Résonance d`un système de deux particules en volume fini

Résonance d’un système de deux particules en volume fini
Julien Frison
15 août 2008
Table des matières
1 Introduction
1.1 Cadre et motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les calculs sur réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Corrections de volume fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
2 Qu’est-ce qu’une résonance ?
2.1 En volume infini . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Sur quoi faire reposer la définition ?
2.1.2 La fonction racine carrée . . . . . . .
2.1.3 Coupures et feuillets . . . . . . . . .
2.1.4 Résonances et états liés . . . . . . .
2.2 En volume fini . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Le devenir de la coupure . . . . . . .
2.2.2 Résonance en volume fini . . . . . .
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4
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6
3 Un modèle simple de mécanique quantique
3.1 Formule de Lüscher . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Cas unidimensionnel . . . . . . . . .
3.1.3 Cas tridimensionnel . . . . . . . . .
3.1.4 Simulations . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Formule de Rummukainen-Gottlieb . . . . .
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10
4 Traitement en théorie des champs
4.1 Formule de sommation . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Formule de Poisson . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Dans le référentiel du centre de masse . .
4.1.3 Dans le référentiel mobile . . . . . . . . .
4.2 Effets de volume fini dans la boucle générique . .
4.3 Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Justification du modèle de mécanique quantique
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5 Résultats
5.1 Rectification du spectre du ρ
5.2 A la recherche de la largeur .
5.2.1 Le problème . . . . . .
5.2.2 Possibles solutions . .
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6 Conclusion
20
A Calcul de Z00 (1, q 2 )
21
i
Chapitre 1
Introduction
1.1
Cadre et motivation
Le modèle standard de physique des particules prédit qu’une transition de phase cosmologique,
associée avec la chromodynamique quantique (QCD), a eu lieu peu de temps après le Big Bang.
Les densités d’énergie très élevées présentes à cette époque ont essentiellement disparues, du fait
de l’expansion de l’Univers. Toutefois, une petite fraction de cette énergie est encore présente
sous forme d’énergie cinétique et de liaison des quarks et des gluons qui sont confinés au sein des
protons et des neutrons de l’Univers actuel. Puisque ces derniers forment plus de 99% de la masse
visible de l’Univers et que 95% de leur masse provient de ce confinement, il est fondamental de
montrer que la QCD reproduit les masses de ces particules.
Le confinement des quarks et des gluons est un phénomène non-perturbatif de basse énergie,
qui ne peut être décrit en developpant la QCD en puissances de sa constante de couplage [18].
Ceci est l’envers de la liberté asymptotique [8, 16], une des propriétés fondamentales de la QCD,
qui correspond au fait que l’interaction entre quarks et gluons diminue au fur et à mesure que
leurs impulsions relatives augmentent.
Les phénomènes non-perturbatifs de l’interaction forte jouent également un rôle fondamental
dans les processus électrofaibles de quarks. Dans la mesure où la QCD est la théorie des interactions fortes, ces effets doivent être calculés en QCD pour que le lien puisse être fait entre la
théorie fondamentale et le mélange des saveurs ou la violation de CP observés. En vue de l’effort
expérimental considérable engagé pour explorer ces phénomènes (usines à B, à charme, à kaons,
LHC-b, etc.), il est fondamental de réduire les erreurs sur ces calculs, si possible au niveau des
incertitudes expérimentales, afin de tester le modèle standard et permettre la mise en évidence
éventuelle d’une physique nouvelle.
Pour explorer les prédictions de la QCD dans ce régime non-perturbatif, l’approche la plus
systématique consiste à faire appel aux calculs numériques en QCD sur réseau [18, 6]. On peut ainsi
obtenir, de façon conceptuellement simple, le spectre des hadrons légers (π, N , ρ, ∆, etc.) prévu
par la QCD. Ces propriétés hadroniques ont historiquement été (et sont encore parfois) étudiées
dans l’approximation ”quenched”, où les effets des quarks de la mer (donnés par le déterminant
fermionique obtenu en intégrant analytiquement sur les champs de quarks) sont traités dans une
approximation de champs moyen. Bien que cette approche néglige la partie la plus numériquement
coûteuse d’un calcul sur réseau, une détermination complète du spectre ”quenched” n’a été obtenue
qu’après environ 20 ans d’études. Dans [1] il a été montré que la théorie “quenched” prédit des
masses de hadrons légers qui sont typiquement en accord avec le spectre expérimental à environ
10% près et que l’inclusion de certains effets des quarks de la mer améliorent cet accord [1, 2].
Toutefois, un calcul complet du spectre des hadrons légers qui inclue correctement tous les effets
de l’interaction forte, y compris ceux des quarks de la mer, restait à faire. Un des aspects du travail
présenté ici repésente une contribution à un tel calcul [7].
Alors qu’un calcul complet des masses des hadrons légers représente une étape importante dans
1
la validation de la QCD comme la théorie de l’interactions forte, il ne teste qu’indirectement un
des aspects fondamentaux de la théorie des champs : la création de paires et la désintégration de
particules. Or un nombre important de hadrons se désintègrent par l’interaction forte (le cas de
l’interaction faible est simplifié par la factorisation, les nouveaux quarks étant alors représentés par
un opérateur de courant externe à la simulation sur réseau), comme le montre schématiquement
la figure 1.1. Seul le calcul de la largeur de ces résonances apporterait un test direct de ces
phénomènes.
Fig. 1.1 – Diagramme ρ → ππ → ρ, qui est relié à désintégration ρ → ππ par le théorème optique.
On souligne que la boucle interne (en rouge) est constituée de quarks de mer, dynamiques
L’étude d’une résonance est quelquechose de délicat, vu les contraintes de la QCD sur réseau en
terme de puissance de calcul et vu le fait que les calculs sont faits dans un espace-temps euclidien :
on ne sait simuler que des volumes de quelques fermis, où il n’est pas possible de créer des états
asymptotiques, et la continuation analytique d’amplitudes de diffusion est difficile. Il nous faut
donc développer un cadre pour l’étude indirecte des résonances. C’est là l’objet de ce travail, qui
s’appuyera sur la formule de Lüscher [15] pour transformer le problème de la taille finie du réseau
en un avantage qui permet de calculer un spectre dans lequel la résonance laisse une trace.
1.2
Les calculs sur réseau
Prenons un instant pour étudier comment est obtenu le spectre à partir des calculs sur réseaux.
Tout d’abord qu’est-ce que la QCD sur réseau ? Cela consiste d’abord à remplacer l’espacetemps minkowskien usuel par un réseau discret et euclidien de points, les champs de quarks étant
définis sur les sites et les champs de jauge, qui implémentent le transport parallèle, sur les liens
entre ces sites. En général le réseau est hyper-cubique, avec une maille dénotée a, des dimensions
L3 × T , et des conditions aux bords périodiques ou anti-périodiques. L’action S de la QCD est
alors remplacée par une version discrétisée, où les dérivées deviennent des différences finies (avec
transport parallèle si nécessaire) et les intégrales des sommes. Le fait que le réseau possède une
distance minimale (a) régularise la théorie dans l’ultraviolet et le volume fini la régularise dans
l’infrarouge. Le réseau permet donc de définir la QCD mathématiquement d’une façon qui ne
fait pas appel à la notion de boucles, de diagrammes de Feynman, etc. : c’est une régularisation
non-perturbative. L’intégrale de chemin devient une intégrale sur un nombre fini (bien qu’élevé)
de degrés de liberté, pondérée par exp(−S) det(D + M ), où det(D + M ) est le déterminant de
l’opérateur de Dirac massif discret, obtenu après intégration sur les champs de quarks. Ce poids
étant positif, l’intégrale peut être évaluée à l’aide de méthodes de type Monte-Carlo. Le point
crucial est que la QCD sur réseau n’est pas un modèle. La QCD sur réseau est QCD, dans la
limite où la maille a tends vers zéro, L tends vers l’infini et la statistique de l’échantillonage
stochastique des configurations de champs tends également vers l’infini. De plus, on dispose de
libertés supplémentaires par rapport à l’étude expérimentale : nous pouvons faire varier comme
nous le souhaitons les paramètres de QCD, notament la masse des quarks. C’est une technique
2
particulièrement intéressante nous permettant, par exemple, de nous placer dans un domaine fictif
exhibant mieux tel ou tel phénomène.
