Trigonométrie (corrigé)

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www.asdmaths.net Trigonométrie (corrigé) 3g2 - ex2c
(problèmes de Brevet)
Exercice 1 :
2. Le point C appartient au cercle de diamètre [BF] donc le
triangle CBF est rectangle en C.
3. Dans le triangle BFC rectangle en C, on a :
sin a BFC = BC
BF
sin a BFC = 4
6 d’où a
BFC ! 42°
4. Méthode 1 : sans les angles inscrits
Le triangle BCF est rectangle en C donc les angles a BFC
et a CBF sont complémentaires.
donc a CBF = 90° – 42°
a CBF = 48° qu’on peut aussi noter a OBC = 48°.
C et B appartiennent au cercle de centre O, donc OB = OC. On en déduit que le triangle OBC est isocèle en
O. Ses angles à la base sont égaux. Donc a OBC = a OCB = 48°
Dans le triangle OBC, la somme des angles vaut 180° (comme dans tous les triangles d’ailleurs) :
a BOC = 180 – 48 " 2
a BOC = 84°
Méthode 2 : avec les angles inscrits
a BOC est l’angle au centre associé à l’angle inscrit a BFC .
Donc a BOC = 2 " a BFC
a BOC = 2 " 42°
a BOC = 84°
C et B appartiennent au cercle de centre O, donc OB = OC. On en déduit que le triangle OBC est isocèle en
O. Ses angles à la base sont égaux donc a OBC = a OCB (et la somme des angles vaut 180°).
a OBC = 180 – 84
2
a OBC = 48° a OCB = 48°
O
F
B
A
C

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Exercice 2 :
1. Dans le triangle CAB est rectangle en A.
sina ABC = AB
BC
sina ABC = 5
7, 5
sina ABC = 2
3 d’où a
ABC ! 42 ° On utilise pour cela la fonction inverse du sinus (sin -1 ou Asn).
2. Les droites (NC) et (MB) sont sécantes en A.
De plus, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Alors , d'après le théorème de Thalès on a AM
AB = MN BC
MN
7,5 = 2 5
5 " MN = 2 " 7,5
MN = 15
5
MN= 3 cm
Exercice 3 :
2. Dans le triangle ABD rectangle en B, on a :
tan a BAD = BD
BA
tan 40° = BD
9
BD = 9 " tan 40°
BD ! 7,6 cm
3. Le triangle ABD est rectangle en B donc son cercle circonscrit a pour centre I, le milieu de son hypoténuse,
[AD].
4. [AS) est la bissectrice de a BAD , qui mesure 40°, donc a SAB = 20°.
L'angle a SAB est un angle inscrit dans le cercle (C ) et l'angle a SIB est son angle au centre associé.
On a donc a SIB = 2 " a SAB d'où a SIB = 40° .
B
A
D
I
S

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Exercice 4 :
[Ax) est tangente au cercle en T. On a donc a OTA = 90°
1. Dans le triangle OAT rectangle en T
tan a OAT = OT
AT
tan a
OAT
1 = OT AT
OT = AT " tan a OAT
OT ! 5 cm
2. Dans le triangle OBT rectangle en T
tan a OBT = OT
BT
tan a
OBT
1 = OT BT
BT " tan a OBT = OT
BT = OT
tan a OBT
BT ! 8,6 cm
AB = AT – BT
AB ! 9 – 8,6
AB ! 0,4 cm
Exercice 5 :
1. PN2 = 169 PM2 + MN2 = 25 + 144
PM2 + MN2 = 169
Donc PN2 = PM2 + MN2
Alors, d’après la réciproque du théorème de Pythagore le
triangle MNP est rectangle en M.
2. Périmètre (MNP) = 5 + 12 + 13
Périmètre (MNP) = 30 cm
Aire (MNP) = MP " MN
2
Aire (MNP) = 5 " 12
2
Aire (MNP) = 30 cm2.
3. Puisque MNP est rectangle en M son cercle circonscrit a son centre O situé au milieu de l’hypoténuse [NP]
et son rayon vaut 13
2 = 6 ,5 cm.
4. Dans le triangle PMN rectangle en M :
tan a PNM = MP
MN
tan a PNM = 5
12 donc a
PNM ! 23°
M
N
P
O

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Exercice 6 :
1. Dans le triangle MAI, (MS) coupe (AI) perpendiculairement en S. Donc (MS) est la hauteur issue de M.
Comme le triangle MAI est isocèle en M, la hauteur issue de M est confondue avec la médiane issue de M.
Alors (MS) est aussi la médiane relative à [AI].Elle coupe donc [AI] en son milieu. S est donc le milieu de
[AI].
On a donc : AS = AI ÷ 2
AS = 11 ÷ 2
AS = 5,5 cm .
2. Dans le triangle AMS rectangle en S, on a :
tan a AMS = SA
SM
tan a AMS = 5,5
2,5
tan a AMS = 11
5 donc a
AMS ! 66° (la calculatrice affiche 65,55604522)
3. Dans le triangle AMS rectangle en S, on a :
cos a OAN = AO
AN
cos 24° = 4,5
AN
cos 24°
1 = 4,5
AN
AN ! cos 24° = 4,5
AN = 4,5
cos 24°
AN ! 4,9 m