TD1. Classes monotones et existence d`une mesure.

Universit´ e Pierre & Marie Curie Licence de math´ ematiques 3
Ann´ ee 2011-12 UE LM365
TD1. Classes monotones et existence d’une mesure.
On rappelle que :
Une famille Λ de parties d’un ensemble Ω est appel´ee λ−syst`eme si elle est stable par union croissante
et diff´erence propre :
1) Pour toute suite croissante (Sn)n∈Nd’´el´ements de S, on a Sn∈NSn∈ S
2) Pour tout A, B ∈ S tels que A⊂B, on a B\A∈ S
Une famille Mde partie d’un ensemble Ω est une classe monotone si c’est un λ−syst`eme contenant
Ω.
On rappelle ´egalement que :
a) Une intersection de π−syst`emes est un π−syst`eme, et qu’une intersection de λ−syst`emes est un
λ−syst`eme.
b) Soit Dun π−syst`eme. La classe monotone engendr´ee par Dest ´egale `a la tribu engendr´ee par D
Convention : Un π−syst`eme sur Ω est une classe de sous-ensembles stable par intersections finies et
contient Ω.
Exercice 1. Les classes suivantes sont elles des π−syst`emes ? des classes monotones ?
a) L’ensemble des unions finies disjointes d’intervalle du type ]a, b] dans R, avec −∞ ≤ a≤b≤+∞
(on pose ]a, +∞] =]a, +∞[). L’ensemble {A∈ P(R)Aau plus d´enombrable}∪{R}dans R.
b) L’ensemble {A∈ P(N),|A|<+∞} ∪ {N}dans N.
c) L’ensemble des disques ouverts de R2. L’ensemble des unions finis de convexes de Rd.
d) L’ensemble des compacts d’un espace topologique s´epar´e.
Solution de l’exercice 1.
Si d≥2, la classe des unions finies de convexes n’est pas stable par diff´erence propre : ¯ B(0,1)\B(0,1) =
S(0,1) (on utilise la norme euclidienne). Si S(0,1) = ∪p
i=1Ci´etait union finie des convexes Ci, l’un
d’eux, disons C1, contiendrait deux points distincts a, b. Mais [a, b]∩S(0,1) = {a, b}et ]a, b[ ne serait
pas contenu dans C1. Contradiction.
L’ensemble des compacts d’un espace topologique s´epar´e est toujours stable par intersection finie. Si
Xest non compact, ce n’est pas un π−syst`eme, ni une classe monotone. Si Xest compact fini on a
la tribu discr`ete. Sinon (Xcompact infini) la classe est non stable par union croissante ou diff´erence
propre : En effet, soit A={x1, . . . , xn, . . .}infini dans X. Si Aest non compact : A´etant union
croissante de sous parties finies on n’a pas stabilit´e par suite croissante. Si Aest compact, soit a∈A
un point d’accumulation (dans Aou dans X) alors A\ {a}n’est pas ferm´e. Remarque : Un espace
compact infini admet toujours un point d’accumulation cad un point xtel que ∀Wvoisinage de x,
W\ {x}est non vide (ou infini). Sinon tout les points sont isol´es, l’espace est discret et compact donc
fini.
Exercice 2. Soit (An)n∈Nune suite d´ecroissante de sous ensembles d’un ensemble Ω. V´erifier que
A={Ai, i ∈N}est stable par intersection finie et d´ecrire le Λ−syst`eme engendr´e par A.
Solution de l’exercice 2.Consid´erons Acomme une classe de sous ensemble de A0. On cherche alors
le λ−syst`eme sur A0engendr´e par A. C’est la tribu engendr´ee par A. Posons Cn=An\An+1 et
C∞=∩n∈NAn. Les Cisont disjoints. Soit B={∪i∈ICi, I ∈ P(N∪ {∞})}. C’est la tribu sur A0
engendr´ee par A.
Exercice 3.
1

