Plan`etes extra-solaires - Le Repaire des Sciences

Planètes extra-solaires
Introduction
Depuis la découverte, en 1995, de la première planète extra-solaire autour d’une étoile
très analogue à notre Soleil, Pégase 51, les détections se sont multipliées pour atteindre
maintenant plus dune centaine d’objets, de propriétés très diverses.
Après une première partie consacrée aux caractéristiques de l’interaction gravitationnelle
à deux corps, nous examinerons diverses méthodes de détection des planètes extra-solaires
et leurs limitations. La dernière partie du problème sera consacrée à l’examen des propriétés des planètes extra-solaires détectées.
Une grande attention sera portée aux applications numériques, pour lesquelles nous recommandons d’utiliser les unités familières aux astronomes, telles que le parsec, ou l’unité
astronomique, bien adaptées aux ordres de grandeur du problème, dont les définitions et
les valeurs en unités du système international sont données ci-après (les résultats exprimés
en unités SI ne seront évidemment pas pénalisés pour autant).
1
Interaction gravitationnelle à deux corps
On considère un système isolé constitué de deux points matériels M1 et M2 de masses
−−−→
−−−→
m1 et m2 , de centre de masse G, repérés par les vecteurs OM1 et OM2 ; O étant une
origine fixe de l’espace.
−−−→
−−−→
Dans la suite, on note r~1 = GM1 et r~2 = GM2 . Les deux points sont en interaction ; on
désigne par Ep (r) l’énergie potentielle d’interaction correspondante, en notant r = k~rk =
k~
r2 − r~1 k.
1.1
Mouvement dans un potentiel central
La force subie par M1 peut s’écrire
~r
F~1 = Ep0 (r)
r
et celle subie par M2 peut s’écrire
~r
F~2 = −Ep0 (r)
r
On en déduit donc les équations différentielles donnant accès au mouvement des deux
masses,
m1 a~1 = Ep0 (r) ~rr
m2 a~2 = −Ep0 (r) ~rr
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2
Il est possible de découpler ces équations en les ajoutant,
m1 a~1 + m2 a~2 = (m1 + m2 ) a~o = ~0
et en les multipliant par la masse opposée et en les retranchant
m1 m2 ¨
~r
~r = −Ep0 (r)
m1 + m2
r
La première équation traduit la conservation de la quantité de mouvement du système
m2
repéré
isolé ; la seconde traduit le mouvement d’un point matériel de masse µ = mm11+m
2
par ~r et d’énergie potentielle Ep .
−→
Si l’on connaı̂t les conditions initiales du mouvement, il est possible de connaı̂tre OG(t)
et ~r(t), donc d’en déduire les positions de M1 et de M2 à tout instant,
−−−→
m2
GM1 = −
~r
m1 + m2
−−−→
m1
GM2 =
~r
m1 + m2
1.2
Première et deuxième lois de Kepler
~ =R
~ × ~r˙ où ~r˙ = d~r et où ”×” désigne le produit vectoriel. Nous
Soit la grandeur C
dt
avons
~
d~r
d~r˙ ~
dC
=
× ~r˙ + ~r ×
=0
dt
dt
dt
~ est constant : kCk
~ = C = Cte représente la constante des aires.
donc le vecteur C
Cette relation exprime la conservation du moment cinétique par rapport à G dans le
référentiel barycentrique. Cette conversion implique que le mouvement est plan et que la
vitesse aréolaire est constante : ce sont les lois de Kepler.
En particulier, La vitesse aréolaire se définit comme la vitesse de balayage de surface par
le rayon vecteur : on montre par un produit vectoriel simple que dS = 21 r2 dθ = 12 r2 dθ
dt =
dt
1 2
C dt d’où
2
dS
1
= C 2 = Cte
dt
2
1.3
Cas particulier du potentiel gravitationnel
Pour un mouvement à accélération centrale, on peut établir une formule dite formule
de Binet donnant l’accélération en coordonnées polaires (r,θ)
C 2 d2 1
1
~a = − 2
+
u~r
r
dθ2 r
r
Cette formule s’écrit ici dans le cadre des états liés d’un potentiel de gravitation
C 2 d2 1
1
Gm1 m2
−µ 2
+
=
−
r dθ2 r
r
r2
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3
On en tire ainsi
1
G
= 2 (m1 + m2 ) + A cos (θ − θo )
r
C
Ceci correspond à l’équation d’une ellipse avec pour paramètre
p=
C2
G(m1 + m2 )
L’aire S de l’ellipse est liée à la période P du mouvement par la relation
dS
C
πa b
=
=
P
dt
2
Il vient alors une relation liant la période P du mouvement au demi-grand axe a de l’ellipse
a3
G(m1 + m2 )
=
P2
4π 2
Cette relation porte le nom de troisième loi de Kepler.
