3N7 – A 1. MULTIPLES ET DIVISEURS D`UN NOMBRE ENTIER 1.1

3N7 – ARITHMETIQUE
P. Foray
1.
FICHE DE COURS 1 / 4
MULTIPLES ET DIVISEURS D’UN NOMBRE ENTIER
1.1. Définitions
Activité
Ecris la liste des 10 premiers multiples de 7 :
Ecris la liste des diviseurs du nombre 18 :
DEFINITION
a, b et c étant des nombres entiers,
si a = b × c alors on dit que :
a est un multiple de b et c
b et c son t des diviseurs de a
Applications :
Complète avec le mot qui convient :
35 est un ……………………. de 5
9 est un ……………………… de 45
Ecris la liste des diviseurs :
de 24 :
de 54 :
de 150 :
Méthode :
24 = 1 × 24
24 = 2 × 12
24 = 3 × 8
24 = 4 × 6 donc les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3 , 4, 6, 8, 12, 24
1.2. Critères ce divisibilité (rappel)
THEOREME
Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9
1.3. Propriétés
Activité
Explique pourquoi 1421 et 1393 sont des multiples de 7
PROPRIETE
La somme et la différence de deux multiples d’un même nombre est aussi un multiple de ce nombre
2. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE DEUX NOMBRES ENTIERS
2.1. Définitions
Activité
Détermine les diviseurs communs de 18 et 24. Quel est alors le PGCD de 18 et 24 ?
Détermine les diviseurs communs de 36 et 90. Quel est alors le PGCD de 36 et 90 ?
DEFINITION
On note par le sigle PGCD, le plus grand commun diviseur de 2 nombres entiers
Détermine les diviseurs communs de 52 et 63. Quel est alors le PGCD de 52 et 63 ?
DEFINITION
On dit 2 nombres sont PREMIERS ENTRE EUX, lorsque leur PGCD est égal à 1
Ils n’ont donc pas d’autre diviseur commun que le nombre 1
Application
Les nombres 75 et 111 sont ils premiers entre eux ? Les nombres 95 et 102 sont ils premiers entre eux ?
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P. Foray
FICHE DE COURS 2 / 4
2.2. Méthodes de détermination du PGCG
•
Méthode des soustractions successives
1.
Soustraire le plus petit des deux nombres au plus grand :
−
2.
0
8
2
4
1
3
8
2
6
…
…
…
…
…
…
On prend les deux plus petits et on recommence :
−
3.
On continue jusqu’à obtenir un résultat nul :
−
4.
6
4
1
3
6
1
2
…
…
−
−
…
…
…
…
0
Le PGCD est le dernier résultat non nul.
Donc PGCD(60 ; 48) = …
Applications
1. En utilisant la même méthode des soustractions successives, déterminer le PGCD de 295 et 177 :
−
2
9
5
1
7
7
…
…
…
−
…
…
…
…
…
…
…
…
…
−
…
…
…
…
…
…
Donc PGCD(295 ; 177) = …
2.
•
Poser les soustractions permettant de déterminer le PGCD de 494 et 143 :
Méthode des divisions successives ou Algorithme d’Euclide
On a déjà vu que pour déterminer le PGCD de 494 et 143, on avait le choix entre déterminer TOUS les diviseurs de ces
deux nombres (en étant sûrs de ne pas en oublier !) et utiliser la méthode des soustractions successives (avec 9
soustractions).
Nous allons découvrir une nouvelle méthode de recherche du PGCD, qui va nous permettre de déterminer PGCD(494 ;
143) en seulement 3 calculs !!
ENONCE DE LA METHODE
On fait la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit
On recommence avec le diviseur et le reste de la division précédente
On s’arrête lorsque le reste est nul
Le PGCD est le dernier reste non nul
Poser les divisions nécessaires pour déterminer PGCD(494 ; 143) :
4 9 4
1 4 3
1 4 3
…
Le dernier reste non nul est …. donc PGDC(494 ; 143)= …..
