TD 4 – Borel-Cantelli, loi des grands nombres et quelques autres 1

Processus aléatoires
ENS Paris, 2013/2014
Bastien Mallein
Bureau V2
TD 4 – Borel-Cantelli, loi des grands nombres et quelques autres
27 février 2014
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Quelques rappels sur Borel-Cantelli
Exercice 1 (Série aux différences). Soit P
(Xn ) une suite de
P variables aléatoires réelles. Montrer que s’il existe
une suite (an ) de réels positifs telle que
an < +∞ et
P(|Xn+1 − Xn | > an ) < +∞, alors la suite (Xn )
converge presque sûrement.
Exercice 2 (Limite de Xn /n). Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires i.i.d. Montrer que
Xn
→0
n
p.s. ⇐⇒ E(|X1 |) < +∞.
Montrer également que si E(|X1 |) = +∞, en posant Sn = X1 + · · · + Xn ,
lim sup
n→+∞
|Sn |
= +∞.
n
Exercice 3. Soit (Xn ) une suite i.i.d. de variables aléatoires gaussiennes centrées réduites, on pose Sn =
X1 + · · · + Xn .
2
√1 e−a /2 .
a 2π
1
que E {XX12≥a}
1. Montrer que P(X1 ≥ a) ∼a→+∞
Indication : On pourra utiliser
= o(P(X1 ≥ a)).
√
√
2. Déterminer la loi de Sn / n. En déduire que si (an ) est une suite de réels positifs telle que an / n →
+∞, √
alors Sn /an → 0 en probabilité. Peut-on conclure pour la convergence p.s. ? Montrer que pour
an = n log n la convergence a lieu presque sûrement.
3. Montrer que
lim sup √
n→+∞
2
Xn
|Xn |
= lim sup √
=1
2 log n
2 log n
n→+∞
p.s.
Quelques identités en loi
Exercice 4 (Une loi des grands nombres ?). On rappelle qu’une loi de Cauchy a pour densité
rapport à la mesure de Lebesgue.
1. Soit U une variable aléatoire réelle de loi uniforme sur [− π2 , π2 ]. Calculer la loi de tan U .
2. Que vaut E(tan U ) ?
1
1
π(1+x2 )
par
3. Soit Y une variable aléatoire réelle dont la loi est 12 e−|y| dy. Calculer la fonction caractéristique de la
loi de Y définie par
ΨY ξ 7→ E eiξY .
4. Soit X, X 0 deux variables aléatoires réelles indépendantes de loi de Cauchy et λ, µ ∈ R. Calculer la
densité de la loi de λX + µX 0 , et celle de XX 0 .
5. Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles i.i.d. de loi de Cauchy. Calculer la limite (en loi),
quand n → +∞, de
X1 + X2 + · · · + Xn
.
n
Exercice 5 (Loi des records). Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et positives
de même fonction de répartition F supposée continue. On pose N = inf{n ∈ N : Xn > X0 } et Y = XN .
1. Calculer la loi de N et son espérance.
2. Calculer la loi jointe de (Y, N ), en déduire la fonction de répartition de Y et celle de F (Y ).
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Variations sur la loi des grands nombres
Exercice 6 (Somme de variables aléatoires pas indépendantes). Soit (λn , n ≥ 1) une suite strictement
croissante d’entiers, U une variable aléatoire de loi uniforme, et Xn = cos(2πλn U ). On pose Sn = X1 +· · ·+Xn .
1. Montrer que P( Snn > ) ≤ C n−1 puis que Sn2 /n2 → 0 p.s.
S 2. Montrer que maxn2 ≤m<(n+1)2 Smm − nn22 ≤ 2(2n+1)
.
n2
3. En déduire que Sn /n → 0 p.s.
Exercice 7 (Loi forte des grands nombres). Soit (Xn ) des variables aléatoires i.i.d. centrées avec un moment
d’ordre 4 fini. On note Sn = X1 + · · · + Xn . Calculer E(Sn4 ), et en déduire que Sn /n converge p.s. vers 0.
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Pour attendre la semaine prochaine
Exercice 8 (Points sur le cercle). Soit (Mn , n ∈ N) une suite de variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur le cercle.
1. Calculer la probabilité que 0 soit intérieur au triangle M1 M2 M3 .
2. Calculer la probabilité que M1 M2 et M3 M4 se coupent.
3. Déterminer la limite de l’espérance du nombre total d’intersections de M1 M2 , M3 M4 ... M2n−1 M2n .
Exercice 9 (Le paradoxe de Bertrand). On choisit une corde du cercle unité au hasard. Pour cela on propose
plusieurs méthodes.
1. On choisit uniformément au hasard, de façon indépendante, les deux extrémités de la corde.
2. On choisit uniformément au hasard un rayon du cercle. La corde est la perpendiculaire à ce rayon, et
le coupe en un point choisi uniformément au hasard.
3. On choisit uniformément au hasard un point dans le disque qui est le milieu de la corde.
Calculer dans chacun de ces cas la probabilité que la longueur de la corde soit supérieure à la longueur d’un
côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
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