a) Soient P1et P2deux mesures de probabilit´es sur (Ω,B). Montrer que M={A∈ B , P1(A) =
P2(A)}est une classe monotone.
Solution de l’exercice 3. Ω ∈ M.P1et P2´etant des mesures, Mest stable par union d´enombrable
croissante. Si B⊂Asont dans B,P1(A) = P1(A\B)+P1(B). Comme P1(B) est finie, on a P1(A\B) =
P1(A)−P1(B). Donc Mest stable par diff´erence propre.
On d´eduit de cela que deux mesures finies qui coincident sur un π−syst`eme coincident sur la tribu
engendr´ee par ce π−syst`eme.
Exercice 4. Soient µ1et µ2deux mesures positives sur (Rd,BRd) finies sur tout compact (on dit
qu’elles sont des mesures de Radon). On suppose que ∀f∈ C0(Rd) positive de support compact,
ZRd
fdµ1=ZRd fdµ2.
On veut montrer que µ1=µ2
a) Montrer que la classe Cdes ouverts d’un espace topologique est un π−syst`eme.
b) Montrer que si Uest un ouvert born´e (non vide) de Rd, il existe une suite croissante (fn)n∈Nde
fonctions continues positives de supports compacts inclus dans Utelle que limn∈Nfn= 1U.
c) En d´eduire que les deux mesures coincident.
Solution de l’exercice 4.
a) Soit χ:R→R+une fonction continue telle que χ|]−∞,1] = 0 et χ|[2,+∞]= 1. Alors
fn:Rd3x→fn(x) = χ(ndist(x, Uc)) ∈R+
r´epond `a la question (si Uest born´e) : la fonction x→d(x, Uc) est Lipschitzienne, donc fnest
continue, nulle sur Ucdonc de support un ferm´e contenu dans Udonc compact si Uest born´e.
(fn(x))n∈Ncroit vers 0 si x6∈ Uet 1 si x∈U.
Remarque : la propri´et´e est vraie si Uest un ouvert quelconque : Si U6=Rdest un ouvert non
born´e : on multiplie par une fonction gnconstruite via χ2(||x||
n) avec χ2affine sur Rqui vaut 1
si t≤1 et 0 si t≥2 :
hn:Rd3x→gn(x)fn(x) = χ(ndist(x, Uc))χ2(||x||
n)∈R+
est de support contenu dans le compact {dist(. , Uc)≥1
n} ∩ B(0, , 2n).
Si U=Rd, on prend seulement gn.
b) Donc si Uest un ouvert born´e :
lim
n→+∞ZRd
fndµ1= lim
n→+∞ZRd
fndµ2.
Le th´eor`eme de convergence monotone entraine que µ1(U) = µ2(U). Si Uest un ouvert quel-
conque, on a µi(U) = limn→+∞µi(U∩B(0, n)) (i= 1,2) donc µ1(U) = µ2(U).
On applique le lemme des classes monotones pour conclure : les mesures coincident sur le
π−syst`eme des ouverts de Rdet sont σ−finies. Elles coincident donc sur la tribu bor´elienne
qui est la classe monotone engendr´ee par ce π−syst`eme.
Exercice 5. On cherche une version fonctionnelle du lemme des classes monotones :
Soit Cune classe stable par intersection finie sur Ω et Hun espace vectoriel de fonctions r´eelles sur Ω
tels que :
2

i) Pour toute suite croissante (hn)n∈Nde fonctions positives de Htelle que h= supn∈Nhnsoit
finie, on a h∈H,
ii) ∀C∈ C, 1C∈Het 1Ω∈H.
Alors Hcontient toutes les fonctions r´eelles σ(C)−mesurables finies.
a) Soit S={A∈ P(Ω) ,1A∈H}. Montrer que Sest une classe monotone contenant C.
b) En d´eduire que Hcontient l’espace vectoriel des fonctions ´etag´ees σ(C)−mesurables.
c) En d´eduire que Hcontient toute fonction σ(C)−mesurable.
Solution de l’exercice 5.
a) Par hypoth`ese, C ∪ {Ω}⊂S. Soient S1, S2∈ S telle que S1⊂S2alors 1S2−S1= 1S2−1S1∈H
car Hest un espace vectoriel. De plus si (Sn)n∈Nest une suite croissante de S, on 1∪n∈NSn=
supn∈N1Sn∈Hpar hypoth`ese i).
b) Sest une classe monotone contenant le π−syst`eme C ∪{Ω}, elle contient donc σ(C) la plus petite
classe monotone contenant C. Cad ∀A∈σ(C), 1A∈H. Mais Hest un espace vectoriel, donc
∀A1,...An∈σ(C), Pn
i=1 ai1Ai∈H.
c) Toute fonction positive (finie) σ(C)mesurable ´etant limite croissante de telles fonctions ´etag´ees,
sera dans Hd’apr´es i). Et comme toute fonction σ(C)−mesurable finie hs’´ecrit h=h+−h−,
pour des fonctions mesurables positives finies, on conclut car Hest un ev.
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