Voici alors comment P
on détermine les masses de hadrons : on calcule numériquement un
corrélateur Cσ (x0 ) = a3 ~x h0|σ(x)σ † (0)|0i avec un opérateur σ ayant les nombres quantiques
du hadron que l’on souhaite étudier ; la somme sur ~x projettant le corrélateur sur le sescteur d’impulsion totale nulle. On obtient ensuite la masse à partir de l’étude de la variation temporelle (en
temps euclidien) de ce corrélateur. En effet, si la théorie possède un spectre d’états, σn , ayant les
nombres quantiques de l’opérateur σ, on a alors (x0 ≪ T )
Cσ (x0 ) ≃
X |h0|σ(0)|σn i|2
2Mn
n
e−Mn x0
(1.1)
où Mn est la masse de l’état σn et les amplitudes des exponentielles dépendent du bon choix de
notre opérateur (mais pourvu qu’on prenne les bons nombres quantiques, ils ne s’annulent pas, et
il n’y a alors théoriquement que l’exponentielle qui importe). Pour x0 ≫ 1/(M1 − M0 ), c’est l’état
fondamental σ0 qui domine et on peut obtenir la masse de cet état en faisant un ajustement de la
dépendence de Cσ en x0 à une forme exponentielle dans ce domaine.
Signalons enfin que ces calculs sur réseau sont très gourmands en ressources, et il n’est pas
rare qu’un calcul prenne un mois à un supercalculateur. Cela est particulièrement vrai lorsqu’on
s’approche des masses physiques des quarks. C’est pourquoi nous avons fait les calculs avec plusieurs masses de quarks un peu plus lourdes que les masses physiques, puis nous avons extrapolés
les résultats à la limite des masses physiques.
1.3
Corrections de volume fini
Nous allons alors nous intéresser à l’écart entre le spectre de deux particules (p.e. π) libres (sans
aucune interaction, ni avec elle-même ni avec l’autre particule ), et le spectre de ces deux particules
intéragissant en présence d’une résonance (p.e. ρ). Parler d’états à deux particules suppose qu’on
se placera dans la zone élastique (2m < E < 4m), où ces états dominent. Cet écart est alors une
correction de volume fini, qui se décompose en deux parties :
– Des corrections de type I, exponentiellement faibles avec mπ L grand. Ce type de corrections,
qui est déjà présent dans le cas d’une unique particule enfermée dans une boı̂te finie, est
due à des boucles autour du monde torique (les boucles homotopes à un point seront elles
présentes aussi dans la théorie de volume infini). Dans nos simulations (mπ L >
∼ 4) nous
pouvons négliger ces corrections.
– Des corrections de type II sont dues spécifiquement au fait d’avoir un système de deux
particules. Il s’agit de corrections en loi de puissance, qui peuvent donc être importantes. On
peut les interpréter comme liées à la probabilité qu’ont deux particules de se trouver à un
même endroit pour intéragir à travers une résonance : si les particules étaient diluées dans
un volume infini ces corrections disparaı̂traient. C’est sur ce type de corrections que nous
allons nous concentrer.
L’étude de ces corrections aura finalement deux buts : tout d’abord tenter de déterminer la
largeur des résonances, mais aussi tout simplement corriger le spectre calculé sur réseau[7]. Nous exposerons alors ce travail en quatre chapitres : tout d’abord nous expliquerons notre compréhension
de ce qu’est une résonance, ensuite les deux chapitres suivants montreront les formalismes existant
dans un cadre de mécanique quantique puis de théorie des champs, et enfin nous présenterons les
résultats de nos simulations.
3
Chapitre 2
Qu’est-ce qu’une résonance ?
2.1
2.1.1
En volume infini
Sur quoi faire reposer la définition ?
Quand on pense à une résonance en physique des particules on l’associe à l’image d’une particule
instable, à laquelle on associe souvent une énergie avec une petite partie imaginaire traduisant sa
désintégration. Mais au fond ce “truc” ne nous donne pas accès à une véritable définition. On
ne doit pas pousser trop loin l’image de la particule instable, sachant qu’il ne s’agit pas là d’une
particule possédant des états asymptotiques qu’on puisse mesurer. La résonance n’existe en fait
qu’à l’intérieur des processus qui la font et la défont. C’est pourquoi nous allons dorénavant étudier
les résonances à travers la matrice S de diffusion (par exemple la diffusion π − π dans le cas de la
résonance ρ), plus précisemment son prolongement analytique.
Celui-ci est fortement contraint par les considérations d’unitarité. Ce sujet a fait l’objet de
nombreuses études et nous renvoyons le lecteur à la littérature pour plus de précisions (p.e. [9, 10]),
nous contentant d’une rapide revue de ses caractéristiques principales.
2.1.2
La fonction racine carrée
La fonction racine carrée intervient naturellement dans la matrice S (ainsi que le logarithme,
qui se comportera de la même façon). Il convient donc d’étudier comment elle va se comporter
lors du prolongement analytique. Dans R+ déjà on est habitué à se poser la question du signe ;
dans C cela va tout naturellement aboutir à une fonction multivaluée à deux feuillets de Riemann,
c’est-à-dire à une coupure (fig. 2.1).
plan s
−∞
i
p
|s|
p
|s|
p
− |s|
+
+∞
Fig. 2.1 – Prolongement analytique de la racine carrée
4
√
s
2.1.3
Coupures et feuillets
Dans la matrice S interviendront notamment des diffusions élastiques de deux particules, donnant des intégrales du type :
Z
1
d4 q
1
f (q) 2
,
(2.1)
I=
(2π)4
q − m2 + iǫ (P − q)2 − m2 + iǫ
où P = (E, P~ ) est le quadrivecteur total de la boucle étudiée.
En séparant les variables d’espace et de temps on a :
Z
Z
1
1
,
I ∼ d3 q dq 0 f (q 0 , ~q) 0 2
(q ) − ωq~2 + iǫ (q 0 − E)2 − ω 2~ + iǫ
(2.2)
Pq
~
q
p
q 2 + m2 et ωP~ q~ = (P~ − ~q)2 + m2 .
où ωq~ = ~
Et après intégration selon q 0 par la méthode des résidus (si f est telle que le contour à l’infini
s’annule) :


Z


f
(ω
,
q
~
)
f
(E
+
ω
,
q
~
)
q
Pq
.
+
I ∼ d3 q
(2.3)
 2ω (E − ω )2 − ω 2
2ωP q (E + ωP q )2 − ωq2 
q
q
Pq
Plaçons-nous maintenant dans√le référentiel du centre de masse (P~ = ~0) et supposons pour
simplifier f constante. On a E = s, ωq = ωP q et :
Z
d3 q
.
(2.4)
I(s) ∼
ωq (s − 4ωq2 )
Dans le cas s < 4m2 il n’y a aucune singularité sur l’axe q réel, rien ne nous empêche de
procéder à une intégration par la méthode des résidus dans le demi-plan. Dans le cas s > 4m2 par
contre il y a un pôle en q sur l’axe réel pour ~q2 = s/4 − m2 : l’intégrale ne pourra pas être définie
pour s réel et selon que l’on prenne Im(s) positif ou négatif le pôle sera en-dehors ou à l’intérieur
du chemin d’intégration choisi, le passage brusque d’une situation à l’autre correspondant à une
coupure.
