i f (( abs (b−c)<a ) & ( a<(b+c ) ) ) then
compteur=compteur+1;
end
end
end
end
f=compteur /15^3;
Listing 2 – Sortie de l’algorithme précédent
! l a f ré q ue nc e r ec h e rc h é e e s t 0.502 22 2222222 2 !
2 Interprétation probabiliste du problème
Dès la classe de Troisième et mieux en Seconde, on peut voir dans l’exercice ci-dessus un problème
de Calcul des probabilités.
On peut imaginer en effet que a,bet csont les valeurs prises par 3 variables aléatoires indépen-
dantes X,Yet Zprenant leurs valeurs dans l’ensemble (1, . . . , 15) (par exemple, une urne contient
15 boules indistinguables au toucher et numérotées de 1 à 15 : on touille, on tire une boule, on note
son numéro, qui est la valeur prise par X, on la remet dans l’urne et on recommence pour avoir les
valeurs prises par Yet Z). Il est clair que toutes les valeurs possibles du triplet (X, Y, Z), c’est à dire
tous les triplets (a, b, c), sont équiprobables. Notons Ωl’ensemble de ces triplets. Comme il y en a
153= 3375, chacun d’eux a donc la probabilité 1
3375 ·On est donc dans une situation d’équiprobabilité
comme dit le programme de Seconde. On en déduit que si Edésigne l’événement « le triplet (a, b, c)
vérifie la double inégalité (2) », autrement dit « Il existe un triangle non aplati ABC tel que BC =a,
CA =b,AB =c», la probabilité de Eest
P(E) = Nombre de cas favorables
Nombre de cas possibles =N
3375 =F(4)
3 Réponse à la question 2
Cette question était d’autant plus légitime que les fréquences calculées lorsque les longueurs a,b
et cétaient tirées au hasard entre 1 et n,nprenant des valeurs de plus en plus grandes, semblaient
se rapprocher de 1
2·
Au lieu de tirer les nombres a,bet cdans l’ensemble (1, . . . , 15), tirons-les de l’ensemble (1, . . . , n),
où ndésigne un entier ≥1et affinons nos notations : l’événement Edevient En, la fréquence F
devient Fn.
Il est clair que le problème n’est pas changé si a,bet csont
tirés au hasard dans l’ensemble (1
n,2
n,. . . , n
n).
On va voir que cette remarque est essen-
tielle.
On se convainc facilement que « tirer un nombre au hasard dans (1
n,2
n,. . . , n
n)» est très proche de
« tirer un nombre réel au hasard dans l’intervalle [0 ,1] » et que ceci est d’autant plus vrai que nest
grand 4.
4. Preuve : Pour tout entier n≥1, soit Unla variable aléatoire égale au nombre qui sort quand on tire au hasard
un élément de l’ensemble (1
n,2
n,. . . , n
n)et Uune variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0 ,1], c’est
2