La réciproque du théorème de Pythagore

Chapitre V : La réciproque du théorème de Pythagore
I Activité
correction sur tableur de la conjecture page 167 du manuel (voir dans le cahier d'exercices)
II La réciproque du théorème de Pythagore
Rappels :
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Théorème de Pythagore : Si le triangle ABC est rectangle en A, alors BA  AC =BC
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Réciproque du théorème : Si BA  AC =BC , alors le triangle ABC est rectangle en A.
Cadre et conditions d'utilisation : On connaît les longueurs des trois côtés d'un triangle, on doit
prouver qu'il est rectangle.
Exemple rédigé : ABC est un triangle tel que AB=6 cm AC=8 cm et BC=10 cm
Rédaction « modèle » :
● Le côté le plus long est [BC], si ce triangle est rectangle, ça ne peut être qu'en A (étape
facultative lorsque l'angle droit à établir est cité dans l'énoncé)
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●
●
●
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BC =10 =100
Je calcule séparément
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BA  AC =6 8 =3664=100
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Je constate que BA  AC =BC
J'en déduis, grâce à la réciproque du théorème de Pythagore, que le triangle ABC est
rectangle en A.
III Algorithme
Algorithme à utiliser lorsque l'on connaît les longueurs des 3 côtés d'un triangle.
ALGORITHME signifie «succession finie d'instructions» ; ce mot vient de l'arabe (du perse), du
nom de Mr Al Kwarizmi inventeur de l'algèbre moderne.
Christelle Balloy, collège Boris Vian de Lille
Je cherche le côté
le plus long
Si le triangle est rectangle,
ça ne peut être qu'en ...
(en face du côté le plus long)
Je calcule séparément
AB² + BC² = ... + ... = ... = ...
AC² = ... = ...
Je constate que AB² + BC² = AC²
J'en déduis, grâce à la réciproque
de Pythagore que
le triangle ABC est rectangle en B
Je constate que AB² + BC²
≠ AC²
J'en déduis, grâce à la
contraposée
de Pythagore que
le triangle ABC
n'est pas rectangle en B
A la fin de l'algorithme, on a :
●
●
ou bien prouvé qu'un triangle est rectangle et c'est la réciproque qu'on utilise
ou bien prouvé qu'un triangle n'est pas rectangle et c'est la contraposée qu'on utilise!
En général on ne le sait pas au début d'un raisonnement, il faut donc attendre de savoir s'il y
a égalité ou pas avant de le dire!
Christelle Balloy, collège Boris Vian de Lille
IV Exercices d'entraînement
Dans chaque cas, le triangle est-il rectangle? Justifie.
EDF avec ED=12 cm EF=5 cm et FD=13 cm
GAZ avec GA=4,5 m AZ=2,7 m AZ=3,6 m
BOY avec OY=6,5 km YB=6,3 km et BO=1,6 km
BIC avec CI=17,3 cm BC= 26,8 cm et BI=31,4 cm
RST avec RS=15,3 cm ST=10,7 cm et RT=18,2 cm
V Exercice de brevet
Exercice faisant partie du sujet d' Amérique du nord 2001
On considère la figure ci-dessous :
L
R
M
K
S
N
On donne MN = 8 cm ; ML = 4,8 cm ; LN = 6,4 cm.
On ne demande pas de refaire la figure sur la copie.
1. Démontrer que le triangle LMN est rectangle.
2. Soit S le point de [MN] tel que NS = 2 cm.
La perpendiculaire à (LN) passant par S coupe [LN] en R.
Calculer RS. (attendre d'avoir vu le chapitre théorème de Thalès pour répondre à cette question)
Christelle Balloy, collège Boris Vian de Lille