Cette coupure dans le plan s est appelée coupure physique, car elle est immédiatement interprétable comme due au spectre continu du système à deux particules à partir du pallier s > 4m2
(cela se voit dès (2.3) où il y a pour chaque ~q un pôle en E = ωq + ωP q ). Il y aura ensuite d’autres
points de branchement possibles pour trois particules (s > 9m2 ), quatres particules, etc. (ce qui
ne se voit pas dans notre exemple simplifié f constante)
Une deuxième coupure est celle appelée lefthand-cut car située sur un intervalle du type −∞ <
s < s0 . Elle n’a pas d’interprétation physique directe en tant que coupure dans la dépendance en
s, car elle est liée à l’échange de deux particules dans la voie t. Son effet physique est généralement
faible du fait qu’il est loin des zones où on travaille (dans notre cas la zone élastique, c’est-à-dire
la zone de la coupure physique située entre les seuils 2m et 4m), et elle est souvent approximée
par un unique pôle quand elle n’est pas simplement négligée.
Ces coupures correspondent à une structure en feuillet de Riemann : il y a deux feuillets, et
on passe de l’un à l’autre en passant à travers la coupure. Le feuillet physique (0 < θ < 2π)
voit son axe réel contenir tous les états physiquement réalisables (normalisables). L’autre est dit
“non-physique”, ou second feuillet (2π < θ < 4π). Les deux feuillets sont fortement liés par la
condition d’unitarité.
2.1.4
Résonances et états liés
Une fois définis ces feuillets qui forment la structure générale d’un système générique, il nous
reste à placer un certain nombre de pôles, qui contiennent le coeur de l’information physique sur
le système.
5
Tout d’abord les états liés, qui se trouvent sur l’axe des réels négatifs. Cette énergie négative
correspond au puit de potentiel qui créé cet état lié. On peut aussi l’interpréter en terme d’impulsion, puisqu’une énergie négative correspond à une impulsion imaginaire et donc une fonction
d’onde du type e−qr , qui est bien stationnaire et localisée comme on s’y attend pour un état lié.
Viennent ensuite les résonances, qui se trouvent comme
on s’y attend en une position du type
√
mR − iΓ, ce qui les place sur le second feuillet (arg s ∼ 2π entraı̂ne arg s ∼ 4π). Ce qui ne
veut pas dire cependant qu’il n’aura pas d’influence sur le feuillet physique puisque les pôles ont
tendance à “rayonner”. D’ailleurs d’après les relations d’unitarité on pourra même associer un zéro
sur le premier feuillet à tout pôle dans le second feuillet.
2.2
2.2.1
En volume fini
Le devenir de la coupure
La transposition de cette définition d’une résonance en volume fini paraı̂t délicate. Tout d’abord
on n’a pas d’états asymptotiques libres (dans une petite boı̂te impossible d’avoir deux paquets
d’onde infiniment éloignés). De plus l’impulsion est quantifiée, et donc s aussi, or sans un plan s
continu il est impossible de d’étudier l’analyticité d’une fonction (ou plus exactement de définir
une fonction holomorphe).
On peut cependant se débarasser des deux problèmes en même temps en ne faisant plus
référence à des états asymptotiques mais en laissant tout simplement les impulsions aux pattes externes des diagrammes prendre n’importe quelle valeur, y compris off-shell. On va donc considérer
la fonction à quatre points amputée de ses pattes externes. Le fait de considérer la fonction à
quatre points (2 états initiaux, 2 états finaux) et non les fonctions inélastiques est lié au fait qu’on
s’intéresse à la coupure élastique.
Puisque cela ne comporte pas de grande modification par rapport au cas habituel de la matrice
S la structure du prolongement analytique est globalement la même. La seule différence importante
est la présence d’une suite de pôles au lieu de la coupure : en effet un système de deux particules
en volume fini ne peut plus prendre une énergie quelconque d’un continuum mais seulement des
valeurs quantifiées. Si on regarde (2.3), en remplaçant l’intégrale par une somme sur la grille
d’impulsions, on voit que les pôles de l’ancienne intégrande pour E = ωq + ωP q deviennent tout
simplement les pôles de I(s).
Signalons tout de même que le système n’étant plus invariant suivant tout Lorentz mais seulement le groupe cubique, la représentation de Mandelstam n’est plus applicable. On peut continuer
à exprimer les quantités en fonctions de s, t, u car ce sont a fortiori des invariants du groupe cubique, mais il faudra ajouter d’autres invariants du groupe cubique si on veut décrire le système
sans ambiguité (mais en réalité on n’aura pas à se soucier de cela).
2.2.2
Résonance en volume fini
L’apparition d’une résonance se fait par contre de façon totalement différente du cas du volume
infini. La “particule instable” (image qui ne prend en fait du sens que lorsque l’interaction est
faible) ne peut en général pas se désintégrer à moins que l’énergie d’un des états à deux particules
coincide exactement avec la masse de la particule, afin de conserver l’énergie. On ne peut donc
pas lui associer un temps de désintégration, ni le pôle correspondant sur le second feuillet. La
résonance n’existe que par la déformation du spectre à deux particules (les pôles remplaçant la
coupure). C’est là une remarque importante qui justifie notre démarche ultérieure : tout est dans
le spectre.
Concrètement, la présence d’une résonance va se traduire par une augmentation de la densité
d’états à son voisinage. Il y a deux limites intéressantes à étudier :
– Dans le cas où le volume est encore assez grand (à savoir qu’il y a de nombreux états dans une
plage d’énergie de l’ordre de la largeur de la résonance) on voit une belle cloche dans cette
densité d’états (cf fig.2.2), de laquelle on peut essayer de tirer la masse et la largeur de la
6
160
mπ = 135 MeV, mρ = 770 MeV
150
nombre d’états
140
130
120
110
100
90
500
600
700
800
énergie (MeV)
900
1000
Fig. 2.2 – Densité d’état pour la résonance ρ dans le système ππ utilisé section 3.1.4. On utilise
les masses physiques et mπ L = 100, ainsi que (3.4) en négligeant les effets inélastiques (on ne
cherchera pas à justifier cette approximation, il s’agit seulement d’une illustration)
résonance par un ajustement. C’est ce qui est proposé dans [4] mais cela semble assez irréaliste
au vu des caractéristiques actuelles des simulations, puisque cela nécessiterait de nombreuses
simulations sur de très grands réseaux. Nous allons donc par la suite nous concentrer sur
l’autre limite. L’intérêt de la limite des grands volumes est cependant de nous montrer la
convergeance vers le volume infini : il n’y a pas de vrai pôle qui migre vers le deuxième feuillet
pour former la résonance en volume infini, simplement l’ensemble de pôles étant distribués
selon une densité similaire à la fig.2.2 devient de plus en plus continu, agissant comme une
sorte de coupure de densité inhomogène, qui sera équivalent à une coupure accompagnée
d’un pôle (résonance) déformant son effet.
– Dans le cas au contraire où le volume devient petit (c’est-à-dire la largeur de la résonance
petite devant l’inverse de la longueur du réseau), la cloche évolue vers un Dirac, c’est-à-dire
un simple niveau supplémentaire à l’énergie de la résonance. On retrouve ainsi la remarque
de [15], qui note que pour des volumes habituels des réseaux on a bien cette impression de
niveau supplémentaire, comme on le verra dans la section 3.1.4.