1.4
Cas des orbites circulaires
Dans le cas simplifié où ~r(t) est un cercle, nous pouvons poser la relation simple
1/3
2 G(m1 + m2 )
a = r = Cte = P
4π 2
d’où l’on tire les caractéristiques (position et vitesse) des trajectoires des deux points M1
et M2 dans le référentiel barycentrique,

i1/3
h

m2
2 G(m1 +m2 )


4π 2
 m1 r1 = m1 +m2 P



 r2 =
et




 m1 v1 =



 v2 =
1.5
m1
m1 +m2
h
1 +m2 )
P 2 G(m4π
2
m2
m1 +m2
m1
m1 +m2
h
h
i1/3
2π G(m1 +m2 )
P
2π G(m1 +m2 )
P
i1/3
i1/3
Applications numériques
Pour les deux couples (Soleil, Terre) et (Soleil, Jupiter), dans l’hypothèse de trajectoires circulaires, on obtient
Couple(1pourS) r1 (m)
r2 (m)
v1 (m/s) v2 (m/s)
5
11
S−T
4, 45.10 1, 48.10
8, 85.10−2 2, 94.104
S−J
7, 33.108 7, 72.1011
12, 3
1, 3.104
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2
2.1
4
Détection des planètes extra-solaires par observation directe
Définition et valeur du parsec
On appelle parsec (symbole : pc) la distance d à laquelle le rayon moyen de l’orbite
terrestre autour du Soleil a (appelée unité astronomique, de symbole ua) est vu sous un
angle θ de 1 seconde d’arc. En considérant que a d,
tan θ =
On obtient alors
d≈
2.2
a
≈θ
d
a
≈ 3, 1.1016 m ≈ 2, 1.105 ua
θ
Séparation angulaire entre l’étoile et sa planète
On considère une planète située à la distance a de son étoile. Pour un observateur
situé à la distance D a du système, la séparation angulaire entre les deux objets est
d≈
a
D
Ainsi, pour une distance D = 10 pc,
– pour le système Terre-Soleil, où a = 1 ua, on a θ ≈ 0, 1”
– pour le système Jupiter-Soleil, où a = 5 ua, on a θ ≈ 0, 5”
2.3
Puissance rayonnée par l’étoile
L’étoile, assimilée à une sphère de rayon R∗ de surface S ∗ , rayonne comme un corps
noir de température T ∗ . La puissance L∗ qu’elle émet est donnée par la loi de Stefan,
L∗ = σ T ∗ 4 × S =
où σ = 5, 7.10−8 W.m−2 .K −4 représente la constante de Stefan. Ainsi, plus précisément,
L∗ = 4πR∗ 2 σ T ∗ 4
2.4
Puissance interceptée par la planète
La planète est assimilée à une sphère de rayon R, située à la distance a de l’étoile. On
suppose qu’elle intercepte la puissance émise par l’étoile comme un disque de rayon R,
perpendiculaire à l’axe étoile-planète et uniformément éclairé.
L∗
A la distance a de l’étoile, la puissance par unité de surface est 4πa
2 . La puissance L
interceptée s’écrit donc
2
πR2 ∗
R
L=
L
=
L∗
2
4πa
2a
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5
Pour une planète de type tellurique, où R = 0, 01 R∗ et a = 1 ua, LL∗ = 5, 3.10−10 .
Pour une planète de type jovien, où R = 0, 1 R∗ et a = 5 ua, LL∗ = 2, 2.10−9 .
2.5
Température d’équilibre de la planète
La planète réfléchit une fraction A (appelée albédo de la puissance incidente. On suppose qu’elle se comporte comme un corps noir de température T . La puissance absorbée
par la planète est (1 − A)L : elle est égale à la puissance rayonnée, soit 4πR2 σT 4 , soit
2
R
(1 − A)
4πR∗ 2 σT ∗ 4 = 4πR2 σT 4
2a
La température d’équilibre s’écrit donc
T =
√
4
r
1−A
R∗ ∗
T
2a
Pour la Terre, il vient T = 265 K et pour Jupiter, T = 119 K : bien qu’il soit rudimentaire,
ce modèle fournit des résultats tout à fait plausibles.
2.6
Maximum d’émission de la planète
On peut considérer que le maximum d’émission de l’étoile se situe aux environs de
la longueur d’onde λ∗ = 0, 5 µm. D’après la loi de déplacement de wien, la longueur
d’onde d’émission d’un corps noir (i.e. de la planète) est inversement proportionnelle à sa
température, soit
λT = λ∗ T ∗
On en déduit λ(T erre) = 11 µm et λ(Jupiter) = 25 µm, toutes les deux dans l’infrarouge
moyen.
2.7
Limitations observationnelles
La résolution spatiale (ou pouvoir séparateur) d’un instrument optique est la plus
petite séparation angulaire entre deux points qu’il permet de distinguer.
La figure de diffraction à l’infini d’une pupille circulaire est décrite par la fonction d’Airy.
