ORLÉANS

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Olympiades académiques 2015
ORLÉANS - TOURS
Premier exercice
Toutes séries
L’échiquier
Énoncé
n étant un entier naturel non nul, on rappelle que la somme des n premiers entiers naturels est donnée
par :
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ···+ n =
.
2
On considère un échiquier carré de 8 × 8 cases.
Les cases sont alternativement de couleur noire ou blanche.
p étant un entier supérieur ou égal à 2, on dit que l’on a un
« p-découpage » lorsque l’échiquier est découpé en p rectangles
(en respectant les cases).
On donne ci-dessous des exemples de 3-découpages :
a)
b)
c)
On dit qu’un p-découpage est magique s’il vérifie à la fois les deux conditions suivantes :
1. chacun des p rectangles a autant de cases blanches que de cases noires ;
2. les aires des p rectangles sont toutes distinctes.
A : Dans cette partie, on s’intéresse à des 3-découpages de l’échiquier.
1. Parmi les 3-découpages a, b et c donnés ci-dessus en
Type 1
exemples, déterminer ceux qui sont magiques.
Type 2
2. Tout 3-découpage est de l’un des types ci-contre.
a) Proposer un 3-découpage de l’échiquier qui soit magique
et de type 2.
b) Peut-on trouver un 3-découpage de type 2 qui ne respecte aucune des deux conditions 1 et 2 ?
A : Dans cette partie, p = 8.
On considère un 8-découpage magique de l’échiquier, en supposant qu’il en existe.
On note a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 les nombres de cases blanches de chacun des 8 rectangles qui forment
ce découpage.
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Olympiades académiques 2015
1. Prouver que a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 = 32.
2. a) Justifier que les 8 nombres a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 sont tous distincts.
b) En déduire que :
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 > 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8.
3. Existe-t-il un 8-découpage magique de l’échiquier ?
C : Dans cette partie, on se propose de déterminer les valeurs de p pour lesquelles il existe un p-découpage
magique.
On considère un p-découpage magique de l’échiquier, en supposant qu’il en existe.
On note a1 , a2 , a3 , . . . ap les nombres de cases blanches de chacun des p rectangles qui forment ce pdécoupage.
1. Calculer la somme a1 + a2 + a3 + · · · + ap .
p(p + 1)
.
2
3. En déduire un encadrement du nombre p puis donner les valeurs éventuelles de p.
2. Justifier par ailleurs que a1 + a2 + a3 + · · · + ap >
4. Quelles sont les valeurs de p pour lesquelles l’échiquier a effectivement un p-découpage magique ?
Éléments de solution
Remarque : un rectangle ne vérifie pas la condition 1 si et seulement si il a un nombre impair de cases,
ce qui équivaut à un nombre de lignes et un nombre de colonnes tous deux impairs.
1. a) Seuls des 3-découpages a et b vérifient la condition 1. Seul a est magique car b ne vérifie pas
la condition 2.
b) On considère un p-découpage de type 2 ne respectant aucune des conditions 1 et 2.
Le rectangle de gauche ayant un nombre pair de cases, il est nécessaire que l’un au moins des
deux rectangles de droite ait un nombre impair de cases. L’échiquier ayant un nombre pair de
cases, l’autre rectangle de droite a également un nombre impair de cases.
La condition 2 n’étant pas réalisée, deux au moins des trois rectangles ont la même aire donc,
pour des questions de parité, cela ne peut-être que les deux rectangles de droite. Ayant le même
nombre de colonnes, ils ont donc le même nombre de lignes qui ne peut donc être que 4. Or ce
nombre devrait être impair. Contradiction !
Il n’existe donc pas de 3-découpage de type 2 qui ne respecte aucune des conditions 1 et 2.
2. Le raisonnement est repris à la question 3 dans le cadre général. On obtient une contradiction
donc il n’existe pas de 8-découpage magique.
3. a) La condition 1 étant réalisée, le rectangle qui a ai cases blanches a en tout 2ai cases. Comme
le nombre total de cases est de 64, on obtient :
a1 + a2 + a3 + · · · + ap = 32
b) Les aires des rectangles sont proportionnelles aux nombres de cases donc aux nombres de cases
blanches. Comme les aires sont deux à deux distinctes, il en est de même des nombres de cases
blanches. Quitte à changer les numéros, on peut considérer que l’on a a1 < a2 < a3 < . . . < ap .
Ces huit entiers naturels distincts sont donc tels que pour chacun d’entre eux ai > i.
On en déduit que a1 + a2 + a3 + · · · + ap > 1 + 2 + 3 + · · · + p.
p(p + 1)
.
Donc a1 + a2 + a3 + · + ap >
2
c) On déduit des deux questions précédentes que p(p + 1) 6 64.
√
√
−1 − 257
−1 + 257
2
La résolution de l’inéquation p + p − 64 6 0 donne
6p6
.