7
Chapitre 3
Un modèle simple de mécanique
quantique
3.1
3.1.1
Formule de Lüscher
Présentation
Considérons un modèle simple qu’on justifiera à la section 4.4 : deux particules scalaires (p.e.
pions) non-relativistes sont dans une boı̂te torique de largeur L et interagissent selon un certain
potentiel de faible portée (un potentiel de Yukawa mettant en jeu une particule plus lourde que le
pion fera très bien l’affaire). Ce potentiel est tel que la matrice S qui lui serait associé en volume
infini possède une résonance (p.e. ρ). On se restreint aux systèmes d’impulsion totale nulle, et le
système est donc équivalent à une unique particule fictive avec une masse réduite, ce qui nous
permet en principe de séparer une zone à l’intérieur de l’interaction d’une zone a l’extérieur et
résoudre le problème par un recollage des deux solutions [14] :
– à l’intérieur du potentiel la fonction d’onde est déterminée par les coefficients de la décomposition sphérique, qui sont donnés par ceux de la matrice S (modulo quelques paramètres libres
qui permettront le recollage),
– à l’extérieur du potentiel la fonction d’onde satisfait l’équation de Schrödinger libre et s’exprime en fonction de la décomposition sphérique de la fonction de Green. C’est de cette
partie extérieure que vient la quantification.
Bien qu’on utilise une équation non-relativiste, on autorise la particule à être relativiste (on
lèvera à la section 4.4 ce paradoxe apparent), et on introduit une quantité qu’on interprètera
comme l’énergie du système de deux pions :
q
(3.1)
W = 2 m2π + ~k 2 .
Si bien que l’impulsion des deux pions lors de la désintégration d’un ρ est :
1q 2
kρ =
mρ − 4m2π .
2
3.1.2
(3.2)
Cas unidimensionnel
Considérons pour un moment la situation encore plus simple de deux particules d’impulsions
k et −k en une dimension de longueur L avec des conditions au bord periodiques. Alors que dans
le cas libre on a eikL = 1 (c’est-à-dire q = kL/2π entier), dans le cas avec interaction la particule
fictive devra traverser un potentiel qui lui donne un déphasage δ(k) lorsqu’elle passera d’un côté
de la boı̂te à l’autre avant de refaire un nouveau tour du tore, on a alors ei(kL+2δ) = 1, c’est-à-dire
(pour n ∈ Z) :
πn − δ(k) = πq.
(3.3)
8
Les solutions k de cette équation donnent donc, à travers (3.1), l’énergie du système à deux
particule. On appelle (3.3) l’équation de quantification.
3.1.3
Cas tridimensionnel
En trois dimension la situation devient plus compliquée puisqu’on n’a plus seulement un unique
trajet qui récupère à chaque fois un déphasage constant : il faut par exemple décomposer cela suivant les harmoniques sphériques (ce qui nous donne un δl (k) pour chaque moment l) et prendre en
compte la non-compatibilité entre la représentation sphérique et la symétrie cubique du problème
(dans le cas unidimensionnel ce problème ne pouvait se poser puisque la symétrie ne comporte
que la réflexion et l’identité). Le premier effet de la symétrie cubique est le mélange de plusieurs l
dans ses représentations. Heureusement cela n’est pas un vrai problème car on peut généralement
(à basse énergie) ignorer les δl grands et ne considérer que le l minimum. Le second effet est une
déformation de la condition de quantification, avec intervention d’une fonction cinématique Φ :
πn − δ(k) = Φ(q).
(3.4)
Φ(q), qui est très proche de πq 2 est donné par les fonctions zeta généralisées de la grille des
impulsions :
π 3/2 q
,
(3.5)
tan Φ(q) = −
Z00 (1; q 2 )
où, en fonction de Ylm (~r) = rl Ylm (θ, φ) (Ylm étant une harmonique sphérique), on prolonge par
analycité la série définie pour Re 2s > l + 3 :
X
−s
(3.6)
Ylm (~n) ~n2 − q 2
Zlm (s; q 2 ) =
~
n∈Z3
3.1.4
Simulations
L’équation 3.4 peut s’utiliser dans deux sens : on peut l’utiliser pour obtenir δ(k) (c’est-à-dire
les caractéristiques de la résonance) à partir du spectre, comme nous le ferons au chapitre 5, ou
bien l’utiliser pour obtenir des prévisions sur le spectre à partir d’une formule phénoménologique
de δ(k), ce que nous allons faire maintenant.
Nous allons utiliser la formule dite “effective range”, qui est un développement du déphasage
en puissance de l’impulsion :
k3
cot δ = a + bk 2 ,
(3.7)
W
où les paramètres sont choisis tels que (cf. [5], eq. (15)) :
δ=
π
,
2
∂δ
8kρ
=
∂k
mρ Γρ
Ce qui nous donne :
a = −bkρ2 =
à
k = kρ .
4kρ5
.
m2ρ Γρ
(3.8)
(3.9)
De plus, les calculs sur réseaux nous permettant de faire varier les masses des quarks, on va
comparer différents cas avec des valeurs de mπ et mρ autres que les masses physiques. Pour cela
il nous faut une relation phénoménologique nous donnant Γρ pour chaque choix de masses. Une
description simple est d’utiliser des champs effectifs avec un lagrangien d’interaction de la forme :
Lint = gρππ ǫabc ρaµ π b ∂ µ π c .
(3.10)
Ce qui au premier ordre dans le couplage nous donne :
Γρ =
(gρππ )2 kρ3
,
6π m2ρ
9
(3.11)
mρ/mπ = 3
à la masse physique
4
3,5
3,5
3,5
3
2,5
2
E2π/mπ
4
E2π/mπ
E2π/mπ
mρ/mπ=3 et g=0.3
4
3
2,5
2
3
4
5
m πL
6
7
8
2
3
2,5
2
3
4
5
m πL
6
7
8
2
2
3
4
5
m πL
6
7
8
Fig. 3.1 – Spectre des états à deux pions dans la zone élastique pour différentes valeur des masses
et largeur, pour des volumes de réseau de l’ordre des volumes typiques (mπ L ∼ 4). Les pointillés
représentent les états libres, c’est-à-dire sans résonance. A gauche on a utilisé une constante de
couplage faible pour bien montrer la répulsion des niveaux et l’apparition d’une suite de palliers
à la masse du ρ. Au centre on a utilisé la vraie valeur de g mais des masses de quarks lourdes
qui permettent à mρ de se situer dans la zone élastique ; on a l’impression que la différence
fondamentale avec le cas libre est l’apparition d’un niveau supplémentaire. A droite le spectre
aux masses physiques des quarks ; mρ est alors au-dessus de la zone élastique et n’a que très peu
d’influence sur cette partie du spectre, si bien que l’on s’attend à ce qu’un calcul de QCD sur
réseau ne permette pas une assez bonne précision pour la mesurer.
où on utilisera le fait que l’on s’attend à a ce que gρππ dépende peu des masses des quarks, et on
fixera donc dans cette section gρππ ≃ 6.0, qui donne la largeur physique du ρ au travers (3.11).
C’est en réalité une valeur élevée qui rend peu approprié le traitement perturbatif, et de plus il
ne faut pas faire excessivement confiance en notre lagrangien effectif. Cette méthode nous permet
d’étudier semi-quantitativement les déformations du spectre. De plus si on autorise gρππ à posséder
une dépendance sur les masses (comme on pourra le faire au chapitre 5) alors il ne s’agit que d’une
reparamétrisation de la largeur de désintégration.
3.2
Formule de Rummukainen-Gottlieb
Jusqu’à maintenant on s’est restreint au cas d’un système d’impulsion totale P~ = ~0. Mais on
peut aussi élargir la formule 3.4 au cas d’un référentiel mobile [17] (on ne s’intéressera en général
qu’au cas P = 2π/L). Cela a plusieurs avantages, notamment le fait de pouvoir mieux ajuster la
cinématique vers la situation qui nous arrange (et notamment rapprocher mρ de la masse invariante
de deux pions libres), et surtout le fait d’avoir plusieurs points avec la même simulation.
