07 - Division euclidienne

Cours 6ème – Chapitre VII
M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-En-Der
2013
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Division euclidienne, division décimale
I. La division euclidienne
Définition 1: Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le
diviseur) différent de 0, c’est trouver deux nombres entiers, le quotient et le reste tels que :
dividende = (diviseur ×
××
× quotient) + reste, avec reste < diviseur
Ex : 26 : 6 ⇒ 26 = (6 ×
××
× 4) + 2
Le dividende Le diviseur
2 6 6
– 2 4 4
0 2 Le quotient
Le reste
Remarque : On utilise souvent l’égalité précédente pour vérifier notre division.
Application : Effectuer la division euclidienne de 278 par 7
2 7 8 7
– 2 1 3 9
0 6 8
– 6 3
0 5
Vérification / Preuve : 278 = 39 × 7 + 5
II. Critère de divisibilité
Vocabulaire : Si on effectue la division euclidienne de 36 par 9, on remarque que le reste est nul. On dit
que :
« 36 est divisible par 9 »
« 36 est un multiple de 9 »
« 9 est un diviseur de 36 »
Dès que le diviseur est
supérieur à 10, il est conseillé
d’écrire la table du diviseur.

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ex :
 Déterminer les 5 premiers multiples de 13.
13 car : 13 = 13 × 1 + 0
26 car : 26 = 13 × 2 + 0
39 car : 39 = 13 × 3 + 0
52 car : 52 = 13 × 4 + 0
65 car : 65 = 13 × 5 + 0 Ici, le reste est toujours NUL
 Quels sont les diviseurs de 15 ? de 17 ? de 42 ?
15 = 1 × 15 = 3 × 5
Les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5 et 15.
42 = 1 × 42 = 2 × 21 = 3 × 14 = 6 × 7
Les diviseurs de 42 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42.
17 = 1 × 17
Les diviseurs de 17 sont : 1 et 17.
Propriété 1: Critère de divisibilité
 Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Ex : 278 est divisible par 2 car il se termine par 8.
1 234 567 890 est divisible par 2 car il se termine par 0.
279 n’est pas divisible par 2 car ce n’est pas un nombre pair.
 Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
Ex : 275 est divisible par 5 car il se termine par 5.
1 234 567 890 est divisible par 5 car il se termine par 0.
 Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par son chiffre des dizaines et des unités
est divisible par 4.
Ex : 1 524 est divisible par 4 car 24 l’est.
123 456 780 est divisible par 4 car 80 l’est.
1 534 n’est pas divisible par 4 car 34 n’est pas divisible par 4.

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 Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Ex : 747 est divisible par 3 car 7 + 4 + 7 (= 18) est divisible par 3.
42 126 est divisible par 3 car 4 + 2 + 1 + 2 + 6 (= 15) est divisible par 3.
749 n’est pas divisible par 3 car 7 + 4 + 9 (= 20) n’est pas divisible par 3.
 Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Ex : 747 est divisible par 9 car 7 + 4 + 7 (= 18) est divisible par 9.
42 126 n’est pas divisible par 9 car 4 + 2 + 1 + 2 + 6 (= 15) n’est pas divisible par 9.
Remarques :
Si un nombre est divisible par 4, alors il est divisible par 2.
De même, si un nombre est divisible par 9, alors il est divisible par 3.
Si un nombre n’est pas divisible par 2, alors il ne sera pas divisible par 4.
De même, si un nombre n’est pas divisible par 3, alors il ne sera pas divisible par 9.
Application : Remplir le tableau par oui ou non
Divisible
par 2 Divisible par 3 Divisible par 4 Divisible par 5 Divisible par 9
73 4
25
NON OUI (21) NON OUI NON (21)
14 5
20
OUI OUI (12) OUI OUI NON (12)
6 7
31
NON NON (17) NON NON NON (17)
83 6
46
OUI OUI (27) NON NON OUI (27)
III. Diviser par 10, 100 ou 1000
Propriété 2: Diviser par 10, 100 ou 1000 revient à multiplier par 0,1 , par 0,01 ou par 0,001.
Exemple :
2 304 : 100 = 2 304 × 0,01 = 23,04 on déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche
58,7 : 1 000 = 58,7 × 0,001 = 0,058 7 on déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche
Ce qu’on pense
dans sa tête
La somme
des chiffres
vaut 21

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IV. Division décimale
Définition 2: Effectuer la division décimale d’un nombre (le dividende) par un nombre entier (le
diviseur) différent de 0, c’est chercher le nombre appelé QUOTIENT tel que :
dividende = diviseur × quotient
On note : quotient = dividende : diviseur
Remarque : Ici, il n’y a plus de reste.
Méthode : Le début de la division décimale consiste à effectuer la division euclidienne de la partie
entière du dividende par le diviseur.
Exemples : 3 2,0 0 5
– 3 0 6,4
0 2 0
– 2 0
0
1 8, 2 13
– 1 3 1,4
0 5 2
– 5 2
0 0
1 9,0 0 0 3
– 1 8 6, 3 3 …
0 1 0
– 9
0 1 0
– 9
0 1
…
Remarque : Dans une division décimale, le quotient peut-être :
un nombre entier.
Ex : 26 : 2 = 13
un nombre décimal non entier.
Ex : 25 : 4 = 6,25
un nombre non décimal, et dans ce cas la division ne s’arrête jamais.
Ex : 16 : 11 = 1,4545…
On rajoute des
ZEROS inutiles pour
continuer la division
On place la virgule au
quotient, quand on
descend le chiffre des
dixièmes
Ici, le chiffre 3 se répète
indéfiniment, on dit
alors que la division ne
s’arrête jamais

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Applications :
 Donner une valeur approchée au dixième près du quotient de la division décimale de 85 par 6.
8 5,0 0 0 6
– 6
2 5 14, 16 On a effectué la division décimale de 85 par 6
– 2 4 jusqu’à ce que le quotient possède 2 chiffres
0 1 0 après la virgule (le chiffre des centièmes).
– 6
0 4 0
– 3 6
0 4
Donc une valeur approchée au dixième près du quotient de la division décimale de 85 par 6 est : 14,2 (car
le chiffre des centièmes est 6).
 Donner une valeur approchée au centième près du quotient de la division décimale de 9,4 par 7.
9, 4 0 0 7
– 7
2 4 1, 342 On a effectué la division décimale de 9,4 par 7
– 2 1 jusqu’à ce que le quotient possède 3 chiffres
0 3 0 après la virgule (le chiffre des millièmes).
– 2 8
0 2 0
– 1 4
0 6
Donc une valeur approchée au centième près du quotient de la division décimale de 9,4 par 7 est : 1,34
(car le chiffre des millièmes est 2).