´eponse du bolom`etre.
Sensibilit´e du bolom`etre
On souhaite enfin d´eterminer l’expression de la sensibilit´e Sde l’instrument. Il s’agit de son aptitude `a convertir
une variation du flux incident en une variation de la tension ´electrique V. On consid`ere pour cela un flux incident
tel que Φi(t) = Φi0+ϕ0cos ωt et on s’int´eresse `a la variation de temp´erature par rapport `a la temp´erature
d’´equilibre Θ(t) = T(t)−T1o`u T1=Tp(Φi0).
9. Montrer qu’en r´egime forc´e, l’amplitude Θ0(ω) des variations de temp´erature du bolom`etre peut se mettre
sous la forme :
Θ0=A
√1 + ω2τ2
o`u Aest une constante `a pr´eciser.
10. D´eterminer, en r´egime forc´e, l’expression de l’amplitude V0des variations de la tension V(t) aux bornes
de R.
11. En d´eduire l’expression de la sensibilit´e S(ω) = V0
ϕ0
.
12. Tracer l’allure de la courbe SdB = 20 log Sen fonction de log ω.
13. Pr´eciser la nature du filtre constitu´e par le d´etecteur. Comment peut-on justifier la chute de la sensibilit´e
en dehors de la bande passante ?
14. Dans quel sens faut-il faire varier la conductance thermique Gth pour augmenter la sensibilit´e dans la
bande passante? Cela est-il en accord avec un gain de rapidit´e de la r´eponse du bolom`etre ?
B. Un t´elescope unitaire du VLT
Deux objets ponctuels `a l’infini Aet Bsont observ´es dans les directions faisant des angles iA= 0 et iB6= 0 par
rapport `a l’axe optique. Les deux directions dans lesquelles on observe `a travers le t´elescope leurs images font
respectivement les angles i′
Aet i′ Bavec l’axe optique. Pour simplifier, on supposera que ces deux objets ´emettent
une unique radiation de longueur d’onde λ= 2,00 µm. Le t´elescope est constitu´e de deux miroirs sph´eriques,
le miroir primaire qui re¸coit le rayonnement infrarouge en premier et le miroir secondaire. Il est r´egl´e de telle
sorte qu’il soit afocal.
15. Qu’est-ce que signifie le terme afocal pour un syst`eme optique ? Proposer un sch´ema d’un syst`eme afocal
r´ealis´e avec des lentilles minces.
16. Repr´esenter, sur le sch´ema pr´ec´edent, les faisceaux infrarouges issus des points Aet B. Expliquer grˆace
`a ce sch´ema la notion de grossissement Gdu syst`eme afocal, c’est-`a-dire du t´elescope. Le t´elescope poss`ede un
grossissement G= 6,4.
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On admet que les ph´enom`enes de diffraction sont dus `a la limitation du faisceau lumineux par le miroir primaire
de diam`etre D= 8,20 m. Ce miroir poss`ede une distance focale f1= 14,4 m.
17. En assimilant, pour simplifier, le premier miroir `a une simple lentille convergente de distance focale f1,
d´eterminer l’ordre de grandeur du rayon Rde la tˆache de diffraction (ou tˆache d’Airy) qu’on observerait sur
l’image interm´ediaire form´ee par le miroir primaire d’un objet ponctuel `a l’infini envoyant une unique radiation
de longueur d’onde λ.
18. En d´eduire l’ordre de grandeur de l’ouverture angulaire ∆θdu faisceau image, d´efinie par le fait que les
rayons ´emergent du t´elescope avec des angles i′
A±∆θet i′ B±∆θpar rapport `a l’axe optique.
19. En pr´ecisant le crit`ere retenu, ´etablir la relation que doivent v´erifier les angles i′
Aet i′ Bpour pouvoir
discerner les images form´ees par le t´elescope.
20. En d´eduire la valeur num´erique de la limite de r´esolution angulaire imin du t´elescope, c’est-`a-dire l’angle
minimal entre deux ´etoiles pour que le t´elescope les discerne.
