3ème Chapitre 1 Nature des nombres – Divisibilité

3ème
Chapitre 1
Nature des nombres – Divisibilité
I_ Nature des nombres
A. Nombres entiers
Définition
–
Les nombres entiers naturels sont les nombres entiers positifs.
–
Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs.
Exemples
–
0; 1; 2; 3; 4; 5; ...... sont des nombres entiers positifs et donc des nombres entiers naturels.
–
– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3 sont des nombres entiers relatifs.
Remarques
–
Un nombre entier naturel est également un nombre entier relatif.
–
– 7 est un nombre entier relatif mais n'est pas un nombre entier naturel puisque ce n'est pas un nombre
positif.
B. Nombres décimaux
Définition
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient d'un entier relatif par une
n
puissance de 10, c'est-à-dire qui peut s'écrire sous la forme
où n et p sont des nombres entiers relatifs.
10 p
Exemples
– 24
72
2372
– 24
72
593
2372
–
– 0,24 =
=
72 =
=
= 2,372 =
=
2 ;
0 ;
100
1
1000
250
10
10
10 3
593
Les nombres – 0,24 ; 72 et
sont donc des nombres décimaux.
250
2
2
–
= 0,666666......
La division ne se termine jamais.
n'est pas un nombre décimal.
3
3
Remarques
–
Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale (partie après la virgule dans l'écriture
décimale) est constituée uniquement de 0.
–
2,372 est un nombre décimal mais n'est pas un nombre entier.
C. Nombres rationnels
Définition
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme de quotient de deux nombres entiers relatifs.
Exemples
2 –5
1293
;
et
sont des nombres rationnels.
3
13
−117
Remarques
–
–
–
– 12
1
2,73
273
Un nombre décimal est un nombre rationnel.
2,73 =
=
1
100
Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels comme  2 et .
Ces nombres sont appelés des nombres irrationnels.
Un nombre entier relatif est un nombre rationnel.
– 12 =
2,73 est l'écriture décimale
Nombres entiers
3 ; 17 ...
2

Nombres décimaux
2,3 ; 31,503 ...
Nombres rationnels
5
2
;
...
3
13
II_ Divisibilité
A. Division euclidienne ou entière
Faire la division euclidienne de deux nombres entiers consiste à trouver le quotient et le reste entiers de la
division.
La division euclidienne s'écrit sous la forme:
dividende
diviseur
reste
quotient
dividende, diviseur, quotient et reste sont des nombres entiers et on a:
–
dividende = diviseur×quotient + reste
–
reste < diviseur
Exemple
7 9
- 6
1 9
- 1 8
1
6
1 3
–
–
79 = 6×13 + 1
1<6
B. Définition de la divisibilité
Dans le cas où le reste de la division euclidienne d'un nombre entier A par un nombre entier B est nul, on dit
alors que:
–
A est divisible par B.
–
A est un multiple de B.
–
B est un diviseur de A.
Exemple
2 1
0
7
3
–
21 = 7×3 + 0
–
–
–
21 est divisible par 7.
21 est un multiple de 7.
7 est un diviseur de 21.
7 divise 21.
C. Critères de divisibilité
–
–
–
–
–
–
Un nombre entier est divisible par 2 s'il est pair, c'est à dire si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
Un nombre entier est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Exemples
chiffre
des
unités
somme des chiffres
deux derniers
chiffres
2
5
10
4
3
9
420
0
4 + 2 + 0 = 6 = 2×3
20 = 5×4
oui
oui
oui
oui
oui
non
234
4
2 + 3 + 4 = 9 = 3×3 = 1×9
34
oui
non
non
non
oui
oui
3275
5
3 + 2 + 7 + 5 = 17
75
non
oui
non
non
non
non
divisibilité par:
D. Définition d'un nombre premier
Un nombre premier est un nombre entier qui n'admet comme diviseur que 1 et lui-même.
Exemples
–
4 admet comme diviseurs 1, 4 et 2 donc 4 n'est pas un nombre premier.
–
6 admet comme diviseurs 1, 6, 2 et 3 donc 6 n'est pas un nombre premier.
–
1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 ... sont des nombres premiers.
III_ Diviseurs communs à deux nombres entiers
Exemple
Déterminons les diviseurs communs de 48 et 72.
Commençons par chercher les diviseurs de 48.
48 = 1 × 48
48 = 2 × 24
48 = 3 × 16
48 = 4 × 12
48 = 5 × 9 + 3
48 = 6 × 8
48 = 7 × 6 + 6
On obtient une étape déjà écrite précédemment donc le processus s'arrête.
48 = 8 × 6
Les diviseurs de 48 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, et 48.
Cherchons à présent les diviseurs de 72.
72 = 1 × 72
72 = 2 × 36
72 = 3 × 24
72 = 4 × 18
72 = 5 × 14 + 2
72 = 6 × 12
72 = 7 × 10 + 2
72 = 8 × 9
On obtient une étape déjà écrite précédemment donc le processus s'arrête.
