EXERCICES TERMINALE S PROBABILITÉS

EXERCICES TERMINALE S PROBABILITÉS
EXERCICE 1 : On dispose d’une grille à trois lignes et trois colonnes. Une machine M1 place au hasard un jeton
dans une case de la grille, puis une machine M2 place de même un jeton sur la grille dans une case libre et enfin
une troisième machine M3 place un jeton dans une case libre.
On note les événements suivants :
H : « Les trois jetons sont alignés horizontalement ».
V : « Les trois jetons sont alignés verticalement ».
D : « Les trois jetons sont alignés en diagonale ».
N : « Les trois jetons ne sont pas alignés ».
Les résultats seront donnés sous la forme de fraction irréductible.
1. Calculer les probabilités des événements H, V, D.
2. En déduire que la probabilité de N est égale à
19
21
.
3. On considère la variable aléatoire X définie par :
X = 20, lorsque H ou V est réalisé ; X = a, lorsque D est réalisé ; X = – 2 , lorsque N est réalisé.
Déterminer a pour que l’espérance mathématique de X soit nulle.
EXERCICE 2 : Dans un village de montagne, deux familles A et B disposent de cinq circuits balisés de
promenade C1, C2, C3, C4, C5 .
PARTIE A : Chaque matin, chacune des familles tire au hasard indépendamment l’une de l’autre, un des 5
circuits . a) Combien y a-t-il de tirages possibles pour l’ensemble des deux familles ?
b) Quelle est la probabilité qu’elle fasse, le même jour, le même circuit ?
c) Quelle est la probabilité que pendant n jours consécutifs, elles ne se trouvent jamais sur le même circuit ?
d) Déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle la probabilité de se trouver au moins une fois sur le même
circuit est supérieure à 0,9.
PARTIE B : On considère dans cette partie deux jours consécutifs. Le deuxième jour chaque famille élimine de
son tirage le circuit qu’elle a fait la veille. On note :
E l’événement : « les deux familles font le même circuit le premier jour » ;
F l’événement : « les deux familles font le même circuit le deuxième jour » .
a) Calculer les probabilités p(E), pE(F),
E
p (F)
.
b) En déduire p(F).
EXERCICE 3 : Un gardien de but doit faire face, lors d’une démonstration, à un certain nombre de tirs directs.
Les expériences précédentes conduisent à penser que :
•S’il a arrêté le n-ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant est 0,8.
•S’il a laissé passer le n-ième tir, la probabilité pour qu’il arrête le suivant est 0,6.
•La probabilité pour qu’il arrête le premier tir est 0,7.
On note An l’événement : « le gardien de but arrête le n-ième tir ». On a donc p(A1) = 0,7.
1. a) Donner, pour n supérieur ou égal à 1, les valeurs de
1
( )
n
A n
p A +
et
1
( )
nn
A
p A +
.
b) Exprimer
1
( )
n n
p A A
+∩
et
1
( )
n n
p A A
+∩
en fonction de
( )
n
p A
.
c) En déduire que, pour n supérieur ou égal à 1,
1
( ) 0,2 ( ) 0,6
n n
p A p A
+= +
.
2. On pose à présent, que pour tout entier n plus grand ou égal à 1,
( )
n n
p p A=
et
0,75
n n
u p= −
.
a) Démontrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) En déduire une expression de pn en fonction de n.
c) Montrer que la suite (pn) admet une limite que l’on calculera.
EXERCICE 4 : On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant des boules indiscernables au toucher. L’urne U1
contient n boules blanches et 3 boules noires ( n est un entier naturel supérieur ou égal à 1). L’urne U2 contient 2
boules blanches et une boule noire. On tire au hasard une boule de U1 et on la met dans U2 , puis on tire au hasard
une boule de U2 et on la met dans U1 ; l’ensemble de ces opérations constitue une épreuve.
On considère l’événement A : « Après l’épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de
départ ».
Montrer que la probabilité p(A) de l’événement A peut s’écrire p(A) =
3
4 n2 n3
.
Déterminer la limite de p(A) lorsque n tend vers + .
