Résonance d`un système de deux particules en volume fini

R´esonance d’un syst`eme de deux particules en volume fini
Julien Frison
15 aoˆut 2008

Table des mati`eres
1 Introduction 1
1.1 Cadre et motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Les calculs sur r´eseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Corrections de volume fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Qu’est-ce qu’une r´esonance ? 4
2.1 En volume infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Sur quoi faire reposer la d´efinition ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 La fonction racine carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.3 Coupures et feuillets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.4 R´esonances et ´etats li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 En volume fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Le devenir de la coupure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 R´esonance en volume fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Un mod`ele simple de m´ecanique quantique 8
3.1 Formule de L¨uscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.2 Cas unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.3 Cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.4 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Formule de Rummukainen-Gottlieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Traitement en th´eorie des champs 11
4.1 Formule de sommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.1 Formule de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.2 Dans le r´ef´erentiel du centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.3 Dans le r´ef´erentiel mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Effets de volume fini dans la boucle g´en´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Justification du mod`ele de m´ecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 R´esultats 16
5.1 Rectification du spectre du ρ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 A la recherche de la largeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2.1 Le probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2.2 Possibles solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 Conclusion 20
A Calcul de Z00(1, q2)21
i

Chapitre 1
Introduction
1.1 Cadre et motivation
Le mod`ele standard de physique des particules pr´edit qu’une transition de phase cosmologique,
associ´ee avec la chromodynamique quantique (QCD), a eu lieu peu de temps apr`es le Big Bang.
Les densit´es d’´energie tr`es ´elev´ees pr´esentes `a cette ´epoque ont essentiellement disparues, du fait
de l’expansion de l’Univers. Toutefois, une petite fraction de cette ´energie est encore pr´esente
sous forme d’´energie cin´etique et de liaison des quarks et des gluons qui sont confin´es au sein des
protons et des neutrons de l’Univers actuel. Puisque ces derniers forment plus de 99% de la masse
visible de l’Univers et que 95% de leur masse provient de ce confinement, il est fondamental de
montrer que la QCD reproduit les masses de ces particules.
Le confinement des quarks et des gluons est un ph´enom`ene non-perturbatif de basse ´energie,
qui ne peut ˆetre d´ecrit en developpant la QCD en puissances de sa constante de couplage [18].
Ceci est l’envers de la libert´e asymptotique [8, 16], une des propri´et´es fondamentales de la QCD,
qui correspond au fait que l’interaction entre quarks et gluons diminue au fur et `a mesure que
leurs impulsions relatives augmentent.
Les ph´enom`enes non-perturbatifs de l’interaction forte jouent ´egalement un rˆole fondamental
dans les processus ´electrofaibles de quarks. Dans la mesure o`u la QCD est la th´eorie des inter-
actions fortes, ces effets doivent ˆetre calcul´es en QCD pour que le lien puisse ˆetre fait entre la
th´eorie fondamentale et le m´elange des saveurs ou la violation de CP observ´es. En vue de l’effort
exp´erimental consid´erable engag´e pour explorer ces ph´enom`enes (usines `a B, `a charme, `a kaons,
LHC-b, etc.), il est fondamental de r´eduire les erreurs sur ces calculs, si possible au niveau des
incertitudes exp´erimentales, afin de tester le mod`ele standard et permettre la mise en ´evidence
´eventuelle d’une physique nouvelle.
Pour explorer les pr´edictions de la QCD dans ce r´egime non-perturbatif, l’approche la plus
syst´ematique consiste `a faire appel aux calculs num´eriques en QCD sur r´eseau [18, 6]. On peut ainsi
obtenir, de fa¸con conceptuellement simple, le spectre des hadrons l´egers (π,N,ρ, ∆, etc.) pr´evu
par la QCD. Ces propri´et´es hadroniques ont historiquement ´et´e (et sont encore parfois) ´etudi´ees
dans l’approximation ”quenched”, o`u les effets des quarks de la mer (donn´es par le d´eterminant
fermionique obtenu en int´egrant analytiquement sur les champs de quarks) sont trait´es dans une
approximation de champs moyen. Bien que cette approche n´eglige la partie la plus num´eriquement
coˆuteuse d’un calcul sur r´eseau, une d´etermination compl`ete du spectre ”quenched” n’a ´et´e obtenue
qu’apr`es environ 20 ans d’´etudes. Dans [1] il a ´et´e montr´e que la th´eorie “quenched” pr´edit des
masses de hadrons l´egers qui sont typiquement en accord avec le spectre exp´erimental `a environ
10% pr`es et que l’inclusion de certains effets des quarks de la mer am´eliorent cet accord [1, 2].
Toutefois, un calcul complet du spectre des hadrons l´egers qui inclue correctement tous les effets
de l’interaction forte, y compris ceux des quarks de la mer, restait `a faire. Un des aspects du travail
pr´esent´e ici rep´esente une contribution `a un tel calcul [7].
Alors qu’un calcul complet des masses des hadrons l´egers repr´esente une ´etape importante dans
1