Son premier minimum nul définit le rayon de la tache centrale de diffraction ; il est
inversement proportionnel au rayon de la pupille : pour une pupille de diamètre b, le
diamètre de la tache d’Airy obtenue à la longueur d’onde λ est alors
β = 1, 22
λ
b
Un télescope pointant sur une source ponctuelle fournit un signal (une image) dont
la répartition spatiale est sa figure de diffraction (pour une source étendue, l’image est
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
6
Représentation de la fonction d’Airy pour une diffraction de fente
le produit de convolution de la distribution de brillance de la source avec la figure de
diffraction) ; en utilisant un critère de type Rayleigh, on peut considérer que les deux
sources ponctuelles seront résolues par le télescope si leur séparation angulaire est au moins
égale à β, que l’on appelle alors résolution du télescope. Prenons l’exemple d’un télescope
de 8 mètres de diamètre lorsqu’il opère dans le visible (0, 5 µm) et dans l’infrarouge
(20 µm)
β(8 m, visible) = 7, 6.10−8 rad = 0, 016”
β(8 m, IR) = 40 β(8 m, visible) = 0, 64”
En visible, du point de vue de la résolution spatiale, un télescope de 8 mètres permettrait de résoudre les deux types de systèmes étoile-planète, Soleil-Jupiter et Soleil-Terre,
situés à 10 pc de la Terre. A 20 µm, cela devient plus délicat pour un système de type
Soleil-Jupiter, et très délicat (mais pas impossible si la figure de diffraction (Point Source
Function) est bien connue) pour un système Soleil-Terre. De toutes façons, comme nous
allons le voir, la limitation principale n’est pas là.
∗
Les rapports de puissances rayonnées par l’étoile et la planète, LL , sont comme nous
l’avons vu de quelques 108 à 109 , donc considérablement plus élevés que la dynamique des
détecteurs actuels (104 ). C’est actuellement la limitation la plus sévère pour l’observation
directe des planètes extra-solaires. C’est dans l’infrarouge que la situation est la plus
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
7
favorable puisque le maximum d’émission de l’étoile se situe dans le visible (au moins
pour des étoiles de type Soleil), alors que celui de la planète se situe dans l’infrarouge.
3
Détection indirecte des planètes via le déplacement
de l’étoile
On suppose désormais que les planètes ont orbites circulaires autour de leur étoile.
3.1
Orbite de l’étoile
On note m∗ et m les masses de l’étoile et de sa planète (avec m m∗ ) et P la période
de leur mouvement relatif. En utilisant le résultat de la question 1.4 avec l’approximation
précédente, on obtient immédiatement une expression pour le rayon a de l’orbite de la
planète autour du centre de masse du système,
r
∗ 2
3 Gm P
a≈
4π 2
Toujours d’après la première partie, la trajectoire de l’étoile est homothétique de celle de
la planète avec un rapport − mm∗ ; le rayon a∗ de l’orbite de l’étoile - elle aussi circulaire autour du centre de gravité du système est donné par
a∗ = a
3.2
m
m∗
Caractéristiques de la planète déduites par cette méthode
La masse m∗ et la distance de l’étoile à l’observateur D étant connues par ailleurs,
le suivi au cours du temps de la position de l’étoile sur le ciel permet de déterminer
la masse m de la planète et son rayon orbital a. En effet, elle décrit un mouvement
périodique de période P ; c’est un cercle de rayon angulaire θ∗ si le plan orbital de l’étoile
est perpendiculaire à la direction Terre-étoile ; sinon, il s’agit d’une ellipse, projection
de cette orbite sur le plan du ciel, dont le demi-grand axe est le rayon angulaire θ∗ , si
bien que la méthode est applicable quelle que soit l’orientation de l’orbite par rapport à
l’observateur.
Connaissant la distance D de l’étoile à la Terre, on en déduit le rayon linéaire a∗ de son
orbite,
a∗ = θ ∗ D
On peut alors calculer le rayon a de l’orbite de la planète grâce à la troisième loi de Kepler
et en déduire ensuite la masse m de la planète par
m = m∗
a∗
a
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
3.3
8
Planètes privilégiées par cette méthode
L’observation du mouvement périodique de l’étoile est évidemment d’autant plus aisée
que son amplitude est grande. D’après la relation précédente, à masse m∗ donnée, cette
méthode de détection favorise les planètes massives et orbitant loin de leur étoile.
3.4
Limitations observationnelles
Pour détecter l’existence d’une planète de type Terre autour d’une étoile de type Soleil,
il faut évidemment effectuer des observations pendant une durée de l’ordre de quelques
périodes, donc de quelques années. Pour une planète de type Jupiter, les observations
doivent s’étendre sur plusieurs dizaines d’années puisque la période est de 12 ans. En
vertu de la troisième loi de Kepler,
a3
= Cte
P2
la détection des planètes très distantes de leur étoile est donc limitée par la durée des
observations (qui ne sont effectuées de façon systématique que depuis à peine 10 ans).
Le rayon angulaire du mouvement de l’étoile est donné par
θ∗ =
a m
D m∗
Pour un système de type Terre-Soleil à D = 10 pc, où m = 3.10−6 m∗ , θ∗ = 3.10−7 arsec.