C. Le t´elescope interf´erentiel VLTI
Pour surmonter le probl`eme pr´ec´edent, on peut faire interf´erer les signaux optiques re¸cus par deux t´elescopes
(voir le sch´ema de la figure 2).
superposition
des faisceaux
t´elescope 1
t´elescope 2
ligne `a retard
Figure 2 – T´elescope interf´erentiel : principe du VLTI
On assimile les deux t´elescopes distants de a(variable jusqu’`a 100 m) `a deux trous T1et T2de taille n´egligeable,
de sorte que le VLTI sera ´equivalent au montage de la figure 3, o`u la lentille d’axe optique Oz, de centre O
poss`ede une distance focale f′. Le foyer image de la lentille est not´e F′et le plan focal est le plan d’observation.
T1et T2sont `a une distance a/2 de l’axe optique.
z
F′
x
T2
T1
O
Figure 3 – Sch´ema ´equivalent du VLTI
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Observation d’une source ponctuelle dans la direction de l’axe optique
Un unique objet ponctuel `a l’infini Aest observ´e dans la direction de l’axe optique. Pour simplifier, on supposera
encore que cet objet ´emet une unique radiation de longueur d’onde λ= 2,00 µm.
21. O`u se trouve l’image g´eom´etrique A′de A`a travers la lentille ?
22. Calculer la diff´erence de marche δ0entre les ondes provenant de Aet se recombinant en A′, passant par
les deux trous T1et T2.
23. En d´eduire le rˆole de la ligne `a retard de la figure 2.
24. En quoi y a-t-il n´ecessit´e de la ligne `a retard pour satisfaire aux conditions d’interf´erences ?
25. Dans quelle mesure peut-on consid´erer que le contraste des interf´erences vaut 1 ? Dans la suite, on supposera
effectivement que le contraste vaut 1.
26. D´eterminer l’expression de l’intensit´e lumineuse IA(x) d’un point d’abscisse xdans le plan focal.
27. En d´eduire l’expression de l’interfrange.
28. Tracer l’allure de la figure d’interf´erence dans le plan xF ′ytelle qu’on pourrait l’observer avec une cam´era
infrarouge.
Observation d’une source ponctuelle dans une direction diff´erente de celle de l’axe optique
Un unique objet ponctuel `a l’infini Best observ´e dans la direction iB6= 0 par rapport `a l’axe optique dans le
plan xOz avec les mˆemes caract´eristiques que A.
29. ` A quelle distance xBde F′se trouve l’image g´eom´etrique de B?
30. D´eterminer l’expression de l’intensit´e lumineuse IB(x) en un point d’abscisse x.
31. L’interfrange est-il diff´erent de celui trouv´e pr´ec´edemment ?
Observation de deux sources ponctuelles
Deux objets ponctuels `a l’infini Aet Bsont observ´es dans les directions iA= 0 et iB6= 0 par rapport `a l’axe
optique dans le plan xOz. Pour simplifier, on supposera que ces deux objets ´emettent une unique radiation de
longueur d’onde λ= 2,00 µm et la mˆeme puissance lumineuse.
32. Ces deux sources sont-elles coh´erentes ? Justifier la r´eponse.
33. En d´eduire l’intensit´e lumineuse IA∪B(x) en un point d’abscisse x.
34. Pour quelle(s) distance(s) aentre les deux t´elescopes y a-t-il brouillage des interf´erences ? On exprimera
le r´esultat en fonction de iB.
35. Proposer alors une m´ethode de d´etermination exp´erimentale de l’angle entre les deux ´etoiles composant
une ´etoile double.
36. Quelle est la valeur num´erique (en secondes d’arc) de la limite de r´esolution angulaire imin du VLTI ?
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Probl`eme no2 – G´en´erateur `a turbine et cog´en´eration E3A PSI 2011
Les industries, les hˆopitaux et les villes sont des sites qui ont besoin d’un apport d’´energie tr`es important :
les consommations d’´electricit´e, de chaleur ou de froid y sont n´ecessaires conjointement. De petites turbines
`a gaz int´egr´ees `a de grands immeubles, `a des quartiers administratifs, `a des centres commerciaux ou `a des
usines assurent la stabilit´e et le contrˆole local de leurs productions. La cog´en´eration a l’avantage d’exploiter
la chaleur d´egag´ee par les gaz d’´echappement, habituellement dissip´ee dans l’environnement, pour d´elivrer de
fa¸con combin´ee de l’´energie thermique et de l’´energie m´ecanique. L’une peut ˆetre utilis´ee pour le chauffage des
immeubles, alors que l’autre produit de l’´electricit´e par couplage avec un alternateur.