2
2
√
√
−1 + 257
−1 − 257
≈ −8, 5 et
≈ 7, 5. L’entier naturel p est donc compris entre 2 et 7.
Or
2
2
d) Pour chacune de ces six valeurs, il existe bien un p-découpage magique . . .
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Olympiades académiques 2015
p=2
p=3
p=4
p=5
p=6
p=7
RETOUR A-"(3*--&
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ORLÉANS - TOURS
Deuxième exercice
Toutes séries
Le nombre d’or et la quine des bâtisseurs
Énoncé
A - Introduction
Dans la figure ci-contre ABCD est un carré de côté 1. M est le
milieu de [DC]. Le cercle de centre M et de rayon M B coupe la
demi-droite [DC) en P. ADPE est un rectangle.
A
B
E
C
P
1. Calculer la valeur exacte de M B, puis celle de DP . On
note Φ = DP .
On appelle rectangle d’or un rectangle dont le rapport des
1
longueur du plus grand côté
= Φ . Le reccôtés vérifie :
longueur du plus petit côté
tangle ADPE est donc un rectangle d’or.
2. Démontrer que Φ2 = Φ + 1.
D
M
3. Démontrer que le rectangle BCPE est aussi un rectangle
d’or.
B - La quine des bâtisseurs
Parmi les instruments de mesure utilisés par les bâtisseurs romains, on trouve la quine des bâtisseurs.
Pour évaluer une longueur on se sert soit de la main, soit du pied.
Voici 5 mesures : La paume, la palme, l’empan, le pied et la coudée.
Si on pose – de manière arbitraire – l’empan pour unité, on obtient les relations suivantes :
Par exemple, une palme vaut
1
empan et un pied vaut Φ empans.
Φ
1. Démontrer que :
1 paume + 1 palme = 1 empan,
1 palme + 1 empan = 1 pied,
1 empan + 1 pied = 1 coudée.
2. Sur la figure 1 donnée en annexe, ABCD est un carré tel que la longueur du côté soit 1 empan. Le
rectangle ADPE est un rectangle d’or. J est un point de la demi-droite [BE) et H un point de la
demi-droite [CP). BCHJ est un carré.
a) Identifier sur la droite (DC) :
- un segment de longueur un pied
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- un segment de longueur une palme
- un segment de longueur une paume.
Les réponses seront justifiées.
b) Placer un point K sur la droite (DC) tel que [DK] mesure une coudée.
Justifier la construction.
A
3. En traçant un cercle de diamètre 5 empans, les bâtisseurs
remplaçaient la longueur de l’arc par une coudée.
B
60°
a) Calculer la différence entre la mesure de l’arc et la coudée.
E
E
O
b) La méthode des bâtisseurs est-elle justifiée ?
c) En déduire une approximation de Φ en fonction de π.
ANNEXE
A
B
E
J
D
C
P
H
Éléments de solution
2
1
5
1. a) Dans le triangle BMC d’après la propriété de Pythagore BM = BC +M C = 1 +
=
2
4
√
5
donc BM =
.
2
√
√
1
5
1+ 5
DP = DM + M P = DM + M B = +
=
= Φ.
2
2
2
2
2
b) Φ =
2
2
2
√ !2
√
√
√
√
1+ 5
1+5+2 5
6+2 5
4+2+2 5
1+ 5
=
=
=
=1+
= 1 + Φ.
2
4
4
4
2
Φ2
Φ+1
1
1
=
⇔Φ=1+ ⇔
= Φ − 1.
Φ
Φ
Φ
Φ
1
BC
1
c) P C = DP − DC = Φ − 1 = . Le rapport des côtés du rectangle BEPC est
=
= Φ.
Φ
CP
1/Φ
Donc BCPE est un rectangle d’or.
Soit
1
1+Φ
Φ2
1
+ =
= 2 =1 empan.
2
2
Φ
Φ
Φ
Φ
1
1 palme + 1 empan = Φ = 1 +
= 1 pied.
Φ
2
1 empan + 1 pied = 1 + Φ = Φ = 1 coudée.
2. a) 1 paume + 1 palme =
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Olympiades académiques 2015
b) DP est un segment de longueur 1 pied, P C est un segment de longueur 1 palme.
1
1
P H = CH − CP = 1 − = 2 donc P H mesure une paume.
Φ
Φ
De plus, Φ2 = Φ + 1. Placer le point K sur [PH) tel que P K = DC = 1.
DK = DP + P K = Φ + 1 = Φ2 = une coudée.
A
D
B
C
un empan
E
J
P
H
K
une palme
une paume
un pied
une coudée
c) Le périmètre du cercle de diamètre 5 empans est 5π (en empans) donc la longueur de l’arc
5π
5π
5π
AB est
. On en déduirait donc qu’une coudée est environ
soit Φ2 =
. En donnant
6
6
6
−5
comme approximation de l’arc AB la coudée l’erreur serait de l’ordre de 4.10 , ce qui justifie
largement la méthode des bâtisseurs
RETOUR A-"(3*--&