Pour un système de type Jupiter-Soleil à D = 10 pc, où m = 10−3 m∗ , θ∗ = 5.10−4 arcsec.
Aucune de ces observations n’est accessible à partir d’un télescope de 8 m de diamètre.
Avec des résolutions spatiales de l’ordre de 50 µas, qui seront accessibles au VLTI (Very
Large Telescope en mode Interférométrique), il sera possible de détecter des systèmes type
Jupiter-Soleil jusqu’à des distances de 100 pc.
Les satellites interférométriques et astrométriques en projet (SIM, GAIA) devraient permettre d’atteindre des résolutions de l’ordre de la microseconde d’arc. Il sera alors possible
de détecter des ”Terres” à quelques parsecs de la nôtre.
4
Détection indirecte des planètes via la vitesse de
l’étoile
On suppose toujours que les planètes ont des orbites circulaires autour de leur étoile.
4.1
Vitesse orbitale de l’étoile
En utilisant le résultat de la question 1.4 avec l’approximation m m∗ , on obtient
immédiatement
r
∗
3 2πGm
V ≈
P
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
9
En utilisant la troisième loi de Kepler sous sa forme approchée,
a3
Gm∗
=
P2
4π 2
on en déduit l’expression de V en fonction de m et de a∗ , soit
r
Gm∗
V ≈
a
En raisonnant comme pour les orbites, la vitesse de l’étoile se déduit de celle de la planète
par
m
V∗ = ∗ V
m
−1
Pour un système Terre-Soleil, V = 30 km.s et V ∗ = 0, 09 m.s−1 .
Pour un système Soleil-Jupiter, V = 13 km.s−1 et V ∗ = 13 m.s−1 .
4.2
Vitesse longitudinale de l’étoile
On note i l’inclinaison de l’orbite de l’étoile par rapport à l’observateur, c’est-à-dire
l’angle entre la normale à l’orbite et la direction étoile-observateur.
4.2.1
Système vu par la tranche
Dans ce cas, i = 90o .
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
10
La vitesse longitudinale varie sinusoı̈dalement,
2π t
∗
U (t) = V cos
P
4.2.2
Système vu sous une inclinaison i
C’est la projection de la vitesse radiale sur un plan contenant la ligne de visée qu’il
faut maintenant considérer.
On a donc à considérer la projection V ∗ cos
la vitesse longitudinale est donc
∗
π
2
U (t) = V sin i cos
− i = V ∗ sin i. La loi de variation de
2π
t
P
On retrouve évidemment qu’une orbite vue de face, c’est-à-dire telle que i = 0, correspond
à la vitesse longitudinale identiquement nulle.
4.3
Effet Doppler longitudinal
une source émettant un signal de fréquence ν et de célérité c se déplace à la vitesse
longitudinale (algébrique) U , telle que |U | c, en direction de l’observateur. On note ν 0
la fréquence perçue par l’observateur.
Le signal émis par la source en mouvement de vitesse U algébrique a une période T = ν1 .
Ce signal, de célérité c, émis à une date t = 0, atteint l’observateur à la date t1 = Dc . Le
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11
signal émis à la date t = T atteint l’observateur à la date t2 = T + D−Uc ×T . La période du
signal perçu par l’observateur est donc
U
0
T = t2 − t1 = T 1 −
c
, correspondant à une fréquence ν 0 =
1
.
T0
En supposant que U c, on obtient
U
0
ν =ν 1+
c
et le décalage Doppler s’écrit, en valeur algébrique,
∆ν = ν 0 − ν = ν
4.4
U
c
Caractéristiques de la planète déduites par cette méthode
Le spectre d’une étoile de type solaire présente des raies de fréquences au repos bien
connues, si bien qu’il est possible d’en déterminer avec précision le décalage Doppler. La
masse de l’étoile étant connue par ailleurs, on peut déterminer le rayon orbital a et une
limite inférieure pour la masse m de la planète.
En effet, le décalage Doppler ∆ν suit la même loi d’évolution temporelle que la vitesse
longitudinale,
2π
V∗
sin i cos
t
∆ν(t) =
c
P
Son suivi au cours du temps fournit donc la période P, ainsi qu’une limite inférieure
V ∗ sin i de la vitesse orbitale de l’étoile, puisque l’inclinaison i est en général inconnue.
Connaissant la masse de l’étoile m∗ , la troisième loi de Kepler fournit le rayon a de
l’orbite de la planète et l’expression de V ∗ en fonction de m, m∗ et a (cf. 4.1) permet ainsi
d’accéder à une limite inférieure de la masse de la planète
r
G
m > m sin i = V ∗ sin i
m∗ a
Cette méthode n’est bien sûre pas applicable quand i = 0 (système vu de face), car la
vitesse longitudinale de l’étoile, et donc le décalage Doppler de ses raies sont nuls.
