ORLÉANS

178 Olympiades académiques 2015
ORLÉANS - TOURS
Premier exercice
Toutes séries
L’échiquier
Énoncé
nétant un entier naturel non nul, on rappelle que la somme des npremiers entiers naturels est donnée
par :
1 + 2 + 3 + ··· +n=n(n+ 1)
2.
On considère un échiquier carré de 8×8cases.
Les cases sont alternativement de couleur noire ou blanche.
pétant un entier supérieur ou égal à 2, on dit que l’on a un
«p-découpage » lorsque l’échiquier est découpé en prectangles
(en respectant les cases).
On donne ci-dessous des exemples de 3-découpages :
a) b) c)
On dit qu’un p-découpage est magique s’il vérifie à la fois les deux conditions suivantes :
1. chacun des prectangles a autant de cases blanches que de cases noires ;
2. les aires des prectangles sont toutes distinctes.
A : Dans cette partie, on s’intéresse à des 3-découpages de l’échiquier.
1. Parmi les 3-découpages a, b et cdonnés ci-dessus en
exemples, déterminer ceux qui sont magiques.
2. Tout 3-découpage est de l’un des types ci-contre.
a) Proposer un 3-découpage de l’échiquier qui soit magique
et de type 2.
b) Peut-on trouver un 3-découpage de type 2 qui ne res-
pecte aucune des deux conditions 1et 2?
Type 1 Type 2
A : Dans cette partie, p= 8.
On considère un 8-découpage magique de l’échiquier, en supposant qu’il en existe.
On note a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8les nombres de cases blanches de chacun des 8 rectangles qui forment
ce découpage.

Olympiades académiques 2015 179
1. Prouver que a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 32.
2. a) Justifier que les 8 nombres a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8sont tous distincts.
b) En déduire que :
a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8>1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8.
3. Existe-t-il un 8-découpage magique de l’échiquier ?
C : Dans cette partie, on se propose de déterminer les valeurs de ppour lesquelles il existe un p-découpage
magique.
On considère un p-découpage magique de l’échiquier, en supposant qu’il en existe.
On note a1, a2, a3, . . . aples nombres de cases blanches de chacun des prectangles qui forment ce p-
découpage.
1. Calculer la somme a1+a2+a3+···+ap.
2. Justifier par ailleurs que a1+a2+a3+··· +ap>p(p+ 1)
2.
3. En déduire un encadrement du nombre ppuis donner les valeurs éventuelles de p.
4. Quelles sont les valeurs de ppour lesquelles l’échiquier a effectivement un p-découpage magique ?
Éléments de solution
Remarque : un rectangle ne vérifie pas la condition 1si et seulement si il a un nombre impair de cases,
ce qui équivaut à un nombre de lignes et un nombre de colonnes tous deux impairs.
1. a) Seuls des 3-découpages aet bvérifient la condition 1. Seul aest magique car bne vérifie pas
la condition 2.
b) On considère un p-découpage de type 2 ne respectant aucune des conditions 1et 2.
Le rectangle de gauche ayant un nombre pair de cases, il est nécessaire que l’un au moins des
deux rectangles de droite ait un nombre impair de cases. L’échiquier ayant un nombre pair de
cases, l’autre rectangle de droite a également un nombre impair de cases.
La condition 2n’étant pas réalisée, deux au moins des trois rectangles ont la même aire donc,
pour des questions de parité, cela ne peut-être que les deux rectangles de droite. Ayant le même
nombre de colonnes, ils ont donc le même nombre de lignes qui ne peut donc être que 4. Or ce
nombre devrait être impair. Contradiction !
Il n’existe donc pas de 3-découpage de type 2qui ne respecte aucune des conditions 1et 2.
2. Le raisonnement est repris à la question 3 dans le cadre général. On obtient une contradiction
donc il n’existe pas de 8-découpage magique.
3. a) La condition 1étant réalisée, le rectangle qui a aicases blanches a en tout 2aicases. Comme
le nombre total de cases est de 64, on obtient :
a1+a2+a3+··· +ap= 32
b) Les aires des rectangles sont proportionnelles aux nombres de cases donc aux nombres de cases
blanches. Comme les aires sont deux à deux distinctes, il en est de même des nombres de cases
blanches. Quitte à changer les numéros, on peut considérer que l’on a a1< a2< a3< . . . < ap.
Ces huit entiers naturels distincts sont donc tels que pour chacun d’entre eux ai>i.
On en déduit que a1+a2+a3+··· +ap>1 + 2 + 3 + ··· +p.
Donc a1+a2+a3+·+ap>p(p+ 1)
2.
c) On déduit des deux questions précédentes que p(p+ 1) 664.
La résolution de l’inéquation p2+p−64 60donne −1−√257
26p6−1 + √257 2.
Or −1−√257
2≈ −8,5et −1 + √257 2≈7,5. L’entier naturel pest donc compris entre 2 et 7.
d) Pour chacune de ces six valeurs, il existe bien un p-découpage magique . . .