A. Cycle de Carnot
Diagramme de Watt
Le cycle r´eversible de Carnot d´ecrit par le fluide est constitu´e des quatre transformations suivantes :
– deux isothermes 1 →1′et 2 →2′de temp´eratures respectives T1et T2< T1au cours desquelles sont ´echang´es
les transferts thermiques respectifs Q1et Q2.
– deux adiabatiques 1′→2 et 2′→1 joignant les deux isothermes.
Ce cycle moteur est habituellement repr´esent´e dans le diagramme de Watt (P, V ) visualisant la pression Pdu
gaz en fonction du volume Vqu’il occupe.
1. Comparer qualitativement les pentes des tangentes aux courbes repr´esentant une isotherme et une adia-
batique r´eversible en un point commun du diagramme (P, V ). Cette propri´et´e ´etant ind´ependante de la nature
du fluide, exprimer, dans le cas du gaz parfait, le rapport de ces deux pentes en fonction du rapport γde ses
capacit´es thermiques `a pression et `a volume constants.
2. En d´eduire la repr´esentation du cycle moteur de Carnot en pr´ecisant son orientation, les ´etats 1, 1′, 2 et
2′du fluide, les isothermes T1et T2. Que repr´esente l’aire du cycle ?
3. D´efinir le rendement ηde ce cycle puis l’exprimer en fonction des temp´eratures T1et T2. Calculer sa valeur
pour T1= 1 300 K et T2= 300 K.
4. Ce rendement d´epend-il de la nature du fluide consid´er´e ? Justifier que la valeur du rendement de Carnot
ne peut ˆetre d´epass´ee par aucun moteur r´eel fonctionnant entre les deux mˆeme sources de chaleur.
Diagramme entropique
Le diagramme entropique (T, S) est la repr´esentation de la temp´erature Ten fonction de l’entropie Sdu syst`eme
´etudi´e.
5. Montrer que, lorsque la transformation subie par le fluide thermique est adiabatique et r´eversible, son
entropie est conserv´ee.
6. Repr´esenter le cycle de Carnot dans le diagramme (T, S) en pr´ecisant son orientation, les ´etats 1, 1′,
2 et 2′du fluide, les temp´eratures T1et T2ainsi que les entropies maximale et minimale du syst`eme, not´ees
respectivement Smax et Smin.
7. Exprimer ∆S1→1′et ∆S2→2′en fonction de Smax et Smin puis en fonction de Q1,Q2,T1et T2.
8. Comparer, en le justifiant, l’aire de ce cycle r´eversible `a l’aire du cycle visualis´e en diagramme de Watt.
Retrouver l’expression du rendement de Carnot par une m´ethode graphique.
B. ´ Etude d’un g´en´erateur `a turbine `a gaz
Le sch´ema simplifi´e du g´en´erateur est repr´esent´e sur la figure 4.
L’´energie thermique est fournie dans la chambre de combustion et l’´energie m´ecanique est r´ecup´er´ee sur l’arbre
de transmission pour entraˆıner le compresseur et actionner l’alternateur. Les ´el´ements de la turbine `a gaz
(compresseur, chambre de combustion, turbine, ´echangeurs thermiques) travers´es par le fluide en ´ecoulement
sont des syst`eme ouverts.
Premier principe pour un syst`eme ouvert
Les hypoth`eses suivantes seront adopt´ees tout au long du probl`eme :
– le r´egime de fonctionnement de la machine est permanent,
– les variations d’´energie cin´etique et d’´energie potentielle de pesanteur du fluide traversant chaque partie du
dispositif sont n´egligeables devant les autres formes d’´energie.
Le sch´ema de principe de l’´etude est propos´e `a la figure 5.
Le volume de contrˆole A′BCD′d´efinit le syst`eme machine ouvert Σ0. La masse de fluide gazeux contenue
dans ce volume est not´ee m0(t) `a la date tet m0(t+ dt) `a la date t+ dt. Le fluide s’´ecoule du r´eservoir de
pression Peau r´eservoir de pression Ps< Pe. Pendant la dur´ee dt, une masse δme(contenue dans le volume
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