Série 5: Enoncé

Introduction `a l’Astrophysique
S´erie 5: Enonc´e
Laboratoire d’Astrophysique http://lastro.epfl.ch
Ecole Polytechnique F´ ed´ erale de Lausanne
Semestre de printemps 2016
Exercice 1 : R´esolution angulaire
Le rayon du Soleil vaut R= 6.955 ×108m. Si vous observez une ´ etoile semblable
au Soleil avec un t´ elescope de 8 m de diam` etre (p. ex. le Very Large Telescope), en
n´ egligeant les effets de l’atmosph` ere terrestre, dans le domaine des longueurs d’onde
visibles (λ'50000 ˚ A), jusqu’` a quelle distance serez-vous capable de r´ esoudre l’´ etoile ?
Mˆ eme question pour une ´ etoile superg´ eante rouge (type spectral K ou M, voir la table ` a
la fin du polycopi´ e) ?
Rappel th´eorique
Dans le probl` eme ` a 2 corps, on consid` ere deux objets de masse m1et m2, qui d´ ecrivent
chacun une orbite elliptique dont le foyer est le centre de masse du syst` eme. On avait
vu qu’on pouvait traiter cette situation comme un probl` eme ` a un corps avec une masse
r´ eduite µ=m1m2/(m1+m2)en mouvement autour d’une masse fixe M=m1+m2. La
masse µd´ ecrit alors une ellipse de demi-grand axe aautour de M. Dans ce contexte, la
troisi` eme loi de Kepler donne la p´ eriode de l’orbite :
P2=4π2a3
G(m1+m2). (1)
M´ethode des vitesses radiales
Consid´ erons un syst` eme binaire constitu´ e d’une ´ etoile et d’une plan` ete. Chacun des
objets d´ ecrit une orbite elliptique dont le foyer est le centre de masse du syst` eme. Les
raies spectrales stellaires qui nous parviennent (` a travers un spectrom` etre) sont en
cons´ equence tantˆ ot d´ ecal´ ees vers le bleu (l’´ etoile s’approche de l’observateur), tantˆ ot
vers le rouge (l’´ etoile s’´ eloigne), par effet Doppler.
La mesure de ce d´ ecalage spectral est traduite en une vitesse selon la ligne de vis´ ee,
appel´ ee vitesse radiale. Ce d´ ecalage apparaˆ ıt comme un ph´ enom` ene p´ eriodique et d’am-
plitude bien inf´ erieure ` a ce que l’on attendrait d’une perturbation due ` a un compagnon
stellaire. Le d´ ecalage s’interpr` ete donc comme la signature d’une perturbation due ` a la
pr´ esence d’une plan` ete autour de l’´ etoile.
C’est ce ph´ enom` ene qui a conduit ` a la d´ ecouverte de la premi` ere plan` ete extrasolaire
autour d’une ´ etoile semblable ` a notre Soleil. Cette plan` ete fut d´ ecouverte autour de
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l’´ etoile 51 Peg en 1995 par Michel Mayor et Didier Queloz, de l’Observatoire de Gen` eve.
Depuis, plus de 340 plan` etes extrasolaires ont ´ et´ e recens´ ees.
Exercice 2 : Plan`ete extrasolaire
Dans la figure 1, on donne la courbe de vitesse radiale mesur´ ee pour l’´ etoile 51 Peg.
En abscisse, on repr´ esente la phase de l’orbite, i.e. le temps divis´ e par la p´ eriode. Cette
derni` ere vaut P= 4.23 jours.
Lorsque l’orbite est quasi-circulaire, la courbe de la vitesse radiale a la forme d’une
sinuso¨ ıde. L’excentricit´ e de l’orbite a pour effet de d´ eformer cette sinuso¨ ıde. Dans le
cas de 51 Peg, la courbe reste tr` es proche d’une sinuso¨ ıde, on peut donc supposer que
l’orbite est circulaire (i.e. l’excentricit´ ee= 0).
Pour simplifier, on supposera en outre que l’angle d’inclinaison idu plan de l’orbite
par rapport au plan du ciel est de 90◦. L’´ etoile 51 Peg est tr` es semblable ` a notre Soleil,
on posera sa masse M?=M= 1.98×1030 kg et son rayon R?=R= 6.96×108m. De
plus, la masse de la plan` ete est certainement n´ egligeable par rapport ` a celle de l’´ etoile,
vu la faible amplitude du mouvement de l’´ etoile. On donne encore la distance d= 14.7pc
de 51 Peg ` a la Terre.
FIGURE 1 – Courbe de vitesse radiale de l’´ etoile 51 Peg.
a) A partir de la troisi` eme loi de Kepler, de la conservation de la quantit´ e de mou-
vement et des informations donn´ ees ci-dessus, d´ eterminez la masse Mpde la
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plan` ete orbitant autour de l’´ etoile 51 Peg. Comparez cette masse ` a celle de Ju-
piter MJ= 1.90 ×1027 kg.
b) Un interf´ erom` etre a une r´ esolution π=λ/D, o` uDest la longueur de la base
de l’interf´ erom` etre. Quelle longueur Dminimale serait n´ ecessaire pour r´ esoudre
le syst` eme ´ etoile-plan` ete d´ ecrit ci-dessus dans les longueurs d’onde visibles (i.e. ` a
50000 ˚ A) ? Comparez la valeur obtenue avec D'100 m du VLTI.
c) L’albedo Ad’une plan` ete donne la fraction d’´ energie qui est r´ efl´ echie par la plan` ete.
Si A= 1, la plan` ete r´ efl´ echie toute l’´ energie rec¸ue de la part de l’´ etoile. Suppo-
sons que l’albedo de la plan` ete de 51 Peg vaut A= 0.3, et que l’´ energie rayonn´ ee
par la plan` ete provient principalement de la r´ eflexion de la lumi` ere de son ´ etoile.
L’´ etoile 51 Peg a une certaine luminosit´ eL?. Estimez la diff´ erence de magnitude
entre la plan` ete et l’´ etoile, en consid´ erant la plan` ete comme un disque de rayon
Rp= 3.0×107m, et en supposant que ce disque est ´ eclair´ e de mani` ere homog` ene
par l’´ etoile.
d) On suppose toujours que la plan` ete a un rayon Rp= 3.0×107m. Lorsque la plan` ete
passe entre l’´ etoile et l’observateur, cette premi` ere obscurcit une partie de l’´ etoile,
ce qui donne lieu ` a un transit. D’apr` es les informations donn´ ees pr´ ec´ edemment,
combien de temps dure ce transit ? Et quelle est sa profondeur maximale (en terme
de magnitude) ?
Indication : supposez que le disque apparent de l’´ etoile ´ emet de mani` ere ho-
mog` ene.
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