4.5
Planètes privilégiées par cette méthode
Des expressions de V et V ∗ données en 4.1, on tire
r
G
∗
V =m
m∗ a
Cette méthode favorise donc les planètes massives proches de leur étoile. En outre, plus la
vitesse longitudinale est grande, plus l’effet Doppler est facile à mesurer : cette méthode
est donc plus efficace lorsque l’orbite est vue sous une inclinaison élevée, ce qui permet
par ailleurs de ne pas sous-estimer la masse de la planète.
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
5
12
Limitation des détections par mesure de l’efet Doppler du spectre stellaire
La détection des variations de vitesse radiale de l’étoile représente actuellement la
méthode la plus efficace de recherche des planètes extra-solaires. Nous allons examiner les
principaux facteurs, instrumentaux et intrinsèques, qui limitent cette méthode.
5.1
Résolution du spectrographe
Les spectrographes utilisés pour la recherche des planètes extra-solaires ont des pouvoirs de résolution de l’ordre de 50 000. Le pouvoir de résolution d’un spectrographe à la
longueur d’onde λ est
λ
P=
∆λ
où ∆λ est le plus petit décalage en longueur d’onde qu’il permet de résoudre.
Si P = 50000 pour λ = 0, 5 µm, alors ∆λ = 10 nm.
On peut ainsi atteindre une amplitude de variation de vitesse longitudinale donnée par
= c ∆λ
= Pc .
V ∗ sin i = c ∆ν
ν
λ
Comme V ∗ sin i = 6 km.s−1 , on ne peut même pas détecter une planète de type jovien
autour d’une étoile de type solaire, et de loin (V = 13 m.s−1 ) !
Pour améliorer significativement la résolution de la mesure, la détermination de leffet
Doppler ne se fait pas sur une raie unique du spectre stellaire mais par la comparaison
simultanée, par une méthode de corrélation croisée, dun très grand nombre de raies stellaires avec un spectre de référence. Si la comparaison d’un spectre stellaire comportant N
raies avec un spectre de référence revient à effectuer N mesures indépendantes
de l’effet
√
Doppler. La précision de la mesure est alors améliorée par un facteur N et on peut
accéder à V ∗ sin i = √Pc N . L’application numérique donne
N=
c2
−1
2 = 10 m.s
∗
(P V sin i)
ce qui recquiert N = 3, 6.105 .
En fait, c’est N raies ne sont pas indépendantes, car observées avec le même instrument ;
en outre, une même raie peut aussi être observée dans plusieurs ordres. La méthode
d’analyse des données revient effectivement à augmenter la précision des mesures quand
N augmente, mais la dépendance en N est plus complexe que celle indiquée ici.
5.2
Limitation intrinsèque à l’étoile
Certaines étoiles sont animées d’un mouvement de pulsation interne, responsable d’une
variation périodique de leur rayon, avec des périodes de l’ordre de quelques mois. En
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
13
supposant que le rayon d’une étoile varie suivant une loi sinusoı̈dale entre les valeurs
extrêmes R∗ − δR∗ et R∗ + δR∗ avec une période τ , on peut écrire que le rayon d’une
étoile pulsante varie selon la loi
2π
∗
∗
∗
R (t) = R + δR cos
t
τ
La vitesse radiale résultante est
2π
dR∗
= − δR∗ sin
Vr (t) =
dt
τ
2π
t
τ
Cette vitesse radiale périodique induit une variation périodique de la fréquence des raies
observées, qui peut éventuellement se confondre avec une variation périodique de fréquence
due au mouvement orbital de l’étoile.
Dans le cas où δR∗ = 0, 01R∗ et τ = 30 jours, on obtient Vr = 17 m.s−1 , valeur qui peut
tout à fait évoquer un mouvement orbital.
La période de 30 jours semble, si l’on raisonne par analogie avec notre système solaire,
exclure un effet de planète, mais en fait certains systèmes planétaires observés présentent
effectivement une période aussi courte.
Lors de ces pulsations, la température T ∗ varie peu. Mais bien que cette température
varie peu, la puissance rayonnée par une telle étoile car son rayon (donc sa surface) varie
- et c’est d’ailleurs à cette variation de luminosité qu’on les repère. La variation relative
de luminosité d’une étoile, dont le rayon varie de 1 % est de 2 %, ce qui est relativement
facile à observer. Il faut donc s’assurer, en effectuant un suivi photométrique des étoiles
candidates à une recherche d’exoplanètes qu’elles ne sont pas variables avant d’interpréter
les variations périodiques d’effet Doppler comme les manifestations de la présence d’une
planète.
6
6.1
Transit de la planète devant son étoile
Condition de transit
Lorsque le mouvement orbital de la planète l’amène à passer intégralement entre l’étoile
et l’observateur, on dit qu’il y a transit de la planète devant l’étoile. On note toujours i
(compris entre 0 et 90o ) l’inclinaison de l’orbite (supposée circulaire) de la planète par
rapport à l’observateur.
On peut représenter sur un schéma les positions successives de la planète devant son
étoile lors d’un transit vues par l’observateur : sur la figure suivante, les positions 1, 2,
3 et 4 correspondent au cas d’un système vue par la tranche (i = 90o ) ; les positions 5
correspondent à l’angle d’inclinaison limite io en deçà duquel il n’y a plus transit car la
planète ne passe plus que partiellement devant létoile.