Nous n’avons pas utilisé cette généralisation mais il est bon de la garder en tête dans la mesure
où elle constitue justement une amélioration (simple) de notre travail.
La formule de Rummukainen-Gottlieb prend la même forme que la formule 3.4 de Lüscher, si ce
n’est que change la fonction cinématique Φ, avec dorénavant (pour une impulsion P~ = (0, 0, p)) :
1 X 1 + (3r32 − r2 )/q 2
,
Z00 (s; q 2 ) = √
2 πγ
(r2 − q 2 )s
(3.12)
~
r∈Γ
où γ = p/W est le facteur de boost et la somme se fait sur une grille d’impulsions déformée par
ce boost :
p L
3
(3.13)
/γ, ~n ∈ Z .
Γ = ~r | r1 = n1 , r2 = n2 , r3 = n3 +
2 2π
10
Chapitre 4
Traitement en théorie des champs
4.1
4.1.1
Formule de sommation
Formule de Poisson
Nous allons ici chercher à exprimer les corrections de volume fini dans des corrélateurs [11] ;
or en volume fini les intégrales sont remplacées par des sommes discrètes, qu’il va donc falloir
re-remplacer par des intégrales pour faire la comparaison avec le cas du volume infini. Pour cela
nous nous servirons de la formule de sommation de Poisson :
Z
X Z d3 k
X
1
d3 k ~
~~
~
g(k) +
eiLl.k g(~k).
(4.1)
g(k) =
L3
(2π)3
(2π)3
~l6=~0
~
k∈(2π/L)Z3
Considérons une fonction f (~k) dont la transformée de Fourier est non-singulière et à support
fini (ou décroissant exponentiellement), on a alors modulo des corrections exponentielles :
Z
d3 k ~
1 X ~
f (k).
(4.2)
f
(
k)
=
L3
(2π)3
~
k
4.1.2
Dans le référentiel du centre de masse
Pour les sommations qui nous intéressent la situation sera un peu plus délicate car il y aura
présence de pôles dans des sommes de la forme :
S(~q) =
1 X f (~k)
.
2
~2
L3
~ q −k
(4.3)
k
On va alors les décomposer selon les harmoniques sphériques, avec ~k = (k, θ, φ) :
S(~
q) =
X
Slm (q),
où Slm (q) =
l,m
1 X flm (k) l
k Ylm (θ, φ).
L3
q2 − k2
(4.4)
~
k
Puis on enlève aux Slm (q) une quantité annulant le pôle de façon à pouvoir appliquer la formule
de sommation (α > 0) :
2
2
1 X flm (k) − flm (q)eα(q −k ) l
k Ylm (θ, φ)
L3
q2 − k2
~
k
=
Z
3
d k flm (k) − flm (q)eα(q
(2π)3
q2 − k2
11
2
−k2 )
k l Ylm (θ, φ).
(4.5)
Fig. 4.1 – Développement diagrammatique de CP~ (t) en fonction de K, fonction à quatre points
2-particules irréductible amputée. Chaque boucle correspond à une intégration du type I.
L’exponentielle n’a ici qu’un rôle technique afin de ne pas apporter de divergence ultraviolette, et
celle-ci n’apportera que des corrections exponentielles que nous avions déjà décidé d’ignorer. L’observation à faire est maintenant que l’intégrale est la projection suivant Ylm d’un terme invariant
par rotation, et donc s’annule pour l 6= 0, si bien que l’on a :
Z
d3 k f00 (k)
Slm (q) = δl,0 P
Y00 + flm (q)Zlm (q),
(4.6)
(2π)3 q 2 − k 2
où :
Zlm (q) =
4.1.3
Z
2
2
2
2
1 X eα(q −k ) l
d3 k eα(q −k )
k
Y
(θ,
φ)
−
δ
P
Y00 .
lm
l,0
L3
q2 − k2
(2π)3 q 2 − k 2
(4.7)
~
k
Dans le référentiel mobile
En règle générale, nous le découvrirons à la section 4.2, nous aurons plutôt à sommer des
expressions de la forme (le jacobien ωk∗ /ωk étant sorti de f pour de pures raisons de practicité) :
S(q ∗ ) =
1 X ωk∗ f (~k ∗ )
,
L3
ωk q ∗2 − k ∗2
(4.8)
~
k
√
où ωk = k 2 + m2 est l’énergie sur la couche de masse, et toutes les quantités notées avec un
astérisque signifient qu’on considère le référenciel de centre de masse.
Et en passant par les mêmes étapes nous aboutirions à :
∗
X
d3 k ∗ f (~k ∗ )
∗2
+
flm (q ∗ )cP
lm (q ),
(2π)3 q ∗2 − k ∗2
(4.9)
Z 3 ∗ α(q∗2 −k∗2 )
∗2
∗2
d k e
1 X ωk∗ eα(q −k )
−
P
L3
ωk q ∗2 − k ∗2
(2π)3 q ∗2 − k ∗2
(4.10)
S(q ) = P
Z
l,m
où
∗2
cP
00 (q ) =
~
k
cP
lm6=00
=
∗2
∗2
1 X ωk∗ eα(q −k ) ∗l √
k
4πYlm (θ∗ , φ∗ ).
L3
ωk q ∗2 − k ∗2
(4.11)
~
k
4.2
Effets de volume fini dans la boucle générique
Décomposons le corrélateur CP~ (t) = h0 | σP~ (t)σ † (~0, 0) | 0i en fonction du noyau de BetheSalpeter K (fonction à quatre points amputée deux-particules irréductible) comme dans la figure
4.1.
On voit que les intégrations se font suivant des boucles génériques de la forme :
I=
Z
f (k0 , ~k)
1 X dk0
,
3
2
2
L
2π (k − m + iǫ)((P − k)2 − m2 + iǫ)
~
k
12
(4.12)
où la fonction f contient la dépendance en énergie-impulsion provenant des noyaux (ou opérateurs
σ) de part et d’autre ainsi que provenant de l’habillage des propagateurs. f (~k) (vu qu’on se place
dans la zone élastique) ne possède aucune singularité sur l’axe réel, et on suppose qu’elle décroı̂t
assez rapidement dans l’ultraviolet (au besoin on peut toujours insérer un cut-off pour cela). On
voit que I ressemble à la quantité (2.1), et son intégration suivant k0 donnera une forme similaire
à (2.3) :
)
(
f (ωk , ~k)
f (E + ωP k , ~k)
1 X
.
(4.13)
+
I = −i 3
L
2ωk ((E − ωk )2 − ωP2 k ) 2ωP k ((E + ωP k )2 − ωk2 )
~
k
Comme nous l’avons déjà signalé au chapitre 2, il n’y a dans la zone élastique que des pôles en
E = ωk + ωP k dans le premier terme et aucun pôle dans le second. Par conséquent, pour le second
terme I2 (I = I1 + I2 ) on va pouvoir appliquer directement la formule de sommation (4.2) :
Z
d3 k
f (E + ωP k , ~k)
I2 = −i
.
(4.14)
(2π)3 2ωP k ((E + ωP k )2 − ωk2 )
Alors que le premier terme devra être remis en forme pour pouvoir appliquer la formule de
sommation (4.9). Il suffit pour cela d’exprimer les quantités utilisées dans le référentiel du centre
de masse :
I1 = −i
1 1 X ωk∗ f ∗ (~k ∗ ) E ∗ + 2ω ∗
1 1 X 1 f ∗ (~k ∗ )
= −i 3 ∗
,
∗
3
∗
∗
L E
2ωk E − 2ωk
L E
ωk q ∗2 − k ∗2
4ωk∗
~
k
(4.15)
~
k
où q ∗2 = E ∗2 /4 − m2 correspond au moment relatif d’un pion dans un système d’énergie E. On
peut alors appliquer la formule de sommation (4.9) :
Z 3 ∗
d k f ∗ (~k ∗ ) E ∗ + 2ωk∗
i X ∗ ∗ P ∗2
1
−
flm (q )clm (q ).
