Sur la répartition des valeurs des fonctions

Sur la r´epartition des valeurs des fonctions arithm´etiques, I.
le nombre de facteurs premiers d’un entier
Hsien-Kuei Hwang∗
Academia Sinica, Taiwan
le 14 avril 1997
1 Introduction
Soit Ω(n) le nombre total de facteurs premiers dans la d´ecomposition de l’entier positif n,n≥2, en
facteurs premiers, avec Ω(1) := 0. Autrement dit, si n=Q1≤j≤kpαj
j≥2, o`u les pjsont premiers,
p1< p2<··· < pk, et les αj∈N+, on a Ω(n) = P1≤j≤kαj.
Consid´erons la quantit´e
N(x, m) := X
1≤n≤x
Ω(n)=m
1 (x≥1, m ∈N).
A partir de cette d´efinition, on consid`ere la suite de variables al´eatoires ξn, qui prennent les valeurs
Ω(k), 1 ≤k≤n, avec probabilit´e n−1.
L’´etude asymptotique de N(x, m) (et la distribution de ξn) a fait couler beaucoup d’encre dans la
litt´erature en commen¸cant par le c´el`ebre th´eor`eme des nombres premiers. Citons en particulier:
–Selberg [23] d´emontre d’abord de fa¸con analytique et succincte le r´esultat de Sathe [22] (avec un
meilleur terme-reste)
N(x, m) = gm−1
log log xx log x
(log log x)m−1
(m−1)! 1 + Oεm−1 (log log x)2,
uniform´ement pour 1 ≤m≤(2 −ε)log log x,ε > 0 ´etant fix´e et
g(z) = 1
Γ(z+ 1) Y
ppremier
(1 −p−1)z
1−zp−1(|z|<2).(1)
Il ensuite mentionne que
N(x, m)∼C2−mxlog x((2 + ε)log log x≤m≤Blog log x),(2)
∗Ce travail a ´et´e partiellement financ´e par le projet ESPRIT Basic Research Action no7141 (ALCOM II) quand
l’auteur ´etait `a l’´ Ecole polytechnique.
1

ε > 0 ´etant fix´e, B > 2 + ε, et Cle r´esidu de −g(z) en z= 2:
C=1
4Y
p≥3
ppremier 1 + 1
p(p−2)= 0,37869 50320... (3)
–Nicolas [18, 19] ´etablit une formule asymptotique ´etendant (2)
N(x, m) = Cx
2mlog x 2m 1 + Oε log x 2m−b!! (0 <b<1),(4)
uniform´ement pour m≥(2+ ε)log log xet x
2m→ ∞, 0 <ε<1 ´etant fix´e. Ici best une constante
qui ne d´epend que de ε. On peut d’ailleurs prendre [4] b= 2q(ε/2), o`u q(t) = (1+t) log(1+t)−t.
Les deux m´ethodes utilis´ees dans [18, 19] sont grosso modo ´el´ementaires bien qu’il ait utilis´e la
formule de Selberg dans [18]. Tenenbaum a donn´e [27, p. 243] une autre d´emonstration du
th´eor`eme de Nicolas.
–Un r´esultat non publi´e de Delange (cf. [4]) pr´ecise une transition gaussienne entre les r´esultats de
Sathe-Selberg et de Nicolas:
N(x, m) = Cxlog x
2mΦ(t) + OT(log log x)−1/2,|t|:= 
m−2log log x
√2log log x≤T,(5)
avec
Φ(t) = 1
√2πZt
−∞
e−1
2u2du(t∈R).(6)
–Balazard, Delange et Nicolas [4] d´emontrent une formule asymptotique uniforme, valable pour m≥1
et x
2m→ ∞ (cf. [2, 3]):
N(x, m)∼(2 −ρ)g(ρ)x
2mlog x 2m−1X
0≤j<m
(2 log log x
2m)j
j!,(7)
o`u
ρ∼min{2,m−1
log log x
2m}.
La d´emonstration de cette formule commence par isoler la contribution du facteur 2 et ensuite
utilise la m´ethode de Selberg. Ce r´esultat permet aux auteurs de retrouver les r´esultats de
Selberg, de Delange, et de Nicolas (avec plus de pr´ecision sur les termes d’erreur).
Cet article a un double but:
2