La figure suivante représente un système vu sous l’angle limite io .
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
14
D’après cette figure,
sin
π
2
− io = cos io =
donc
d=
R
R∗
=
d
a+d
aR
−R
R∗
et
R∗ − R
a
la condition permettant d’observer un transit est donc
∗
R −R
i > Arccos
a
cos io =
6.2
Probabilité de transit
La probabilité d’une inclinaison comprise entre i et i + di est égale au rapport de la
surface de la tranche de calotte sphérique à la surface de l’hémisphère,
soit
2πr sin i r di
P (i, i + di) =
= sin i di
2πr2
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
15
La probabilité d’une inclinaison supérieure à io s’obtient en intégrant P (i, i + di) de io à
π
, soit P (i > io ) = cos io .
2
Pour une planète comme Jupiter, qui orbiterait à 0, 05 ua de son étoile de type Soleil,
l’angle minimum permettant d’observer un transit est io = 85, 2o et la probabilité d’observer un transit est P (i > io ) = 8, 4 %.
6.3
Courbe de lumière de l’étoile lors d’un transit de la planète
On considère un système étoile planète, vu sous une inclinaison i = 90o , situé à la
distance D a de l’observateur. L’allure de la variation temporelle de puissance (appelée
courbe de lumière de l’étoile) reçue par l’observateur s’obtient en utilisant la numérotation
des positions de la planètes (cf. ci-dessus).
Lorsque la planète occupe les positions 2 à 3, l’observateur perçoit une diminution
relative de luminosité stellaire correspond au rapport des surfaces des disques stellaires et
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
16
planétaires, soit
∆L∗
=
L∗
R
R∗
2
(ce n’est pas tout à fait exact car le disque stellaire n’est pas uniformément lumineux).
La durée totale du transit est celle qui sépare le premier contact (position 1) du dernier
contact (position 4) est
2(R∗ + R
τ1 = t4 − t1 =
V
La vitesse orbitale V de la planète est donnée par
V =
donc
2πa
P
(R∗ + R)P
πa
De la même façon, la durée du minimum de la courbe de lumière, soit τm = t3 − t2 est
donnée par
(R∗ − R)P
τm =
πa
A partir de τ1 et τm , il est possible de déterminer le rayon de la planète (celui de l’étoile
aussi, mais il est cependant plus précis de le déterminer par une modélisation de l’étoile). Il
est également possible d’en déduire l’inclinaison i de l’orbite puisque la courbe de lumière
fournit V et l’effet Doppler V ∗ sin i (mais ce n’est pas la réponse suggérée par l’énoncé
puisque l’on suppose i = 90o ).
τ1 =
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
7
7.1
17
Propriétés des planètes détectées
un Jupiter chaud typique : La planète de l’étoile HD209458
Les mesures de vitesse longitudinale de létoile HD209458 effectuées en 1999 par trois
équipes ont fourni les valeurs représentées dans la figure suivante.
Vitesse longitudinale
de létoile HD209458 en fonction du temps (ramené à une période) (daprès Mazeh et al., 2000).
La vitesse longitudinale (déterminée par l’effet Doppler) suit une variation sinusoı̈dale
dont la valeur moyenne correspond à la vitesse du centre de gravité du système étoileplanète et dont l’amplitude fournit la vitesse longitudinale U du mouvement orbital de
l’étoile. D’après les données expérimentales, on estime P = 3, 5 jours (les auteurs de
l’article, qui ont effectué une analyse moins rudimentaire de la courbe, donnent P =
3, 52433 ± 0, 00027 jours).
La vitesse du centre de gravité est de −14, 77 km.s−1 environ et la vitesse longitudinale de l’étoile est U = V ∗ sin i = 85 m.s−1 (les auteurs donnent respectivement
−14, 7652 ± 0, 0016 km.s−1 et 85, 9 ± 2, 0 m.s−1 ).
La masse m∗ de létoile HD209458 est estimée à 1, 1 ± 0, 1 M . Le rayon orbital de la
planète est donné par la troisième loi de Kepler (cf. question 3.1)
r
∗ 2
3 Gm P
a=
4π 2
En supposant que la détermination de la vitesse orbitale est effectuée avec une précision
de 2 % et celle de la période avec une précision de 0,01 %.L’applicaiton numérique donne
a = 7, 0.109 m = 0, 047 ua
La masse de la planète est donnée par
r
∗
m > m sin i = V sin i
m∗ a
G
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
18
On trouve ici
m > 1, 2.1027 kg ≈ 0, 60 MJ
Les incertitudes relatives sur ces valeurs sont données par
2
2
2
∆a
1 ∆m∗
4 ∆P
∆a
=
+
→
≈3%
∗
a
9
m
9
P
a
2 2
2
2
∆(m sin i)
∆U
4 ∆m∗
1 ∆P
∆(m sin i)
≈8%
=
+
+
→
∗
m sin i
U
9
m
9
P
m sin i
Le transit de la planète devant létoile HD209458 a pu être observé à plusieurs reprises,
conduisant à la courbe de lumière présentée dans la figure suivante.