(4.16)
I1 = −i ∗ P
∗
3
∗2
2∗
2E
(2π) q − k
4ωk
2E ∗
l,m
Il nous reste une dernière étape pour comparer cela à la valeur en volume infini, remplacer la
valeur principale par la prescription de Feynman des iǫ (remarquons que le δ de Dirac qui résulte
∗
de ce remplacement donne alors un f00
):
Z 3 ∗
1
E ∗ + 2ωk∗
f ∗ (~k ∗ )
d k
I1 = −i ∗
+
2E
(2π)3 q ∗2 − k 2∗ + iǫ 4ωk∗
∗
q ∗ f00
(q ∗ )
i X ∗ ∗ P ∗2
−
flm (q )clm (q ).
(4.17)
8πE ∗
2E ∗
l,m
On peut donc finalement mettre la boucle générique sous la forme I∞ qu’elle prend en volume
infini plus une correction IF V de volume fini :
IF V =
∗
i X ∗ ∗ P ∗2
q ∗ f00
(q ∗ )
−
flm (q )clm (q ).
∗
8πE
2E ∗
(4.18)
l,m
4.3
Quantification
La correction de volume fini du corrélateur CPF~ V (E) = CP~ (E) − CP∞
~ (E) s’exprime alors de
façon formelle (cf fig. 4.2) :
CPF~ V (E) = −A′ F A + A′ F
1
iM
F A + · · · = −A′ F
A.
2
1 + iM F/2
(4.19)
En effet, si on part de CP~ , qu’on remplace les boucles en I par des boucles en I∞ plus des
boucles en IF V et qu’on développe, on pourra resommer les séries de boucles I∞ soit pour
Pformer
n
).
un M (si on est au milieu du diagramme) soit pour former A ou A′ (formellement A′ = σ n I∞
13
Fig. 4.2 – Développement diagrammatique de CPF~ V en fonction de l’amplitude totale de diffusion
M donnée par une somme géométrique de K. Les pointillés verticaux signifient qu’on utilise IF V
plutôt que le I des intégrations en volume infini. A et A′ sont des versions modifiées de σ et σ ′ ,
qu’on a multiplié par par une série géométrique de I∞ . (il est possible de définir une structure
d’algèbre comprenant tous ces objets et permettant de donner un sens précis à ces remplacement
qui semblent mettre en jeu des objets de natures différentes)
En l’absence d’interaction (M = 0) les pôles du propagateur (et donc le spectre) sont déterminés
par ceux de F . En présence d’interaction par contre F (1 + iM F )−1 ne tend plus vers l’infini quand
F tend vers l’infini, ce qui correspond au fait que les pôles sont déplacés. Ils se trouvent dorénavant
en des positions déterminées par la formule formelle de quantification :
det(1 + iM F/2) = 0.
(4.20)
L’aspect intéressant de cette formule est que sont séparés d’un côté toute l’information sur
l’interaction à travers l’opérateur M et de l’autre côté dans F toute l’information cinématique sur
laquelle agit la forme de l’espace fini. Notons de plus que cette formule peut facilement être élargie
à d’autres situations comme par exemple le cas d’un spin non nul (en rajoutant simplement des
indices). Il nous reste cependant encore à exprimer M et F de façon plus concrète. Nous allons
le faire dans la base des ondes partielles, ce qui pour M est assez simple puisqu’il s’agit plus ou
moins de la définition même des déphasages δl :
Ml1 m1 ;l2 m2 = δl1 l2 δm1 m2
16πE ∗ exp [2iδl1 (q ∗ )] − 1
.
q∗
2i
(4.21)
Pour calculer Fl1 m1 ;l2 m2 (qui est en gros un IF V dont on aurait enlevé les noyaux de part et
d’autre) il va falloir utiliser (4.18) et la définition des composantes sphériques, ce qui nous donne :
V
FlF1 m
1 ;l2 m2
q∗
V
δl1 l2 δm1 m2 + iFlF1 m
Fl1 m1 ;l2 m2 =
1 ;l2 m2
∗
8πE
√
Z
4π X 4π P ∗2
∗
=− ∗
Yl2 m2 ,
c
(q
)
dΩ∗ Yl∗1 m1 Ylm
q
q ∗l lm
(4.22)
(4.23)
l,m
où l’intégrale peut être exprimée en fonction des symboles 3 − j de Wigner.
Enfin, pour donner une utilisation pratique à ces formules, on se restreindra à une zone l < Λ,
et même souvent à l = 0 où (4.20) devient simplement :
1 + iM00;00 F00;00 /2 = 0
(4.24)
et se met finalement sous une forme similaire à (3.4) où :
tan [Φ(q ∗ )] =
4.4
q ∗ P ∗2 −1
c (q )
.
4π 00
(4.25)
Justification du modèle de mécanique quantique
Nous avons présenté ici la méthode directe de Kim et al. [11], qui a à nos yeux plusieurs avantages, comme la meilleure adaptation à une généralisation (notamment avec spin). Historiquement,
la formule de quantification a été obtenue pour la première fois en montrant que le système relativiste à deux particules était équivalent à un système de mécanique quantique non-relativiste dans
la région élastique [13].
14
Pour cela il faut remarquer que le développement de la figure 4.1 ressemble en réalité beaucoup
à un développement de Born. La différence majeure est qu’on intègre sur un 4-vecteur qui peut
sortir de la couche de masse, et non plus sur un 3-vecteur. Pour se ramener à ce dernier cas nous
procédons ainsi : au cours d’un raisonnement un peu technique nous séparons la boucle (c’est-àdire le double propagateur) en une partie singulière (dont l’expression nous rappelle (2.3)) et une
partie régulière :
−1
G2(k) = (2ωk )2 (2ωk − E)
2πδ(k0 )h(~k) + R2(k),
(4.26)
où h(~k) est un cutoff présent pour des raisons techniques. On resomme alors ceci de la même façon
qu’on l’avait lorsqu’on avait séparé la boucle en I∞ + IF V , et on obtient pour la fonction à quatre
points (les points de suspension correspondant à des itérations supplémentaires des noyaux) :
G(p′ , p) =
K̂(p′ , p) =
K̂(p′ , p) +
Z
h(~k)
d3~k
1
′
K̂(p
,
k)
K̂(k, p) + · · ·
2 k0 =0 (2π)3
(2ωk )2 (2ωk − E)
Z
1
d4 k
K(p′ , p) +
K(p′ , k1 )R2(k1 )K(k1 , p) + · · · .
2
(2π)4
(4.27)
(4.28)
Il ne reste alors plus qu’à réordonner un peu les termes pour obtenir une amplitude de diffusion
T de la même forme qu’en mécanique quantique :
−
T
−1
= ÛE (~
p′ , p~) +
2mE
2
Z
d3~k
ÛE (~
p′ , ~k)R(EN R , ~k)UE (~k, p~) + · · · ,
(2π)3
(4.29)
où R(EN R , ~k) = (~k 2 /m − EN R − iǫ)−1 est la résolvante non-relativiste, et EN R est l’énergie de la
particule non-relativiste fictive associée à l’état à deux pions, qu’il ne faut pas confondre avec E.
UE (~k ′ , ~k) est le “potentiel” (qui contrairement au cas non-relativiste dépend ici de l’énergie) qui
est défini à partir du noyau K̂ :
ÛE (~k ′ , ~k) = −ρ(~k ′ )ρ(~k)K̂(k ′ , k) |k0′ =k0 =0
q
1
~
h(~k)(2ωk + E)/m.
