L1 Physique Examen de Mécanique et Relativité

19 mai 2006
3 heures
UNIVERSITÉ DE BRETAGNE OCCIDENTALE
U.F.R. SCIENCES ET TECHNIQUES
L1 Physique
Examen de Mécanique et Relativité
Sans documents, calculatrice permise
Le sujet comporte 7 exercices pour un total de 50 points.
Les exercices sont indépendants ; ils ne requièrent aucun calcul difficile.
Recommandations :
• Représenter clairement les forces appliquées sur les objets matériels considérés.
• Obtenir les résultats sous forme littérale avant de faire les applications numériques. Vérifier les dimensions des
résultats obtenus.
• Donnez vos objectifs avant de démarrer un calcul. Transmettez vos conclusions au lecteur par un texte bref.
1) (5 points) Un cascadeur court sur un toit pour atterrir sur le toit d’un
autre building situé plus bas (voir figure).
Prudent, il vous demande s’il peut sauter sachant qu’il connaît la
vitesse v0 maximale avec laquelle il peut courir sur le premier toit.
Que lui conseillez-vous ? On supposera que sa vitesse initiale est
horizontale.
h
l
Données : h = 4,8 m ; l = 6,2 m ; v0 = 4,5 m s-1 ; g = 9,8 m s-2.
2) Une voiture de masse m = 1000 kg se trouve au quart de la
longueur AB d’un pont horizontal. Calculez les forces de
réactions supplémentaires aux points A et B dues à la présence de
la voiture.
B
A
3) (5 points) Une voiture roulant à 50 km/h peut s’immobiliser sur 20 m environ. Supposant que la
force appliquée aux freins est indépendante de la vitesse, déterminer la distance d’arrêt
lorsqu’elle roule à 100 km/h puis 150 km/h.
4) (10 points) Les progrès les plus importants en compétition automobile (Formule 1) réalisés
après les années 50 sont dues à la présence d’ailerons sur les voitures qui génèrent une portance
négative (force dirigée vers le bas) due à l’écoulement de l’air. Cette portance permet de
prendre les tournants des circuits à une vitesse bien plus grande qu’auparavant. Pour
comprendre pourquoi, on va représenter cette portance négative par une force verticale
d’intensité ρ Cp A v2 où ρ est la masse volumique de l’air, A l’aire de la section frontale de
l’aileron et v la vitesse du vent (donc de la voiture), Cp est un coefficient qui dépend de la
forme de l’aileron. La voiture (masse m) se déplace sur une route horizontale, le virage a un
rayon de courbure r. On négligera le rôle de la rotation des roues. On appellera µ le coefficient
de frottement entre les pneus et la route.
(i)
Déterminez la dimension de Cp.
(ii)
Identifiez la force qui permet à la voiture d’effectuer le virage puis écrire la 2ème loi dans
les deux directions horizontales et verticales (lorsque la voiture effectue le virage à
vitesse constante v).
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(iii) Calculez la vitesse maximale permise en fonction des paramètres du problème.
(iv) Calculez le rapport de l’accélération horizontale maximale à l’accélération de la gravité et
indiquez comment le gain d’accélération dépend d’un paramètre sans dimension que l’on
discutera.
Données : m = 1000 kg ; A = 2 m2 ; Cp = 2 ; µ = 0,7 ; r = 200 m.
5) (10 points) Il est frappant de constater tous les cratères à la surface d’un corps dépourvu
d’atmosphère tel que Callisto (un satellite de Jupiter).
(i)
Déterminez l’énergie potentielle d’un météorite de masse m attiré par Callisto de masse
MC et situé à une distance important arbitraire r de son centre (on prendra l’énergie
potentielle comme nulle à l’infini).
(ii)
On néglige tous les autres corps du système solaire et on suppose que le météorite a une
vitesse négligeable à la distance r. Déterminez la vitesse d’impact à la surface de Callisto
de rayon RC et faire l’application numérique lorsque r >> RC.
(iii) On peut vraisemblablement supposer que la collision météorite – Callisto est inélastique
(choc mou) : déterminez la perturbation de vitesse de Callisto juste avant et juste après le
choc.
Données : MC = 1,075 1023 kg ; m = MC/1000 ; RC = 2,4 103 km ; G = 6,67 10-11 m3 kg-1 s-2.
6) (10 points) Une masse m est accrochée à un cylindre tournant librement
autour de son axe horizontal par un fil de masse négligeable enroulé sur
le cylindre. Le cylindre de masse M et de rayon R a un moment
d’inertie I autour de son axe I = ½ MR2. Calculez l’accélération
verticale de la masse m. Entre quelles limites varie-t-elle selon le
rapport des masses m/M ?
m
7) (5 points) Le soleil a actuellement une rotation propre de période T = 2,3 106 s autour d’un axe
passant par son centre. Lorsque tout son combustible nucléaire sera épuisé, il va s’écraser sui
lui-même par effondrement gravitationnel pour devenir une étoile à neutron (pulsar) de 33 km
de diamètre. On assimilera le soleil à une sphère homogène (masse volumique constante).
(i)
Si on suppose qu’il n’y a pas de perte de masse, quelle serait la masse volumique du
soleil effondré lui-même ; comparez avec la masse volumique initiale.
(ii)
Si on néglige les interactions du soleil avec le reste du monde, quelle serait sa période de
rotation du soleil dans l’état final ; comparez avec la période initiale.
Données :
Le moment d’inertie I d’une sphère homogène de rayon R et de masse M par rapport
à un axe passant par son centre est : I = 2/5 MR2.
Le volume d’une sphère est : vol = 4/3 πR3.
Etat actuel du soleil : M = 1,99 1030 kg ; R = 6,96 108 m.
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