Variation relative au
cours du temps du flux de létoile HD209458 lors du transit de sa planète (daprès Charbonneau
et al., 2000).
La courbe de lumière permet de déterminer les durées τt =
d’où l’on tire directement le rayon de la planète
R=
(R∗ +R)P
πa
et τm =
(R∗ −R)P
πa
πa(τt − τm )
2P
Cependant, comme la détermination de τt −τm est très peu précise, il est a priori préférable,
puisque R∗ est donnée, de tirer R de la mesure τt
R = −R∗ +
πaτ1
P
ou de celle, un peu plus incertaine, de τm
R = R∗ −
On peut aussi utiliser
πaτm
P
τt
R∗ + R
= ∗
τm
R −R
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
19
On mesure sur la courbe τt = 0, 128 jour (à 0,01 jour près) et τm = 0, 084 jour (à 0,01
jour près).
la première méthode fournit R = 1, 4.108 m = 0, 2 R = 2 RJ , avec une incertitude
∆R
+∆τm
de l’ordre de 50 % !
≈ ∆a
+ ∆ττtt −τ
R
a
m
La deuxième méthode aboutit à une incohérence car avec les valeurs ci-dessus, πaPτt =
8, 0.108 m et se trouve donc inférieur à la valeur de R∗ donnée !
La troisième méthode fournit R = 3, 1.108 m = 0, 45 R = 4, 5 RJ , avec une incertitude
∆R ≈ 1, 5.108 m soit de l’ordre de 40 %, ce qui n’est pas beaucoup mieux que la première
méthode.
La dernière méthode fournit R = 0, 25 R = 2, 5 RJ .
Ces difficultés proviennent principalement de l’utilisation d’une méthode trop rudimentaire d’analyse de la courbe de lumière, ajoutée à l’hypothèse abusive de système vu
par la tranche. Les modèles plus raffinés de courbe de lumière fournissent des valeurs de
i de 86o à 87o et de R de 1, 25 à 1, 4 RJ , avec des valeurs de R∗ variant de 1, 1 à 1, 2 R .
La masse volumique de la planète s’obtient en supposant que celle-ci est une sphère
uniforme, soit
3m
ρ=
4πR3
En supposant que l’inclinaison est de 90o , avec R = 2 RJ , la masse volumique est ρ ≈
104 kg.m−3 . La valeur publiée est de 380 kg.m−3 ; elle est notablement plus faible que
celle de Saturne (700 kg.m−3 ) qui est pourtant la moins dense des planètes gazeuses du
système solaire.
Létoile HD209458 rayonne comme un corps noir de température T ∗ = (6030 ± 140) K.
La température d’équilibre de la planète vaut
r
p
R∗ ∗
4
T = (1 − A)
T ≈ 1350 K
2a
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
20
Ce type de planète a été baptisé ”Jupiter” en raison de sa masse et de son rayon, et
”chaud” en raison de sa proximité à l’étoile, donc de sa température.
7.2
Etude statistique des propriétés des 50 premières planètes
détectées
La Figure suivante présente les mesures de vitesses longitudinales et de périodes des
50 premières étoiles à planètes détectées.
Répartition des
vitesses orbitales et des périodes des 50 premières étoiles à planètes observées (daprès Udry
2000).
Les planètes détectées ont des vitesses telles que 1, 0 6 Log (V ∗ sin i) 6 2, 7 soit
10 m.s−1 6 V ∗ sin i 6 500 m.s−1 dont la limite inférieure est une limite observationnelle
due à la résolution des spectrogramhes disponibles aujourd’hui.
Les nouvelles générations de spectrographes dédiés permettront d’atteindre des résolutions
de l’ordre du m.s−1 , mais demanderont une analyse encore plus fine des biais dus à l’étoile
elle-même.
Les périodes observées sont telles que 0, 5 6 Log P 6 3, 4, soit 3 j 6 P 6 2500 j ≈
7 ans dont la limite supérieure est une limite observationnelle du fait que ce type de suivi
Doppler systématique est encore très récent.
La figure suivante présente les mesures de période P et les rayons orbitaux a calculés
pour ces mêmes planètes.
La corrélation entre les paramètres a et P n’est rien d’autre que la troisième loi de
Kepler (on vérifie sans peine, d’ailleurs, que le coefficient de la droite de corrélation est
2/3), ce qui indique que les ”étoiles à planètes” ont sensiblement toutes la même masse
(aux alentours de M , puisque la droite de corrélation passe par a = 1 ua et P = 365 j).
C’est un effet de sélection des étoiles de type solaire, autour desquelles ont été cherchées les
planètes. On cherche aussi des planètes autour d’étoiles moins massives (de type ”naines
brunes”) mais ce sont des objets peu lumineux et les observations sont plus difficiles de
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
21
Répartition des rayons
orbitaux et des périodes des 50 premières étoiles à planètes observées (daprès Udry 2000).
ce point de vue (en revanche, les vitesses orbitales sont plus grandes).