la validation de la QCD comme la th´eorie de l’interactions forte, il ne teste qu’indirectement un
des aspects fondamentaux de la th´eorie des champs : la cr´eation de paires et la d´esint´egration de
particules. Or un nombre important de hadrons se d´esint`egrent par l’interaction forte (le cas de
l’interaction faible est simplifi´e par la factorisation, les nouveaux quarks ´etant alors repr´esent´es par
un op´erateur de courant externe `a la simulation sur r´eseau), comme le montre sch´ematiquement
la figure 1.1. Seul le calcul de la largeur de ces r´esonances apporterait un test direct de ces
ph´enom`enes.
Fig. 1.1 – Diagramme ρ→ππ →ρ, qui est reli´e `a d´esint´egration ρ→ππ par le th´eor`eme optique.
On souligne que la boucle interne (en rouge) est constitu´ee de quarks de mer, dynamiques
L’´etude d’une r´esonance est quelquechose de d´elicat, vu les contraintes de la QCD sur r´eseau en
terme de puissance de calcul et vu le fait que les calculs sont faits dans un espace-temps euclidien :
on ne sait simuler que des volumes de quelques fermis, o`u il n’est pas possible de cr´eer des ´etats
asymptotiques, et la continuation analytique d’amplitudes de diffusion est difficile. Il nous faut
donc d´evelopper un cadre pour l’´etude indirecte des r´esonances. C’est l`a l’objet de ce travail, qui
s’appuyera sur la formule de L¨uscher [15] pour transformer le probl`eme de la taille finie du r´eseau
en un avantage qui permet de calculer un spectre dans lequel la r´esonance laisse une trace.
1.2 Les calculs sur r´eseau
Prenons un instant pour ´etudier comment est obtenu le spectre `a partir des calculs sur r´eseaux.
Tout d’abord qu’est-ce que la QCD sur r´eseau ? Cela consiste d’abord `a remplacer l’espace-
temps minkowskien usuel par un r´eseau discret et euclidien de points, les champs de quarks ´etant
d´efinis sur les sites et les champs de jauge, qui impl´ementent le transport parall`ele, sur les liens
entre ces sites. En g´en´eral le r´eseau est hyper-cubique, avec une maille d´enot´ee a, des dimensions
L3×T, et des conditions aux bords p´eriodiques ou anti-p´eriodiques. L’action Sde la QCD est
alors remplac´ee par une version discr´etis´ee, o`u les d´eriv´ees deviennent des diff´erences finies (avec
transport parall`ele si n´ecessaire) et les int´egrales des sommes. Le fait que le r´eseau poss`ede une
distance minimale (a) r´egularise la th´eorie dans l’ultraviolet et le volume fini la r´egularise dans
l’infrarouge. Le r´eseau permet donc de d´efinir la QCD math´ematiquement d’une fa¸con qui ne
fait pas appel `a la notion de boucles, de diagrammes de Feynman, etc. : c’est une r´egularisation
non-perturbative. L’int´egrale de chemin devient une int´egrale sur un nombre fini (bien qu’´elev´e)
de degr´es de libert´e, pond´er´ee par exp(−S) det(D+M), o`u det(D+M) est le d´eterminant de
l’op´erateur de Dirac massif discret, obtenu apr`es int´egration sur les champs de quarks. Ce poids
´etant positif, l’int´egrale peut ˆetre ´evalu´ee `a l’aide de m´ethodes de type Monte-Carlo. Le point
crucial est que la QCD sur r´eseau n’est pas un mod`ele. La QCD sur r´eseau est QCD, dans la
limite o`u la maille atends vers z´ero, Ltends vers l’infini et la statistique de l’´echantillonage
stochastique des configurations de champs tends ´egalement vers l’infini. De plus, on dispose de
libert´es suppl´ementaires par rapport `a l’´etude exp´erimentale : nous pouvons faire varier comme
nous le souhaitons les param`etres de QCD, notament la masse des quarks. C’est une technique
2