On considère l’événement B : « Après l’épreuve, l’urne U2 contient une seule boule blanche ».
Vérifier que p(B) =
6
4n3
.

Catégorie P M G
Probabilité d’erreur 0,035 0,06 0,045
Un joueur mise 20 euros et effectue une épreuve. A l’issue de cette épreuve, on compte les boules blanches
contenues dans l’urne U2.
Si U2 contient une seule boule blanche, le joueur reçoit 2n euros.
Si U2 contient deux boules blanches, le joueur reçoit n euros.
Si U2 contient trois boules blanches, le joueur ne reçoit rien.
Expliquer pourquoi le joueur n’a aucun intérêt à jouer tant que n ne dépasse pas 10.
Dans la suite, on considère que n> 10 et on introduit la variable aléatoire X qui prend pour valeur le gain
algébrique du joueur.
Déterminer la loi de probabilité de X.
On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance mathématique de X est strictement positive.
Montrer qu’il en est ainsi dès que l’urne U1 contient au moins 25 boules blanches.
EXERCICE 5 : n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On imagine n sacs S1, S2 , …, Sn contenant des jetons. Au départ, le sac S1 contient deux jetons noirs et un jeton
blanc. On se propose d’étudier l’évolution des tirages successifs d’un jeton de ces sacs, effectués de la façon
suivante :
Première étape : on tire au hasard un jeton de S1.
Deuxième étape : on place ce jeton dans le sac S1 et on tire au hasard un jeton de S2.
Troisième étape : après avoir placé dans S3 , le jeton tiré de S2 , on tire au hasard un jeton de S2 et ainsi de suite …
Pour tout entier naturel k tel que
1k n≤ ≤
, on note Ek l’événement : « le jeton sorti de Sk est blanc » et
Ek
l’événement contraire.
1. a) Déterminer la probabilité de E1 et les probabilités
12
( )
E
p E
et
12
( )
E
p E
. En déduire
2
( )p E
.
b) Pour tout entier naturel k tel que
1 1k n≤ ≤ −
, la probabilité de Ek est noté pk .
Justifier la relation de récurrence :
11 1
3 3
k k
p p
+= +
.
2. Soit (uk) la suite définie pour k entier naturel non nul, par
11
3
u=
et
11 1
3 3
k k
u u
+= +
.
On considère alors la suite (vk) définie pour k entier naturel non nul, par
1
2
k k
v u= −
.
a) Démontrer que (vk) est une suite géométrique.
b) En déduire l’expression de uk en fonction de k. Montrer que la suite (uk) est convergente et préciser sa limite.
3. Dans cette question, on suppose n = 10. Déterminer les valeurs de k telles que
0,4999 0,5
k
p≤ ≤
.
EXERCICE 6 : Alain et Bernard jouent au jeu suivant : On lance deux pièces simultanément ; Si l’on obtient
deux faces, Alain gagne, si l’on obtient deux piles Bernard gagne, et si l’on obtient un pile et un face, on
recommence.
Pour les deux pièces, les probabilités d’obtenir pile ou face sont égales.
On note les événements :
A1 : « Alain gagne au premier tour ».
B1 : « Bernard gagne au premier tour ».
C1 : « la partie continue après le premier tour ».
Calculer les probabilités des événements A1, B1, C1.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on note les événements :
An : « Alain gagne au n-ième tour ».
Bn : « Bernard gagne au n-ième tour ».
Cn : « la partie continue après le n-ième tour ».
Calculer les probabilités conditionnelles :
1( ) n
C n
p A
−
,
1( ) n
C n
p B
−
,
1( ) n
C n
p C
−
. En déduire les probabilités
( )
n
p C
puis
( )
n
p A
et
( )
n
p B
.
Calculer les probabilités pn et qn pour respectivement Alain et Bernard de gagner au cours des n premières parties.
Déterminer la limite lorsque n tend vers + de pn et qn .