1. D’abord, nous introduisons une m´ethode due `a van der Waerden [28] (cf. aussi [30, §VII.2]) qui
permet d’obtenir un d´eveloppement asymptotique de l’int´egrale ayant la forme
1
2iπ I|z|=r
f(z)
a−zz−meXz dz(0 < r < a),
lorsque m, X → ∞ et m≤AX,A´etant pris inf´erieur au rayon de convergence de la fonction
f, suppos´e > a. On constate que l’int´egrande a un point col (r=m/X) et un pˆole simple
(z=a). Lorsque m∼aX, le point col s’approche du pˆole simple. Dans un premier temps, cette
m´ethode nous fournit un d´eveloppement asymptotique uniforme pour N(x, m), lorsque m→ ∞
et m≤(3 −ε)log log x,ε > 0; ce d´eveloppement ne se deduit pas de (7). Ensuite, elle s’applique
´egalement aux (queues des) fonctions de r´epartition
1
xX
1≤n≤x
Ω(n)≥m
1,1
xX
1≤n≤x
ω(n)≥m
1,et 1
xX
1≤n≤x
ω(n)≥m
µ2(n),(8)
ω(n) d´esignant le nombre des facteurs premiers distincts de net µ(n) la fonction de M¨obius.
Les r´esultats ainsi obtenus couvrent ceux de Delange [7] [12, p. 19–21] et de Kubilius [16, Ch.
X] comme cas particuliers.
2. Nous donnons une d´emonstration analytique du th´eor`eme de Nicolas (4), qui n’utilise que les
formules int´egrales de Cauchy et de Perron et qui diff`ere de ceux de Nicolas et de Tenenbaum.
L’int´erˆet de cette nouvelle m´ethode est multiple: Premi`erement, elle fournit d’une fa¸con directe
un d´eveloppement asymptotique. Deuxi`emement, elle s’adapte bien `a l’´etude de la (queue de)
fonction de r´epartition Pr{ξn≥m}; le r´esultat ainsi obtenu est original et am´eliore les r´esultats
de Norton [20]. Troisi`emement, elle s’applique `a une classe ´etendue de fonctions arithm´etiques,
comme la quantit´e N(x, m) avec des contraintes arithm´etiques [8], le probl`eme de “factorisatio
numerorum” d’Oppenheim [21, 24, 13] [15, Ch. 10], le probl`eme de R´enyi [9, 29, 31], etc, que
nous traiterons dans la suite. Enfin, on peut appliquer le mˆeme principe aux probl`emes additifs
et combinatoires.
Dans cet article et dans la suite, nous montrerons que la combinaison de la m´ethode de Selberg, de
van der Waerden et de la nˆotre donne un ensemble d’outils analytiques concis et efficaces permettant de
caract´eriser d’une fa¸con compl`ete le comportement local des fonctions arithm´etiques et les param`etres
statistiques des structures combinatoires.
Nous commen¸cons par introduire bri`evement la m´ethode de van der Waerden dans la section
suivante en montrant un th´eor`eme adapt´e `a notre usage. Il est ensuite appliqu´e `a N(x, m) et aux
3