En raison de la troisième loi de Kepler, comme les étoiles ont toutes sensiblement la
même masse m∗ , les courbes de période constante se confondent dans le diagramme avec
les droites horizontales d’équation
2 1
4π
2
Log a = Log P + Log
3
3
Gm∗
En supposant m∗ = 1 M , la valeur de a qui correspond à la limite observationnelle
2/3
= 3, 6 ua (donc Log a = 0, 56), ce qui est bien ce que
Pmax = 2500 j est amax = 2500
365
l’on constate sur la figure.
De la relation obtenue au 4.5
r
G
∗
V =m
m∗ a
on déduit que les courbes de V ∗ constante (ou plus exactement V ∗ sin i) sont les droites
d’équation
G
− 2 Log (V ∗ sin i)
Log a = 2 Log (m sin i) + Log
∗
m
En supposant toujours m∗ = 1 M , la limite observationnelle (V ∗ sin i)min = 10 m.s−1
fournit la droite limite Log a = 2 Log (m sin i)+0, 95 (avec les unités ua et MJ ), au-dessus
de laquelle il n’y a pas de point observé. C’est très précisément ce que l’on constate sur
le diagramme.
En hachuré : valeurs de paramètres encore inaccessibles à l’observation.
En gris : zone accessible aux observations mais sans détection de planète.
On constate que l’on n’observe pas non plus de points correspondants à des valeurs
de Log a 6 −1, 4 soit a 6 0, 04 ua ; il ne s’agit pas là d’un biais observationnel.
Plusieurs hypothèses sont avancées pour expliquer l’absence de planètes aussi proches
de l’étoile : toutes considèrent que de telles planètes gazeuses ne peuvent pas se former
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
22
Répartition des rayons
orbitaux stellaires et des masses planétaires (exprimées en masse de Jupiter) des 50 premières
étoiles à planètes observées (daprès Udry 2000).
aussi près de l’étoile et qu’elles ont donc dû s’en approcher une fois formées, suite à des
perturbations de leur orbite. Une fois la planète géante proche de l’étoile, on peut imaginer
– qu’il y a capture et chute de la planète sur l’étoile
– ou qu’il y a évaporation de la planète
– ou que la migration est stoppée par interaction de marée
– ou par transfert de masse entre l’étoile et la planète
– certains évoquent l’existence d’une cavité magnéto-sphérique vide de matière autour
de l’étoile...
Nul doute que, dès la première détection d’une planète à moins de 0,04 ua de son étoile,
les modèles justifiant son existence seront tout aussi nombreux !
8
Annexes
8.1
Données
distance moyenne Terre-Soleil : DT −S = 1, 5.1011 m
rayon du Soleil :R = 7, 0.108 m
masse du Soleil : M = 2, 0.1030 kg
masse de Jupiter : MJ = 2, 0.1027 kg
période de Jupiter : PJ = 12 ans
masse de la Terre : MT = 6, 0.1024 kg
8.2
Formules de Binet
En coordonnées polaires, la vitesse s’écrit
~v = ṙ e~r + rθ̇ e~θ
S. Bourdreux - Agrégation de Physique
23
Elevons cette relation au carré,
v 2 = ~v · ~v = ṙ2 + r2 θ̇2
La loi des aires donne
dθ
C2
= 2
dt
r
2
2
2
dθ
C2
C 2 dr
dr dθ
2
2
+r
= 4
+ r2 4
v =
dθ dt
dt
r
dθ
r
θ̇ =
donc
En remarquant que
2 2
1 dr
d 1
=
4
r
dθ
dθ r
il vient la première formule de Binet, relative à la vitesse,
"
2 #
d 1
1
+
v2 = C 2
2
r
dθ r
qu’on note habituellement en posant u = 1r ,
"
v 2 = C 2 u2 +
du
dθ
2 #
L’accélération, quant à elle, s’écrit en coordonnées polaires
~a = r̈ − rθ̇2 e~r
en tenant compte du fait que la composante sur e~θ , rθ̈ + 2ṙθ̇ est nulle puisque la position
au centre r et que la vitesse angulaire θ̇ sont constants.
La loi des aires donne
d2 r
d dr dθ
d C 2 dr dθ
C2 d
1 dr
r̈ = 2 =
=
= 2
dt
dt dθ dt
dθ r2 dt dt
r dθ r2 dθ
dr
d 1
Comme r12 dθ
= − dθ
, nous écrirons
r
C 2 d2 1
r̈ = − 2
r dθ2 r
Par ailleurs,
C2
C2
C2 1
rθ̇2 = r 4 = 3 = 2
r
r
r r
L’accélération s’écrit donc
C2 1
d2 1
~a = − 2
+
e~r
r
r dθ2 r
soit, en posant u = 1r , la seconde formule de Binet, relative à l’accélération :
d2 u
2 2
~a = −C u u + 2 e~r
dθ