EXERCICE 7 : Dans une région ostréicole, on s’intéresse à la production d’huîtres. Une partie de la production
est conditionnée par calibre, en bourriche étiquetées : P ((petite), M (moyenne) et G (grande). La probabilité
d’erreur lors d’un tri est estimée en fonction de la catégorie de la
façon suivante :
Par ailleurs , la proportion d’huîtres de chaque catégorie est : pour
les petites 13 % ; pour les moyennes 54 % ; pour les grandes 33 %.
a) Dessiner l’arbre de probabilités correspondants.
b) On appelle E l’événement : « une huître a été mal triée ». Calculer la probabilité de E.

c) Quelle est la probabilité qu’une huître soit moyenne sachant qu’elle a été mal triée ?
EXERCICE 8 : Le but de l'exercice est de dénombrer le nombre de carrés contenus dans la figure. On note C1
l'ensemble des carrés dont le coté est une unité, C2 l'ensemble des carrés dont le
côté est deux unités, etc...
1. Vérifier que le cardinal de C1 est 5².
2. Calculer les cardinaux des ensembles C2, C3, C4 et C5.
3. En déduire le nombre de carrés contenus dans la figure.
EXERCICE 9 : Dans un jeu de dominos, chaque domino est partagé en deux
parties portant chacune un "numéro" de 0 à 6 représenté par des points, les deux parties pouvant ou non porter le
même numéro. Tous les dominos sont différents. On appelle double un domino dont les deux parties portent le
même numéro.
Touts les probabilités seront données sous forme de fraction irréductible.
1. Montrer que le nombre de dominos du jeu est 28.
2. Un joueur tire au hasard un domino du jeu.
a) Calculer la probabilité qu'il a d'obtenir un double.
b) Calculer la probabilité qu'il a d'obtenir un domino dont la somme des deux numéros
soit divisible par 3.
3. Un joueur tire simultanément et au hasard deux dominos du jeu.
a) Calculer la probabilité qu'il a d'obtenir au moins un double.
b) Calculer la probabilité qu'il n'obtienne aucun double.
EXERCICE 10 : Une urne contient six jetons portant les lettres A, B, C, D, E, F. Ces six lettres sont aussi les
sommets d'un hexagone régulier (inscriptible dans un cercle).
1. On tire au hasard de l'urne un paquet de trois jetons.
a) Préciser l'ensemble 8 des issues de cette expérience aléatoire.
b) Calculer card 8.
2. A chaque tirage correspond un triangle (T) ayant comme sommets les sommets de l'hexagone écrits sur les
jetons tirés.
Déterminer la probabilité des évènements suivants:
A: " (T) est équilatéral ";
B: " (T) est isocèle et non équilatéral ";
C: " (T) est rectangle ";
D: " (T) est quelconque, c'est-à-dire d'aucun des types précédents ".
EXERCICE 11: Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules noires et 2 boules vertes, indiscernables au toucher.
1) On extrait successivement trois boules de l'urne, en remettant à chaque tirage la boule
précédemment tirée, et on note les couleurs obtenues.
Calculer la probabilité des évènements suivants:
a) A: "obtenir trois boules rouges";
b) B: "obtenir au moins une boule rouge";
c) C: "obtenir un tirage unicolore".
2) On extrait simultanément trois boules de l'urne. Calculer dans ce cas la probabilité des évènements A, B et C.
EXERCICE 12 : Une agence de voyages propose un circuit touristique comprenant quatre des douzes capitales
de la communauté européenne (CEE). Pour définir un circuit on suppose que chaque capitale n'est visitée qu'une
seule fois et on tient compte de l'ordre de visites de ces capitales; par exemple,
le circuit : "Paris, Athènes, Madrid, Rome" diffère du circuit : "Rome, Madrid, Paris, Athènes".
1) Combien y a-t-il de circuits différents?
2) On suppose que chaque capitale a la même probabilité d'être choisie. Calculer la probabilité de chacun des
évènements suivants:
A: " Le circuit commence par Paris".
B: "Le circuit se termine par Athènes".
C: "Le circuit passe par Rome et Madrid".
(Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles).
EXERCICE 13 : Une boîte contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et n boules jaunes. n est un entier naturel
supérieur ou égal à 2. On tire simultanément 2 boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont
équiprobables.