quantit´es (8) dans §3. La d´emonstration analytique du th´eor`eme de Nicolas fait l’objet de §4. Une
nouvelle formule asymptotique pour S(x, m), lorsque m≥(2 + ε)log log xet x
2m→ ∞, est ´egalement
pr´esent´ee.
Notation. Le symbole εd´esignera toujours une quantit´e positive et suffisamment petite dont
la valeur diff`erera d’une occurrence `a une autre et νd´esignera toujours un entier non-negatif qui ne
d´epend pas du param`etre principal asymptotique (X, n, x).
2 La m´ethode de van der Waerden
Nous montrons dans cette section le th´eor`eme suivant qui sera utile dans la suite.
Th´eor`eme 1 Soient a > 0et F(z)une fonction holomorphe dans |z| ≤ Aavec a < A < ∞et
F(a)6= 0. Alors l’int´egrale Id´efinie par
I:= 1
2iπ I|z|=r0
F(z)
a−zz−meXz dz(0 < r0< a)
v´erifie le d´eveloppement asymptotique
I=F(a)a−meaX Φη√m+r−mem
√2πm 
X
0≤j≤ν
cj(r)
mj+OAm−ν−1
(X→ ∞),(9)
uniform´ement pour m→ ∞ et m≤AX, o`u r=m/X,
η= signe(r−a)q2a
r+ log r a−1,
et les cj(r) = cj(r;A)sont des coefficients born´es.
D´emonstration. On ´ecrit d’abord I=I1+I2, o`u
I1=F(a)
2iπ I|z|=r0
z−meXz
a−zdz=F(a)a−m 2iπ I|z|=r1
0<r1<1
z−meaXz
1−zdz,
I2=−1
2iπ I|z|=r
f(z)z−meXz dz=−r1−mem
2πZπ
−π
f(reit)eitem(eit−1−it)dt,
o`u on a pos´e f(z) = F(a)−F(z)
a−z, qui est holomorphe dans |z| ≤ A. L’int´egrale I2se fait ensuite par la
m´ethode classique de Laplace (cf. [11, Ch. IX]):
I2=−r1−mem
√2πm 
X
0≤j≤ν
c[1]
j(r)
mj+OAm−ν−1
,(10)
4

uniform´ement pour m≤AX. Les coefficients c[1]
j(r) sont ´egalement uniform´ement born´es. On a, en
particulier,
c[1]
0(r) = f(r) = F(a)−F(r)
a−r,
c[1]
1(r) = 1
12(a−r)3(F(a)−F(r))(a2+ 10ar +r2)−12arF 0(r)(a−r)+6r2F00(r)(a−r)2.
D’autre part, l’int´egrale I1n’est d’autre qu’une fonction de Gamma incompl`ete (cf. [25]):
I1=F(a)a−mX
0≤j<m
(aX)j
j!=F(a)a−meaX G(m, aX),
o`u
G(m, Y ) = 1
Γ(m)Z∞
Y
e−ttm−1dt(Y≥0).
Comme ce qui a ´et´e fait par Temme (cf. [25]) pour G, la m´ethode de van der Waerden (cf. [28]) nous
permet d’obtenir la formule
I1=F(a)a−meaX Φ(η√m) + F(a)emr−m
√2πm 
X
0≤j≤ν
c[2]
j(r)m−j+OAm−ν−1
,(11)
uniform´ement pour m→ ∞ et m≤AX, les coefficients c[2]
j(r) ´etant eux-mˆemes born´es. On a, en
particulier,
c[2]
0(r) = r
a−r+1 η, c[2]
1(r) = r(r2+ 10ar +a2)
12(r−a)3−1 η3;
(pour une ´etude approfondie, cf. [26]).
Esquissons les principales ´etapes de la d´emonstration de (11). Supposons pour le moment m < aX.
Par le th´eor`eme de Cauchy, on dispose d’abord de la repr´esentation int´egrale
I1=F(a)emr1−m
2iπa Zσ+i∞
σ−i∞
emh(s)
1−r
asds(0 < σ < a/r),(12)
avec h(s) = s−1−log s, log prenant sa d´etermination principale. On d´eforme ensuite la ligne
d’int´egration le long de la courbe de plus grande pente (s=σ+iτ):
C:σ=τcotg τ, −π < τ < π,
sur laquelle la partie imaginaire de h(σ+iτ) s’annule. D´efinissons une application du plan complexe
de sau plan complexe de wpar l’´equation
−1
2w2=h(s),(13)
5