1 S DS 7 Correction xi - a 0 5 8 P(X= xi ) 3 5 1 5 2 15 1 15 1. Il s`agit

1 ère S DS 7 Correction
Exercice 1:
1) La suite définie sur
ℕ
par u
n
=3n
2
– 1 vérifie :
b) u
n+1
= 3(n + 1 )
2
– 1 = 3n
2
+ 6n + 2 c) u
2n
=3x(2n)
2
– 1 = 12n
2
– 1
2) La suite définie sur
ℕ
par u
0
= 4 et u
n+1
= 2u
n
– 3 vérifie :
a) u
15
= 32 771
3) f est la fonction définie sur [0,5 ; +
∞
[ par f(x)
=
√
2x − 1
et (u
n
) est la suite définie pour tout entier naturel non
nul par u
n
= f(n)
a) u
17
> u
16
b)
u
13
∈ℕ
4) La suite définie sur ℕ par u
0
= 1 et u
n+1
= -2u
n
+ 5 est :
c) non monotone
Exercice 2 :
1. Les trente lettres ont toutes la même probabilité d'être atteinte. On a la loi de probabilité suivante :
x
i
- a058
P(X= x
i
)
3
5
1
5
2
15
1
15
2. E(X) =−
9
15
a+
2
15
×5+
1
15
×8 = =−
9
15
a+
18
15
E(X) = 0 ⇔−
9
15
a+
18
15
= 0 ⇔a = 2. Le jeu est équitable pour a = 2.
Exercice 3 :
1. Il s'agit d'une répétition de deux expériences aléatoires identiques et indépendantes.
2. La probabilité que les deux clients soient rapides est égale à : 0,1
2
= 0,01.
3. a. La loi de probabilité de D est la suivante :
x
i
20 25 30 40 45 60
P(D= x
i
) 0,01 2x0,1x0,75 = 0,15 0,75
2
= 0,5625 2x0,1x0,15 =
0,03
2x0,15x0,75 = 0,225 0,15
2
= 0,0225
b. E(D) = 0,01x20 + 0,15x25 + 0,5625x30 + 0,03x40 + 0,225x45 + 0,0225x60 = 33,5.
Pour un grand nombre de clients, on peut espérer un temps moyen de commande pour deux clients de 33,5s.
R
C
H
R
C
H
R
C
H
R
C
H
0,10
0,75
0,15
0,10
0,10
0,10
0,15
0,15
0,15
0,750,75
0,75
0,75

Exercice 4 :
1. a. La suite u est définie sur ℕpar u
0
= 1 et u
n+1
= u
n
+ n + 1 .
Pour tout n de
ℕ
, u
n+1
– u
n
= n + 1. Or pour tout n de
ℕ
, n + 1 est positif, la suite u est donc croissante.
b. La suite v est définie sur
ℕ
par v
n
=
3
−
n
n
+
1
.
Soit f la fonction définie sur [0 ;+
∞
[ par f(x)
=
3
−
x
x
+
1
. Etudions les variations de f.
Comme f est une fonction rationnelle, f est dérivable sur [0 ;+
∞
[ et pour tout réel x positif,
f ' (x)
=−
1
(
x
+
1
) − (
3
−
x
)
( x + 1 )
2
=
− x − 1 − 3 + x
( x + 1 )
2
=−
4
( x + 1 )
2
.
Pour tout réel x positif,
−
4
( x + 1 )
2
⩽ 0, la fonction f est alors décroissante sur [0 ;+
∞
[ .
La suite u est donc décroissante.
2. Soit la suite (w
n
) définie sur
ℕ
par w
0
= 10 et w
n+1
= 2w
n
– 5
.
Initialisation : N prend la valeur 0
A prend la valeur 10
Traitement : Tant que A < 10 000 Faire
A prend la valeur 2xA – 5
N prend la valeur N+1
FinTantque
Sortie : Afficher N
Exercice 5 :
1. On jette deux dés cubiques équilibrés, on note S l'événement « on a obtenu un double-six ».
P( S ) =
1
36
.
2. a. On lance 2 fois de suite deux dés cubiques équilibrés. Il s'agit d'une répétition de deux expériences aléatoires
identiques et indépendantes.
A
2
est l'événement « on a obtenu au moins un double-six au cours de ces 2
lancers ».
L'événement contraire est « on n'a pas obtenu un double-six au cours de ces 2
lancers », cet événement a pour probabilité :
35
36
×35
36
=
(
35
36
)
2
Donc P(A
2
) = p
2
=
1−
(
35
36
)
2
c. Soit n un entier,
n
⩽
1, on lance n fois de suite deux dés cubiques équilibrés. Il s'agit d'une répétition de n
expériences aléatoires identiques et indépendantes.
A
n
est l'événement « on a obtenu au moins un double-six au cours de ces n lancers ».
L'événement contraire est « on n'a pas obtenu un double-six au cours de ces n lancers », cet événement a pour
probabilité :
(
35
36
)
n
.
Donc p
n
= P(A
n
) =
1−
(
35
36
)
n
c. Pour tout entier
n
⩽
1, p
n+1
– p
n
=
1−
(
35
36
)
n+1
– ( 1–
(
35
36
)
n
)
=
−
(
35
36
)
n+1
+
(
35
36
)
n
=
−
(
35
36
)
n
×35
36
+
(
35
36
)
n
×1
=
(
35
36
)
n
(
−
35
36
+1
)
=
(
35
36
)
n
x
1
36
Pour tout entier
n
⩽
1,
(
35
36
)
n
x
1
36
⩽
0
donc p
n+1
– p
n
⩽
0
.
La suite p est donc croissante.
S
S
S
S
S
S