particuli`erement int´eressante nous permettant, par exemple, de nous placer dans un domaine fictif
exhibant mieux tel ou tel ph´enom`ene.
Voici alors comment on d´etermine les masses de hadrons : on calcule num´eriquement un
corr´elateur Cσ(x0) = a3P~xh0|σ(x)σ†(0)|0iavec un op´erateur σayant les nombres quantiques
du hadron que l’on souhaite ´etudier ; la somme sur ~x projettant le corr´elateur sur le sescteur d’im-
pulsion totale nulle. On obtient ensuite la masse `a partir de l’´etude de la variation temporelle (en
temps euclidien) de ce corr´elateur. En effet, si la th´eorie poss`ede un spectre d’´etats, σn, ayant les
nombres quantiques de l’op´erateur σ, on a alors (x0≪T)
Cσ(x0)≃X
n
|h0|σ(0)|σni|2
2Mn
e−Mnx0(1.1)
o`u Mnest la masse de l’´etat σnet les amplitudes des exponentielles d´ependent du bon choix de
notre op´erateur (mais pourvu qu’on prenne les bons nombres quantiques, ils ne s’annulent pas, et
il n’y a alors th´eoriquement que l’exponentielle qui importe). Pour x0≫1/(M1−M0), c’est l’´etat
fondamental σ0qui domine et on peut obtenir la masse de cet ´etat en faisant un ajustement de la
d´ependence de Cσen x0`a une forme exponentielle dans ce domaine.
Signalons enfin que ces calculs sur r´eseau sont tr`es gourmands en ressources, et il n’est pas
rare qu’un calcul prenne un mois `a un supercalculateur. Cela est particuli`erement vrai lorsqu’on
s’approche des masses physiques des quarks. C’est pourquoi nous avons fait les calculs avec plu-
sieurs masses de quarks un peu plus lourdes que les masses physiques, puis nous avons extrapol´es
les r´esultats `a la limite des masses physiques.
1.3 Corrections de volume fini
Nous allons alors nous int´eresser `a l’´ecart entre le spectre de deux particules (p.e. π) libres (sans
aucune interaction, ni avec elle-mˆeme ni avec l’autre particule ), et le spectre de ces deux particules
int´eragissant en pr´esence d’une r´esonance (p.e. ρ). Parler d’´etats `a deux particules suppose qu’on
se placera dans la zone ´elastique (2m < E < 4m), o`u ces ´etats dominent. Cet ´ecart est alors une
correction de volume fini, qui se d´ecompose en deux parties :
– Des corrections de type I, exponentiellement faibles avec mπLgrand. Ce type de corrections,
qui est d´ej`a pr´esent dans le cas d’une unique particule enferm´ee dans une boˆıte finie, est
due `a des boucles autour du monde torique (les boucles homotopes `a un point seront elles
pr´esentes aussi dans la th´eorie de volume infini). Dans nos simulations (mπL∼
>4) nous
pouvons n´egliger ces corrections.
– Des corrections de type II sont dues sp´ecifiquement au fait d’avoir un syst`eme de deux
particules. Il s’agit de corrections en loi de puissance, qui peuvent donc ˆetre importantes. On
peut les interpr´eter comme li´ees `a la probabilit´e qu’ont deux particules de se trouver `a un
mˆeme endroit pour int´eragir `a travers une r´esonance : si les particules ´etaient dilu´ees dans
un volume infini ces corrections disparaˆıtraient. C’est sur ce type de corrections que nous
allons nous concentrer.
L’´etude de ces corrections aura finalement deux buts : tout d’abord tenter de d´eterminer la
largeur des r´esonances, mais aussi tout simplement corriger le spectre calcul´e sur r´eseau[7]. Nous ex-
poserons alors ce travail en quatre chapitres : tout d’abord nous expliquerons notre compr´ehension
de ce qu’est une r´esonance, ensuite les deux chapitres suivants montreront les formalismes existant
dans un cadre de m´ecanique quantique puis de th´eorie des champs, et enfin nous pr´esenterons les
r´esultats de nos simulations.
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