1. Calculer, en fonction de n, les probabilités p(A), p(B) et p(C) des évènements:
A : "obtenir deux boules rouges";

B : "obtenir deux boules de la même couleur";
C : "obtenir deux boules de couleur différentes".
2. On suppose que la probabilité d'obtenir deux boules jaunes vaut
3
13
. Déterminer n puis p(B) et p(C).
EXERCICE 14 : Dans une population donnée, 15% des individus ont une maladie Ma. Parmi les individus
atteints de la maladie Ma, 20% ont une maladie Mb et parmi les individus non atteints de la maladie Ma, 4% ont
la maladie Mb. Dans cet exercice les résultats seront donnés sous forme décimale à 0,001 près.
1. On prend un individu au hasard et on désigne respectivement par A et B les évènements suivants:
"l'individu est atteint de la maladie Ma"
"l'individu est atteint de la maladie Mb".
a) Donner les valeurs de P(A),
PAB
et
P
A
B
, (
PAB
désignant la probabilité de B sachant A).
b) Calculer P(B ∩ A) et P(B ∩
A
). En déduire P(B).
c) Calculer
PBA
.
2. On prend dix individus au hasard dans cette population et on désigne par X la variable aléatoire donnant le
nombre de ceux ayant la maladie Ma et la maladie Mb.
a) Quelle est la loi de probabilité de X ? (Donner, en fonction de k, la probabilité P(X=k), où 0 ≤ k ≤ 10.)
b) Déterminer la probabilité de l'évènement:deux individus au plus sont atteints de la maladie Ma et de la maladie
Mb.
EXERCICE 15 : On teste un médicament parmi un ensemble d'individus ayant un taux de glycémie
anormalement élevé. Pour cela 70% des individus prennent le médicament, les autres recevant un placebo, et l'on
étudie à l'aide d'un test la baisse du taux de glycémie. Chez les individus ayant pris le médicament on constate
une baisse de ce taux avec une probabilité de 0,85; on ne constate aucune baisse de taux pour 90% des personnes
ayant pris le placebo.On appelle:
M l'évènement "avoir pris le médicament",
M
l'évènement contraire,
B l'évènement "avoir une baisse du taux de glycémie",
B
l'évènement contraire.
1. Montrer que la probabilité P(B) de B est 0,625.
2. On soumet au test un individu pris au hasard.
Quelle est la probabilité qu'il ait pris le médicament si l'on ne constate pas de baisse de son taux de glycémie?
3. On contrôle cinq individus au hasard. Quelle est la probabilité d'avoir au moins un individu dont le taux n'a pas
baissé? Le résultat sera donné sous forme décimale à
10 3
près.
EXERCICE 16 : N.B. : Les résultats devront être présentés sous forme de fractions.
Un sac contient dix jetons indiscernables au toucher:
- trois jetons verts numérotés 1, 2, 3.
- sept jetons jaunes numérotés 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
1. On extrait simultanément et au hasard quatre jetons du sac. On considère les évènements suivants:
A: "obtenir exactement un jeton vert",
B: "obtenir exactement un jeton portant un numéro impair".
Calculer la probabilité des évènements A, B, A ∪ B.
2. On tire successivement quatre jetons du sac avec remise de chaque jeton tiré.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins trois jetons verts?
EXERCICE 17 : Une boîte contient 6 boules vertes et n boules blanches. Un jeu consiste à tirer simultanément
deux boules de la boîte. Si les deux boules sont de la même couleur, le joueur gagne 1 Franc; si elles sont de
couleurs différentes, le joueur perd 1 Franc.
1. Dans cette question, on suppose n =3.
Calculer les probabilités d'obtenir: a) Deux boules de la même couleur. b) Deux boules de couleurs
différentes.
2. Dans cette question l'entier n est quelconque supérieur ou égal à 2, et on note X la variable aléatoire qui, à
chaque tirage de deux boules, associe le gain algébrique du joueur.
a) Exprimer en fonction de n les probabilités des évènements (X = 1) et (X = – 1).
b) Montrer que l'espérance mathématique de X, notée E(X) est égale à
n2 13n30
n6n5
.
c) Pour quelles valeurs de n a-t-on E(X) = 0 ?