Plan`etes extra-solaires - Le Repaire des Sciences

Plan`etes extra-solaires
Introduction
Depuis la d´ecouverte, en 1995, de la premi`ere plan`ete extra-solaire autour d’une ´etoile
tr`es analogue `a notre Soleil, P´egase 51, les d´etections se sont multipli´ees pour atteindre
maintenant plus dune centaine d’objets, de propri´et´es tr`es diverses.
Apr`es une premi`ere partie consacr´ee aux caract´eristiques de l’interaction gravitationnelle
`a deux corps, nous examinerons diverses m´ethodes de d´etection des plan`etes extra-solaires
et leurs limitations. La derni`ere partie du probl`eme sera consacr´ee `a l’examen des pro-
pri´et´es des plan`etes extra-solaires d´etect´ees.
Une grande attention sera port´ee aux applications num´eriques, pour lesquelles nous re-
commandons d’utiliser les unit´es famili`eres aux astronomes, telles que le parsec, ou l’unit´e
astronomique, bien adapt´ees aux ordres de grandeur du probl`eme, dont les d´efinitions et
les valeurs en unit´es du syst`eme international sont donn´ees ci-apr`es (les r´esultats exprim´es
en unit´es SI ne seront ´evidemment pas p´enalis´es pour autant).
1 Interaction gravitationnelle `a deux corps
On consid`ere un syst`eme isol´e constitu´e de deux points mat´eriels M1et M2de masses
m1et m2, de centre de masse G, rep´er´es par les vecteurs −−−→ OM1et −−−→ OM2; O ´etant une
origine fixe de l’espace.
Dans la suite, on note ~r1=−−−→ GM1et ~r2=−−−→ GM2. Les deux points sont en interaction ; on
d´esigne par Ep(r) l’´energie potentielle d’interaction correspondante, en notant r=k~rk=
k~r2−~r1k.
1.1 Mouvement dans un potentiel central
La force subie par M1peut s’´ecrire
~
F1=E0
p(r)~r
r
et celle subie par M2peut s’´ecrire
~
F2=−E0
p(r)~r
r
On en d´eduit donc les ´equations diff´erentielles donnant acc`es au mouvement des deux
masses,
m1~a1=E0
p(r)~r
r
m2~a2=−E0
p(r)~r
r

S. Bourdreux - Agr´egation de Physique 2
Il est possible de d´ecoupler ces ´equations en les ajoutant,
m1~a1+m2~a2= (m1+m2)~ao=~ 0
et en les multipliant par la masse oppos´ee et en les retranchant
m1m2
m1+m2
¨
~r =−E0
p(r)~r
r
La premi`ere ´equation traduit la conservation de la quantit´e de mouvement du syst`eme
isol´e ; la seconde traduit le mouvement d’un point mat´eriel de masse µ=m1m2
m1+m2rep´er´e
par ~r et d’´energie potentielle Ep.
Si l’on connaˆıt les conditions initiales du mouvement, il est possible de connaˆıtre −→ OG(t)
et ~r(t), donc d’en d´eduire les positions de M1et de M2`a tout instant,
−−−→
GM1=−m2
m1+m2
~r
−−−→
GM2=m1
m1+m2
~r
1.2 Premi`ere et deuxi`eme lois de Kepler
Soit la grandeur ~ C=~ R×˙ ~r o`u ˙ ~r =d~r
dt et o`u ”×” d´esigne le produit vectoriel. Nous
avons
d~ C
dt =d~r dt ×˙
~r +~r ×d˙
~r
dt =~
0
donc le vecteur ~ Cest constant : k~ Ck=C=Cte repr´esente la constante des aires.
Cette relation exprime la conservation du moment cin´etique par rapport `a G dans le
r´ef´erentiel barycentrique. Cette conversion implique que le mouvement est plan et que la
vitesse ar´eolaire est constante : ce sont les lois de Kepler.
En particulier, La vitesse ar´eolaire se d´efinit comme la vitesse de balayage de surface par
le rayon vecteur : on montre par un produit vectoriel simple que dS =1
2r2dθ =1 2r2dθ dt dt =
1
2C2dt d’o`u
dS
dt =1 2C2=Cte
1.3 Cas particulier du potentiel gravitationnel
Pour un mouvement `a acc´el´eration centrale, on peut ´etablir une formule dite formule
de Binet donnant l’acc´el´eration en coordonn´ees polaires (r,θ)
~a =−C2
r2d2 dθ21 r+1 r~ur
Cette formule s’´ecrit ici dans le cadre des ´etats li´es d’un potentiel de gravitation
−µC2
r2d2 dθ21 r+1 r=−Gm1m2 r2