ρ(k) =
4ωk
(4.30)
(4.31)
Tout ceci reste valable en volume fini (en remplaçant les intégrales par des sommes), modulo
des corrections exponentielles.
15
Chapitre 5
Résultats
5.1
Rectification du spectre du ρ
Si on utilise la paramétrisation de la section 3.1.4, injectant (3.7) et (3.11) dans l’équation
tan δ = − tan Φ, on se rend compte qu’on obtient une formule close pour mρ en fonction de
l’énergie W mesurée dans les corrélateurs :
m2ρ
=
g2
∆m2ρ
6π
3/2
1 mπ 2
∆m2ρ = W 2
−
cot Φ(W ).
4
W
W2 −
(5.1)
(5.2)
On peut donc si on fixe g ≃ 6.0 obtenir directement la correction à m2ρ , ainsi que l’influence
sur la barre d’erreur. L’application à nos simulations se trouve en fig. 5.1. On y remarque que les
corrections ne sont pas significatives (toutes sauf une sont compatibles avec zéro) mais elles peuvent
néanmoins dégrader sensiblement les barres d’erreurs. On remarque aussi que les corrections sont
légèrement biaisées vers des W plus faible : c’est logique, car quand le spectre des pions libres croise
la masse de la résonance la répulsion entre niveaux donne un niveau au-dessus de la résonance
et un niveau au-dessous (cf. fig.3.1), mais le niveau inférieur sera dominant dans la décroissance
exponentielle de la fonction à la deux points.
Mais une méthode légèrement plus évoluée est de faire de g un paramètre supplémentaire
de l’ajustement lors de l’extrapolation de mρ aux masses physiques des quarks (les résultats de
l’ajustement sont toujours soumis à un bootstrap, de sorte que l’on contrôle toujours la variation
de la barre d’erreur). C’est la méthode utilisée dans le résultat final, présenté fig. 5.2. L’équation
(5.1) nous donne une forme particulièrement adaptée à un tel ajustement, puisque ∆m2ρ ne dépend
que des données extraites du calcul sur réseau et qu’il suffit de paramétrer la dépendance en masse
des quarks de mρ et g (qu’on prend constant).
5.2
5.2.1
A la recherche de la largeur
Le problème
Avoir pû montré que notre spectre ne souffre pas trop des corrections de volume fini est
d’un côté une bonne chose, mais d’un autre côté cela met à mal notre ambition de mesurer la
largeur de la résonance. En terme de ce qu’on peut voir sur la figure 5.1 il faudrait, pour qu’on
puisse bien mesurer g, avoir des points loins de [−1; 1] tout en ayant une incertitude faible, ce qui
malheureusement n’est pas le cas.
On peut penser qu’en prenant tous les couples (mπ , W ) en compte la statistique pourrait inverser la balance, en transformant une multitude de valeurs imprécises en une valeur plus précise.
16
4
3
1
2
2
(W -mρ )/σW2
2
0
-1
-2
-3
200
300
mπ
400
500
600
Fig. 5.1 – Correction de volume fini qu’il faut apporter au carré de l’énergie W calculée sur réseau
pour obtenir la masse du ρ au carré, en unité de l’incertitude sur ce carré. Présentée ici pour g = 6,
une valeur différente de g correspondant simplement à une homothétie sur l’axe des ordonnées.
Malheureusement cette méthode frontale ne donne pas de résultat miraculeux, le meilleur ajustement donnant g = 10 ± 10.
Cette mauvaise précision est due à de nombreux facteurs qui s’emmêlent et s’ajoutent, si bien
qu’il est difficile de trouver un unique paramètre à modifier dans une certaine direction pour
améliorer les choses. Par exemple si on s’éloigne du cross-over la correction de volume fini devient
insignifiante par rapport à l’erreur sur W , tandis que si on se rapproche du cross-over elle devient
insignifiante par rapport à elle-même. Nous allons donc terminer notre étude par un recensement
de différentes possibilités qu’il faudra explorer plus en détail.
5.2.2
Possibles solutions
Amélioration du spectre
La première solution serait d’avoir un spectre plus précis : si W (et mπ ) était exactement
déterminé alors mρ et g le seraient aussi. Ainsi si on avait une mesure cent fois plus précise de W
on aurait une valeur de g à 1% près. Malheureusement il n’y a pas de miracle : cela nécessiterait
d’avoir un supercalculateur cent fois plus puissant. Il est tout de même intéressant de noter que
cela signifie que la technique est en principe bonne, et que d’après la loi de Moore la même méthode
donnerait dans moins de dix ans une précision équivalente à celle de l’expérience.
Choix des points
On peut essayer de faire varier les différents paramètres (mπ L, mρ /mπ ) de la simulation de
façon à obtenir une meilleure significance ∆m2ρ /σ(W 2 ) de la correction de volume fini. Cependant
une automatisation de cette méthode nous a appris que cela pouvait au mieux diviser par trois
l’incertitude sur g 2 .
Utilisation d’un second opérateur
Normalement si on veut extraire g de (5.1) il faut connaitre mρ , ou bien disposer de deux points
pour résoudre le système en (g, mρ ). Jusqu’à présent on a contourné cette limitation imposant
en plus une certaine dépendance de (g, mρ ) en fonction des masses des quarks, et en réalisant
17
Ω
1.2
M/MΞ
1
N
0.8
ρ
0.6
a~
~0.124 fm
a~
~0.082 fm
a~
~0.065 fm
0.4
0.2
0
physical Mπ
0.05
0.1
2
(Mπ/MΞ)
0.15
Fig. 5.2 – Extrapolation à la masse physique des hadrons ρ, N et Ω. Toutes les quantités sont
sont mesurées en unités de la masse du Ξ.
alors un ajustement sur l’ensemble des points. Cet ajustement induit une erreur supplémentaire
(systématique celle-là), et notre g serait mieux obtenu si on déterminait d’abord le couple (g, mρ )
pour ne faire l’ajustement (ou la moyenne) qu’ après.1
Pour obtenir ces deux points il nous faudrait deux corrélateurs, ou plutôt deux opérateurs
(formant un corrélateur matriciel qu’on diagonalise pour obtenir les deux énergies). Si on mesure
deux énergies W1 et W2 , le couplage peut alors être donné par :
g 2 = 6π
W12 − W22
.
∆m2ρ (W1 ) − ∆m2ρ (W2 )
(5.3)
On s’est ainsi débarassés de la variable mρ , sur laquelle g était beaucoup trop sensible. Cependant, cette formule ne paraı̂t pas radicalement différente de (5.1), où on retrouve notamment les
∆m2ρ qui sont à l’origine de l’augmentation de l’incertitude. Mais on peut s’attendre à ce que les
incertitudes liées aux deux énergies s’annulent partiellement au vu de leurs corrélations (pensons
notamment que si mρ augmente alors les énergies W1 et W2 de part et d’autre du crossing-over
vont augmenter environ de la même quantité, si bien que W1 − W2 est peu sensible à mρ ).
Un argument en faveur de cela est que au voisinage du level-crossing on s’attend à ce que
W1 − W2 se rapproche de Γ ∼ 150M eV , grand devant nos incertitudes (∼ 15M eV ), alors qu’avec
la méthode précédente à un W on n’avait pas de Γ significatif. Plus exactement en négligeant les
petites oscillations de Φ et en développant en q quasi-entier (faible interaction) :
r
2π
+
−
Wcross − Wcross ∼ Γ. .
(5.4)
L
Un choix judicieux d’opérateurs serait alors d’ajouter à notre opérateur local représentant le ρ
un opérateur non-local représentant ππ libre. En effet, au voisinage du level-crossing les niveaux
ont un recouvrement important avec chacun des deux opérateurs. C’est d’ailleurs le choix qui a
été fait par la collaboration japonaise [3].
