3ème PGCD de deux nombres 2011/2012 I. Division - g

3ème
PGCD de deux nombres
2011/2012
----> Activité rappels
Objectifs :
- Savoir trouver tous les diviseurs et les multiples d'un nombre.
- Savoir calculer le PGCD de deux nombres et interpréter le résultat.
- Savoir dire si un nombre est premier ou non.
- Savoir simplifier une fraction grâce au PGCD.
- Savoir si deux nombres sont premiers entre eux.
I. Division Euclidienne (Rappel)
La division de 56 par 17 est :
EXERCICES : (Division euclidienne)
II. Diviseurs et multiples
Définition :
Soient a et b deux nombres entiers non nuls.
On dit que b est un diviseur de a lorsqu'il existe un nombre entier n tel que a = n x b.
On dit aussi que a est un multiple de b ou que a est divisible par b.
Exemples :
On a 55 = 11 x 5 donc :
5 est un diviseur de 55, 55 est un multiple de 11, 55 est divisible par 5.
Remarques :
• Si b est un diviseur de a, alors le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
• 1 est un diviseur de n'importe quel nombre.
EXERCICES : (Diviseurs et multiples)
III. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
Définition :
Un diviseur commun à 2 ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux.
Exemple :
3 est un diviseur commun à 12 (car 12 = 3 x 4) à 27 (car 27 = 3 x 9) par exemple.
Définition :
Le Plus Grand Commun Diviseur à 2 ou plusieurs nombres entiers est appelé PGCD de ces nombres.
Remarques :
• Trouver le PGCD de 60 et 75 en écrivant la liste de leurs diviseurs :
60 = 1 x 60
60 = 2 x 30
60 = 3 x 20
60 = 4 x 15
60 = 5 x 12
60 = 6 x 10
75 = 1 x 75
75 = 3 x 25
75 = 5 x 15
Donc les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60
Donc les diviseurs de 75 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75
Les diviseurs communs à 60 et 75 sont 1 ; 3 ; 5 ; 15. Le plus grand d'entre eux est 15. Donc le PGCD de 60
et 75 est 15, on le note
PGCD ( 60 ; 75 ) = 15
EXERCICES : (Recherche de PGCD)
-----> Activité Partie 2 - Algorithmes
EXERCICES : (Algorithmes)
IV. Nombres premiers entre eux
Définition :
On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Leur seul
diviseur commun est donc 1.
Remarques :
• Les nombres 14 et 27 sont-ils premiers entre eux ?
14 = 1 x 14
14 = 2 x 7
Donc les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 14 ; 27
27 = 1 x 27
27 = 3 x 9
Donc les diviseurs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27
14 et 27 ont un seul diviseur commun 1. Donc PGCD ( 14 ; 27 ) = 1 donc 14 et 27 sont premiers entre eux.
EXERCICES : (Nombres premiers entre eux)
V. Fractions irréductibles
Définition :
Une fraction est dite irréductible lorsqu'elle ne peut pas être simplifiée.
Propriété : (admise)
Soient a et b deux nombres entiers avec b non nul.
Si a et b sont premiers entre eux, alors la fraction
est irréductible.
Exemple :
14
•
•
27
35
est une fraction irréductible car 14 et 27 sont premiers entre eux.
n'est pas une fraction irréductible car on peut encore diviser par 5 le numérateur et le
45
dénominateur.
Propriété : (admise)
Soient a et b deux nombres entiers avec b non nul.
Si on simplifie
par le PGCD de a et b, alors la fraction obtenue sera irréductible.
Exemple :
Rendre la fraction
60
irréductible.
75
D'après les calculs précédents, le PGCD de 60 et 75 est 15. Donc
60
15x4
4
=
=
75
15x5
5
Donc la fraction irréductible de
60
75
est
EXERCICES : (Fractions irréductibles)
EXERCICES : (Problèmes liés au PGCD)
4
5
.