72 = 9 × 8
Les diviseurs de 72 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 et 72.
Les diviseurs communs de 48 et 72 sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
Le plus grand diviseur commun de 48 et 72 est donc 24. On note PGCD(48 ; 72) = 24
IV_ Fractions irréductibles
A. Définition de deux nombres premiers entre eux
Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres dont le PGCD vaut 1.
Exemples
•
PGCD(48 ; 72) = 24 ≠ 1 donc 48 et 72 ne sont pas deux nombres premiers entre eux.
•
5 et 7 sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de 5 sont : 1 et 5
(5 est un nombre premier)
Les diviseurs de 7 sont : 1 et 7
(7 est un nombre premier)
PGCD(5 ; 7) = 1. Donc 5 et 7 sont premiers entre eux.
•
6 et 10 sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de 6 sont : 1 ; 2 ; 3 et 6
(6 n'est pas un nombre premier)
Les diviseurs de 10 sont : 1 ; 2 ; 5 et 10
(10 n'est pas un nombre premier)
PGCD(6 ; 10) = 2 ≠ 1. Donc 6 et 10 ne sont pas premiers entre eux.
•
21 et 10 sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 et 21
(21 n'est pas un nombre premier)
Les diviseurs de 10 sont : 1 ; 2 ; 5 et 10
(10 n'est pas un nombre premier)
PGCD(21 ; 10) = 1. Donc 21 et 10 sont premiers entre eux.
•
5 et 10 sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de 5 sont : 1 et 5
(5 est un nombre premier)
Les diviseurs de 10 sont : 1 ; 2 ; 5 et 10
(10 n'est pas un nombre premier)
PGCD(5 ; 10) = 5 ≠ 1. Donc 5 et 10 ne sont pas premiers entre eux.
•
21 et 5 sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 et 21
(21 n'est pas un nombre premier)
Les diviseurs de 5 sont : 1 et 5
(5 est un nombre premier)
PGCD(21 ; 5) = 1. Donc 21 et 5 sont premiers entre eux.
B. Définition d'une fraction irréductible
Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux; c'est
une fraction que l'on ne peut plus simplifier.
C. Obtention d'une fraction irréductible
Propriété:
A partir d'une fraction, on obtient une fraction irréductible en simplifiant la fraction de départ par le PGCD de
son numérateur et de son dénominateur.
D. Exercice type
Exercice type
48
est irréductible.
72
48
2. Transformons la fraction
en fraction irréductible.
72
1. Déterminons si la fraction
Rédaction type
1. Les nombres 48 et 72 sont tous les deux divisibles par 2 donc la fraction
48
est simplifiable par 2 et
72
n'est donc pas une fraction irréductible.
48
par PGCD(48 ; 72) soit 24 pour obtenir une fraction irréductible.
72
48
2×24
2
=
=
72
3×24
3
2. Simplifions
V_ Algorithmes de calcul du PGCD de deux nombres entiers
A. Algorithme des différences
Introduction :
6 divise 48 et 6 divise 72. On remarque que 6 divise également 24, la différence de 72 et 48.
On en déduit la propriété:
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a – b) où a et b sont des nombres entiers avec a > b.
Exemples
1.
Déterminons le PGCD de 48 et 72 par l'algorithme des différences.
-
7
2
4
8
2
4
-
4
8
2
4
2
4
-
2
4
2
4
0
Le PGCD de 48 et 72 est la dernière différence non nulle de l'algorithme.
Donc PGCD(72 ; 48) = 24
2.
Déterminons le PGCD de 296 et 185 par l'algorithme des différences.
-
2
9
6
1
8
5
1
1
1
-
1
8
5
1
1
1
7
4
1
-
1
1
7
4
3
7
-
7
4
3
7
3
7
-
3
7
3
7
0
Le PGCD de 296 et 185 est la dernière différence non nulle de l'algorithme.
Donc PGCD(296 ; 185) = 37
B. Algorithme d'Euclide ou algorithme des divisions
Introduction :
6 divise 48 et 6 divise 72. On remarque que 6 divise également 24, le reste de la division euclidienne de 72 par
48.
Cet algorithme utilise la propriété:
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) où a, b et r sont des nombres entiers avec a > b et r est le reste de la division
euclidienne de a par b.
Exemples
1.
Déterminons le PGCD de 48 et 72 par l'algorithme d'Euclide.
7 2
4 8
4 8
2 4
- 4 8
2
- 4 8
1
0
2 4
Le PGCD de 48 et 72 est le dernier reste non nul de l'algorithme.
Donc PGCD(48 ; 72) = 24.
2.
Déterminons le PGCD de 296 et 185 par l'algorithme d'Euclide.
2 9 6
- 1 8 5
1 1 1
1 8 5
1
1 8 5
- 1 1 1
7 4
1 1 1
1
1 1 1
7 4
3 7
Le PGCD de 296 et 185 est le dernier reste non nul de l'algorithme.
Donc PGCD(296 ; 185) = 37.
7 4
1
7 4
- 7 4
0
3 7
2