1 Pour
illustrer cela supposons que m2ρ et g 2 soient quasi-constants modulo une petite déviation de la théorie que
l’on ne maı̂trise pas mais qui est de moyenne nulle : m2ρ = hm2ρ i(1 + δm2ρ (mπ )). Avec deux points (5.3) nous donne
directement hg 2 i sans aucune référence aux déviations, par contre un fit de plusieurs singlets de points indépendants
correspond à trouver le minimum (m2ρ,0 , g02 ) de h(m2ρ,0 − m2ρ + (g02 − g 2 )∆m2ρ (W, mπ )/6π)2 i, qui diffère du couple
(hm2ρ i, hg 2 i) recherché par une erreur systématique venant des corrélations entre (δm2ρ , δg 2 ) et ∆m2ρ .
18
Utilisation de la formule de Rummukainen-Gottlieb
Mais au fond on a déjà la possibilité d’avoir plusieurs corrélateurs : ceux correspondant à
différentes impulsions. Cela nous donnerait alors plusieurs points en utilisant (3.12), et cela sans
recalculer les propagateurs :
En réalité le calcul sur réseau nous donne des corrélateurs dans l’espace position, et nous
formons alors à partir de cela le corrélateur à impulsion nulle :
X
h0 | σ~0 (x0 )σ(0) | 0i =
h0 | σ(x0 , ~x)σ(0) | 0i .
(5.5)
~
x
Pour avoir des corrélateurs associés au référentiel mobile il suffit de faire la somme différemment :
X ~
h0 | σP~ (x0 )σ(0) | 0i =
eiP .~x h0 | σ(x0 , ~x)σ(0) | 0i .
(5.6)
~
x
Des simulations similaires à celles mentionnées au paragraphe “Choix de points” laissent penser
que l’utilisation du spectre du référentiel mobile seul nous donnerait une précision encore plus
mauvaise qu’avec l’utilisation du spectre du référentiel du centre de masse. Mais peut-être que le
croisement des informations des deux spectres comme dans (5.3) peut nous donner quelque chose.
Vérifier cette hypothèse nécessiterait cependant de nouveaux traitement des données, que nous
n’avons pas eu le temps de faire.
19
Chapitre 6
Conclusion
On peut conclure qu’un certain nombre d’objectifs ont été atteints, même s’il reste des directions à approfondir. Les deux points constituant une réussite sont que :
– Nous avons un bon contrôle des erreurs du spectre dues aux effets de volume fini, comprenant
aussi les corrections en loi de puissance des résonances et pas seulement les corrections
exponentielles. Ceci s’intègre dans les travaux de la collaboration “BMW”, dont je fais partie
et qui vient de compléter le premier calcul du spectre des hadrons légers en QCD dans lequel
toutes les erreurs systématiques sont maı̂trisées [7].
– Nous avons une vision rigoureuse de ce qu’est une résonance en terme de structure analytique
et de ce que devient cette structure en volume fini, ce qui n’était pas clair dans les études
précédentes.
– Dans notre démonstration en théorie des champs nous n’avons considéré que des particules
de spin nul. Mais avec le formalisme utilisé, il est facile de se convaincre que la démonstration
tient également pour n’importe quelle paire de particules, tant que seules les particules de
spin nul sont relativistes. Ceci est en fait le cas pour toutes les résonances (p.e. ∆, Σ∗ , etc.)
qui nous ont intéressées dans [7].
Quant aux points qui peuvent encore être travaillés :
– Un nouveau calcul sur réseau utilisant un opérateur ππ en plus de ρ serait souhaitable, et
nous permettrait certainement d’obtenir une bonne détermination de la largeur du ρ.
– Dans le cas où on aurait une particule relativiste avec spin l’équation de quantification (4.20)
est toujours vraie mais nous n’avons pas l’expression de Ml1 ,m1 ;l2 ,m2 . Il pourrait être utile de
compléter notre généralisation soit pour d’autres résonances (ce ne devrait pas être nécessaire
en QCD sur réseau) soit pour obtenir une meilleure précision.
– Utiliser l’approche proposée dans [12] et les outils développés dans l’étude de la largeur des
résonances hadroniques pour essayer de déterminer si la violation de CP directe observée,
après près de 30 ans d’efforts expérimentaux, dans les désintégrations faibles ∆S = 1 telles
que K → ππ, est compatible avec les prédiction du modèle standard ou indique la présence
de physique nouvelle.
20
Annexe A
Calcul de Z00(1, q 2)
Nos équations de quantification utilisent des fonctions cinématiques Zlm liées à la brisure
de symétrie des rotations vers le groupe cubique. Ces fonctions sont définies par continuation
analytique d’une série vers une région où elle diverge, si bien qu’il est intéressant de présenter
comment nous avons pû en obtenir une évaluation numérique. Nous présenterons le cas particulier
de Z00 (1, q 2 ) utilisé dans la formule de Lüscher (3.4) et définie en (3.6), mais nous avons vérifié
que le principe reste le même pour plusieurs généralisation, et notamment pour la quantité (3.12)
utilisée dans la formule de Rummukainen.
Rapellons la forme de Z00 (s, q 2 ) pour Res > 3/2 :
X
√
1
4πZ00 (s, q 2 ) =
.
(A.1)
(~n2 − q 2 )s
~
n∈Z
Pour commencer nous allons nous concentrer là où est la divergence et mettre cela sous une
forme séparant s et ~n :
X Z ∞
X
2
2
1
1
dt ts−1 e−t(~n −q )
(A.2)
=
2 − q 2 )s
(~
n
Γ(s)
~
n|~
n2 >q2 0
~
n|~
n2 >q2
Z
2
2
1 X 1
=
dt ts−1 e−t(~n −q ) + ∆(s, q 2 ) ,
(A.3)
Γ(s)
0
~
n
où on a mis de côté une partie analytique :

 X Z ∞
2
2
1
2
dt ts−1 e−t(~n −q ) −
∆(s, q ) =
Γ(s)  2 2 1
~
n|~
n >q
X Z
~
n|~
n2 ≤q2
1
dt ts−1 e−t(~n
0
On utilise alors la formule de sommation de Poisson pour obtenir :
X
X π 3/2
2 2
2
e−π n /t ,
e−t~n =
t
~
n
2
2
−q )


(A.4)
(A.5)
n
~
ce qui nous donne alors :
Z
3/2 2 2 2
X
1
1 X 1
s−1 π
=
etq −π ~n /t + ∆(s, q 2 ) .
dt
t
s
Γ(s)
t
(~n2 − q 2 )
0
2
2
~
n|~
n >q
.

(A.6)
~
n
Il n’y a maintenant plus que le terme en ~n = ~0 qui n’est pas défini en s = 1. On va là encore
isoler la partie divergent en s = 3/2, qu’on pourra finalement calculer :
Z 1
Z 1
Z 1
π 3/2 2
π 3/2 2
etq − 1 + π 3/2
etq =
dt ts−1
ts−1−3/2
(A.7)
dt ts−1
t
t
0
0
0
Z 1
π 3/2 2
π 3/2
etq − 1 +
.
(A.8)
=
dt ts−1
t
s − 3/2
0
21
On peut alors finalement tout remettre ensemble puis le faire tendre s vers 1 :
Z 1
X e−(~n2 −q2 )
X Z 1 dt
√
2
2 2
dt tq2
2
3/2
3/2
3/2
+π
e − 1 +π
etq −π ~n /t ,
4πZ00 (1, q ) = −2π +
3/2
3/2
~n2 − q 2
t
t
0
0
~
n
~
n6=~0
(A.9)
et calculer les intégrales et les sommes numériquement.
22
Bibliographie
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24