1 S DS 7 Correction xi - a 0 5 8 P(X= xi ) 3 5 1 5 2 15 1 15 1. Il s`agit

1èreS
DS 7
Correction
Exercice 1:
1) La suite définie sur ℕ par un =3n2 – 1 vérifie :
b) un+1 = 3(n + 1 )2 – 1 = 3n2 + 6n + 2
c) u2n =3x(2n)2 – 1 = 12n2 – 1
2) La suite définie sur ℕ par u0 = 4 et un+1 = 2un – 3 vérifie :
a) u15 = 32 771
3) f est la fonction définie sur [0,5 ; + ∞ [ par f(x) =√ 2 x−1 et (un) est la suite définie pour tout entier naturel non
nul par un = f(n)
b) u 13 ∈ℕ
a) u17 > u16
4) La suite définie sur ℕ par u0 = 1 et un+1 = -2un + 5 est :
c) non monotone
Exercice 2 :
1. Les trente lettres ont toutes la même probabilité d'être atteinte. On a la loi de probabilité suivante :
xi
-a
0
5
8
P(X= xi )
3
5
1
5
2
15
1
15
9
2
1
9
18
a+
×5+
×8 = =−
a+
15
15
15
15
15
9
18
a+
E(X) = 0 ⇔ −
= 0 ⇔ a = 2. Le jeu est équitable pour a = 2.
15
15
2. E(X) =−
Exercice 3 :
1. Il s'agit d'une répétition de deux expériences aléatoires identiques et indépendantes.
R
0,10
0,75
R
0,10
0,75
C
0,15
H
0,10
R
0,75
0,15
0,15
C
0,75
0,15
H
R
0,10
H
C
C
H
2. La probabilité que les deux clients soient rapides est égale à : 0,12 = 0,01.
3. a. La loi de probabilité de D est la suivante :
xi
20
25
30
40
P(D= xi )
0,01
2
2x0,1x0,75 = 0,15 0,75 = 0,5625
2x0,1x0,15 =
45
60
2
2x0,15x0,75 = 0,225 0,15 = 0,0225
0,03
b. E(D) = 0,01x20 + 0,15x25 + 0,5625x30 + 0,03x40 + 0,225x45 + 0,0225x60 = 33,5.
Pour un grand nombre de clients, on peut espérer un temps moyen de commande pour deux clients de 33,5s.
Exercice 4 :
1. a. La suite u est définie sur ℕ par u0 = 1 et un+1 = un + n + 1 .
Pour tout n de ℕ , un+1 – un = n + 1. Or pour tout n de ℕ , n + 1 est positif, la suite u est donc croissante.
3−n
b. La suite v est définie sur ℕ par vn =
.
n+ 1
3− x
Soit f la fonction définie sur [0 ;+ ∞ [ par f(x) =
. Etudions les variations de f.
x+ 1
Comme f est une fonction rationnelle, f est dérivable sur [0 ;+ ∞ [ et pour tout réel x positif,
−1 ( x+ 1 ) −( 3−x )
− x−1−3+ x
4
=−
f ' (x) =
=
2
2
2 .
( x+ 1 )
( x+ 1 )
( x+ 1 )
4
⩽ 0 , la fonction f est alors décroissante sur [0 ;+ ∞ [ .
Pour tout réel x positif, −
2
( x+ 1 )
La suite u est donc décroissante.
2. Soit la suite (wn) définie sur ℕ par w0 = 10 et wn+1 = 2wn – 5 .
Initialisation : N prend la valeur 0
A prend la valeur 10
Traitement :
Tant que A < 10 000 Faire
A prend la valeur 2xA – 5
Sortie :
N prend la valeur N+1
FinTantque
Afficher N
Exercice 5 :
1. On jette deux dés cubiques équilibrés, on note S l'événement « on a obtenu un double-six ».
1
.
36
2. a. On lance 2 fois de suite deux dés cubiques équilibrés. Il s'agit d'une répétition de deux expériences aléatoires
identiques et indépendantes.
P( S ) =
S
S
S
S
S
A2 est l'événement « on a obtenu au moins un double-six au cours de ces 2
lancers ».
L'événement contraire est « on n'a pas obtenu un double-six au cours de ces 2
lancers », cet événement a pour probabilité :
S
( )
35 35
35
× =
36 36
36
2
( 3536 )
2
Donc P(A2) = p2 = 1−
c. Soit n un entier, n⩽ 1, on lance n fois de suite deux dés cubiques équilibrés. Il s'agit d'une répétition de n
expériences aléatoires identiques et indépendantes.
An est l'événement « on a obtenu au moins un double-six au cours de ces n lancers ».
L'événement contraire est « on n'a pas obtenu un double-six au cours de ces n lancers », cet événement a pour
35 n
probabilité :
.
36
35 n
Donc pn = P(An ) = 1−
36
35 n+ 1
35 n
c. Pour tout entier n⩽ 1,
pn+1 – pn = 1−
– ( 1–
)
36
36
35 n+ 1 35 n
+
= −
36
36
35 n 35
35 n
× +
×1
= −
36
36
36
35
35 n
− +1
=
36
36
n
1
35
=
x
36
36
n
1
35
⩽ 0 donc pn+1 – pn ⩽ 0 .La suite p est donc croissante.
Pour tout entier n⩽ 1,
x
36
36
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )(
)
( )
( )