Applications
Recherche , par cette méthode, le PGCD de 70 et de 161, puis le PGCD de 544 et de 731
…
…
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P. Foray
FICHE DE COURS 3 / 4
3. FRACTION IRREDUCTIBLE
3.1. Définitions
Activité
Parmi les fractions suivantes quelles sont celles qui sont irréductibles ?
6 ; 2 ; 8 ; 13 ; 15 ; 150 ; 9
10 7 12 11 20 180 14
DEFINITIONS
Une fraction est dite irréductible lorsqu’on ne peut plus la simplifier
Exemple
La fraction 14 est elle irréductible ?
25
3.2. Propriétés
PROPRIETE 1
Lorsque le numérateur et le dénominateurs d’une fraction sont premiers entre eux alors elle est irréductible
Application
La fraction 39 est elle irréductible ? La fraction 323 est elle irréductible ?
527
91
PROPRIETE 2
Lorsqu’on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD, on obtient la fraction irréductible
4. LES ENSEMBLES DE NOMBRES
4.1. LES NOMBRES ENTIERS NATURELS
Ce sont les nombres qui admettent une écriture décimale sans virgule et on note cet ensemble :
ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ……}
Cet ensemble est infini.
24
sont des nombres entiers car
3
4.2. LES NOMBRES ENTIERS RELATIFS
25 ;
Remarque :
25 = 5 et
24
=8
3
Ce sont les nombres entiers naturels et leurs opposés.
et on note cet ensemble ℤ = {……-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ……}
Cet ensemble est infini
4.3. LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS
Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres derrière la virgule.
et on note cet ensemble ID . Cet ensemble est infini
Exemples
6,7 ; - 7,125 ;
354 − 3
;
sont des nombres décimaux
1 000 2
PROPRIETE
Un nombre décimal peut s’écrire sous forme de fraction décimale, c’est à dire de fraction dont le dénominateur
est une puissance du nombre 10 comme 10 ; 100 ; 1000 ; etc.
Ex. : : 6,7 = 67
10
−5
25
= - 0,25 = 20
100
PROPRIETE
Entre deux nombres décimaux différents, on peut intercaler une infinité de nombres décimaux
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P. Foray
FICHE DE COURS 4 / 4
4.4. LES NOMBRES RATIONNELS
Ce sont les nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient de deux entiers relatifs.
(c’est à dire sous forme de fraction)
et on note cet ensemble ℚ . Cet ensemble est infini
Exemples
1
5 127
;;
sont des nombres rationnels
3
7 51
Remarque
Si la division tombe juste, le nombre rationnel est décimal.
Ex. : 12 = 1,5 donc 12 ∈ ℚ et 12 ∈ ID
8
8
8
Si la division ne tombe pas juste, le nombre rationnel n’est pas décimal.
Ex. : - 2 ≈ -0,66666…. donc - 2 ∈ ℚ mais - 2 ∉ ID
3
3
3
Propriétés
Un nombre rationnel admet une écriture décimale finie s’il est décimal ou une écriture infinie mais PERIODIQUE
(une partie se répète indéfiniment) s’il n’est pas décimal.
Ex. : 4 ≈ 0 ,571 428 571 428 571 428 571 428 …………………………………..
7
Une période de 6 chiffres
4.5. LES NOMBRES IRRATIONNELS
Un nombres qui n’est pas rationnels est appelé IRRATIONNEL. C’est un nombre qui ne peut pas s’écrire sous la forme
d’une fraction. Son écriture décimale est infinie mais NON PERIODIQUE (aucune suite de chiffres ne se répète).
Exemples
2 ≈ 1,414 213 56 …………………… ; π ≈ 3,141 592 65………………..sont des nombres irrationnels
RECAPITULATIF - REPRESENTATION DES ENSEMBLES DE NOMBRES
Place les nombres suivants dans schéma ci-dessous :
0 ; -3 ; 16 ; -6 ; - 28 ; 3 ; 22 ; 3,14 ; - 10 ;
4 10 7
3
5;π;-
3 ; 33 ; -
2,56 ;
25 .
9
RATIONNELS
IRRATIONNELS
Entiers
Naturels
Décimaux
Relatifs
Entiers
Relatifs