180 Olympiades académiques 2015
p= 2 p= 3 p= 4
p= 5 p= 6 p= 7
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Olympiades académiques 2015 181
ORLÉANS - TOURS
Deuxième exercice
Toutes séries
Le nombre d’or et la quine des bâtisseurs
Énoncé
A - Introduction
Dans la figure ci-contre ABCD est un carré de côté 1. M est le
milieu de [DC]. Le cercle de centre M et de rayon MB coupe la
demi-droite [DC) en P. ADPE est un rectangle.
1. Calculer la valeur exacte de M B, puis celle de DP . On
note Φ = DP .
On appelle rectangle d’or un rectangle dont le rapport des
côtés vérifie :longueur du plus grand côté
longueur du plus petit côté = Φ . Le rec-
tangle ADPE est donc un rectangle d’or.
2. Démontrer que Φ2= Φ + 1.
3. Démontrer que le rectangle BCPE est aussi un rectangle
d’or.
A B E
D CM P
1
B - La quine des bâtisseurs
Parmi les instruments de mesure utilisés par les bâtisseurs romains, on trouve la quine des bâtisseurs.
Pour évaluer une longueur on se sert soit de la main, soit du pied.
Voici 5 mesures : La paume, la palme, l’empan, le pied et la coudée.
Si on pose – de manière arbitraire – l’empan pour unité, on obtient les relations suivantes :
Par exemple, une palme vaut 1
Φempan et un pied vaut Φempans.
1. Démontrer que :
1 paume + 1 palme = 1 empan,
1 palme + 1 empan = 1 pied,
1 empan + 1 pied = 1 coudée.
2. Sur la figure 1 donnée en annexe, ABCD est un carré tel que la longueur du côté soit 1 empan. Le
rectangle ADPE est un rectangle d’or. J est un point de la demi-droite [BE) et H un point de la
demi-droite [CP). BCHJ est un carré.
a) Identifier sur la droite (DC) :
- un segment de longueur un pied

182 Olympiades académiques 2015
- un segment de longueur une palme
- un segment de longueur une paume.
Les réponses seront justifiées.
b) Placer un point K sur la droite (DC)tel que [DK] mesure une coudée.
Justifier la construction.
3. En traçant un cercle de diamètre 5 empans, les bâtisseurs
remplaçaient la longueur de l’arc par une coudée.
a) Calculer la différence entre la mesure de l’arc et la cou-
dée.
b) La méthode des bâtisseurs est-elle justifiée ?
c) En déduire une approximation de Φen fonction de π.
A
O
B
E E
60°
ANNEXE
A B E J
D C P H
Éléments de solution
1. a) Dans le triangle BMC d’après la propriété de Pythagore BM2=BC2+M C2= 12+1
22
=5
4
donc BM =√5
2.
DP =DM +MP =DM +M B =1
2+√5 2=1 + √5 2= Φ.
b) Φ2= 1 + √5
2!2
=1 + 5 + 2√5
4=6 + 2√5 4=4 + 2 + 2√5 4= 1 + 1 + √5 2= 1 + Φ.
Soit Φ2
Φ=Φ + 1 Φ⇔Φ = 1 + 1 Φ⇔1 Φ= Φ −1.
c) P C =DP −DC = Φ −1 = 1
Φ. Le rapport des côtés du rectangle BEPC est BC CP =1 1/Φ= Φ.
Donc BCPE est un rectangle d’or.
2. a) 1 paume + 1 palme = 1
Φ2+1 Φ=1 + Φ Φ2=Φ2 Φ2=1 empan.
1 palme + 1 empan = Φ = 1 + 1
Φ= 1 pied.
1 empan + 1 pied = 1 + Φ = Φ2= 1 coudée.