S. Bourdreux - Agr´egation de Physique 3
On en tire ainsi 1
r=G C2(m1+m2) + Acos (θ−θo)
Ceci correspond `a l’´equation d’une ellipse avec pour param`etre
p=C2
G(m1+m2)
L’aire Sde l’ellipse est li´ee `a la p´eriode Pdu mouvement par la relation
πa b
P=dS dt =C 2
Il vient alors une relation liant la p´eriode Pdu mouvement au demi-grand axe ade l’ellipse
a3
P2=G(m1+m2) 4π2
Cette relation porte le nom de troisi`eme loi de Kepler.
1.4 Cas des orbites circulaires
Dans le cas simplifi´e o`u ~r(t) est un cercle, nous pouvons poser la relation simple
a=r=Cte =P2G(m1+m2)
4π21/3
d’o`u l’on tire les caract´eristiques (position et vitesse) des trajectoires des deux points M1
et M2dans le r´ef´erentiel barycentrique,
m1r1=m2
m1+m2hP2G(m1+m2) 4π2i1/3
r2=m1
m1+m2hP2G(m1+m2) 4π2i1/3
et 
m1v1=m2
m1+m2h2π G(m1+m2) Pi1/3
v2=m1
m1+m2h2π G(m1+m2) Pi1/3
1.5 Applications num´eriques
Pour les deux couples (Soleil, Terre) et (Soleil, Jupiter), dans l’hypoth`ese de trajec-
toires circulaires, on obtient
Couple(1pourS)r1(m)r2(m)v1(m/s)v2(m/s)
S−T4,45.1051,48.1011 8,85.10−22,94.104
S−J7,33.1087,72.1011 12,3 1,3.104

S. Bourdreux - Agr´egation de Physique 4
2 D´etection des plan`etes extra-solaires par observa-
tion directe
2.1 D´efinition et valeur du parsec
On appelle parsec (symbole : pc) la distance d`a laquelle le rayon moyen de l’orbite
terrestre autour du Soleil a(appel´ee unit´e astronomique, de symbole ua) est vu sous un
angle θde 1 seconde d’arc. En consid´erant que ad,
tan θ=a
d≈θ
On obtient alors
d≈a
θ≈3,1.1016 m≈2,1.105ua
2.2 S´eparation angulaire entre l’´etoile et sa plan`ete
On consid`ere une plan`ete situ´ee `a la distance ade son ´etoile. Pour un observateur
situ´e `a la distance Dadu syst`eme, la s´eparation angulaire entre les deux objets est
d≈a
D
Ainsi, pour une distance D= 10 pc,
– pour le syst`eme Terre-Soleil, o`u a= 1 ua, on a θ≈0,1”
– pour le syst`eme Jupiter-Soleil, o`u a= 5 ua, on a θ≈0,5”
2.3 Puissance rayonn´ee par l’´etoile
L’´etoile, assimil´ee `a une sph`ere de rayon R∗de surface S∗, rayonne comme un corps
noir de temp´erature T∗. La puissance L∗qu’elle ´emet est donn´ee par la loi de Stefan,
L∗=σ T ∗4×S=
o`u σ= 5,7.10−8W.m−2.K−4repr´esente la constante de Stefan. Ainsi, plus pr´ecis´ement,
L∗= 4πR∗2σ T ∗4
2.4 Puissance intercept´ee par la plan`ete
La plan`ete est assimil´ee `a une sph`ere de rayon R, situ´ee `a la distance ade l’´etoile. On
suppose qu’elle intercepte la puissance ´emise par l’´etoile comme un disque de rayon R,
perpendiculaire `a l’axe ´etoile-plan`ete et uniform´ement ´eclair´e.
A la distance ade l’´etoile, la puissance par unit´e de surface est L∗
4πa2. La puissance L
intercept´ee s’´ecrit donc
L=πR2
4πa2L∗=R 2a2
L∗

S. Bourdreux - Agr´egation de Physique 5
Pour une plan`ete de type tellurique, o`u R= 0,01 R∗et a= 1 ua,L
L∗= 5,3.10−10.
Pour une plan`ete de type jovien, o`u R= 0,1R∗et a= 5 ua,L
L∗= 2,2.10−9.
2.5 Temp´erature d’´equilibre de la plan`ete
La plan`ete r´efl´echit une fraction A(appel´ee alb´edo de la puissance incidente. On sup-
pose qu’elle se comporte comme un corps noir de temp´erature T. La puissance absorb´ee
par la plan`ete est (1 −A)L: elle est ´egale `a la puissance rayonn´ee, soit 4πR2σT 4, soit
(1 −A)R
2a2
4πR∗2σT ∗4= 4πR2σT 4
La temp´erature d’´equilibre s’´ecrit donc
T=4
√1−ArR∗
2aT∗
Pour la Terre, il vient T= 265 Ket pour Jupiter, T= 119 K: bien qu’il soit rudimentaire,
ce mod`ele fournit des r´esultats tout `a fait plausibles.
2.6 Maximum d’´emission de la plan`ete
On peut consid´erer que le maximum d’´emission de l’´etoile se situe aux environs de
la longueur d’onde λ∗= 0,5µm. D’apr`es la loi de d´eplacement de wien, la longueur
d’onde d’´emission d’un corps noir (i.e. de la plan`ete) est inversement proportionnelle `a sa
temp´erature, soit
λT =λ∗T∗
On en d´eduit λ(T erre) = 11 µm et λ(Jupiter) = 25 µm, toutes les deux dans l’infrarouge
moyen.
2.7 Limitations observationnelles
La r´esolution spatiale (ou pouvoir s´eparateur) d’un instrument optique est la plus
petite s´eparation angulaire entre deux points qu’il permet de distinguer.
La figure de diffraction `a l’infini d’une pupille circulaire est d´ecrite par la fonction d’Airy.
Son premier minimum nul d´efinit le rayon de la tache centrale de diffraction ; il est
inversement proportionnel au rayon de la pupille : pour une pupille de diam`etre b, le
diam`etre de la tache d’Airy obtenue `a la longueur d’onde λest alors
β= 1,22 λ
b
Un t´elescope pointant sur une source ponctuelle fournit un signal (une image) dont
la r´epartition spatiale est sa figure de diffraction (pour une source ´etendue, l’image est