Les différents ensembles de nombres

Muriel Fénichel et Marie-Sophie Mazollier
Septembre 2010
1
Préparation accélérée CRPE
Mathématiques
Les différents ensembles de nombres
Corrigés des exercices et synthèse de cours
Exercice 1
1.
5
12
;
52
13
; 3,14 ; 9
125 ; 0 sont des nombres rationnels décimaux.
Un nombre décimal a deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule finie.
7
22
;
3
2
et
11
12
sont des rationnels non décimaux.
Un nombre rationnel a aussi deux écritures : une écriture fractionnaire et une écriture à virgule. Cette dernière est
infinie et périodique.
π et
5
sont des nombres irrationnels. Ces nombres ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction. Ils ont
une écriture à virgule infinie et non périodique.
2.
a) VRAI.
Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Comme un nombre décimal peut toujours s'écrire sous forme
d'une écriture fractionnaire dont le dénominateur est une puissance de 10, c’est donc bien un nombre rationnel.
Ou bien
Un nombre décimal s'écrit sous forme d'une fraction irréductible dont le dénominateur s'écrit sous la forme 2
n
× 5
p
(avec n et p entiers).
Ou encore
Un nombre décimal peut s’écrire avec une écriture à virgule dont le nombre de chiffres après la virgule est fini ; il
suffit alors de multiplier ce nombre par une puissance de 10 suffisamment grande (et de diviser par cette même
puissance de 10) pour obtenir ce nombre sous forme d’une écriture fractionnaire.
Remarque :
Il ne suffit pas de donner un exemple pour justifier que l’affirmation est vraie.
b) FAUX
Remarque : Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse
1
3 est un nombre rationnel qui n'est pas un nombre décimal
(1
3 est une fraction irréductible dont le dénominateur ne s'écrit pas sous la forme 2
n
× 5
p
(avec n et p entiers) ou bien
l’écriture décimale de 1
3 est illimitée : ). 1 3 =0,333…
c) Faux
La notion « consécutif » qui suppose qu’aucun autre nombre n’est situé entre des nombres dits « consécutifs » n’a
pas de sens avec les nombres décimaux. Il y a une infinité de nombres décimaux entre 21,36 et 21,37 (par
exemple 21, 364 est un décimal compris entre 21,36 et 21,37).
3. La valeur arrondie de
7
22
au centième près d’un réel est le nombre décimal le plus proche ayant une partie
décimale composée de 2 chiffres maximum. En utilisant une calculatrice,
7
22
≈ 3,142857. Sa valeur arrondie au
centième près est donc 3,14.
La valeur approchée par excès au dixième près de
7
22
est le nombre décimal supérieur le plus proche ayant un
chiffre après la virgule. C’est 3,2. La valeur approchée par défaut au millième près de
7
22
est le nombre décimal
inférieur le plus proche ayant trois chiffres après la virgule. C’est 3,142.

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Septembre 2010
2
La valeur arrondie de 2
3 au centième près est 0,67.
La valeur approchée au dixième près de 2
3 par excès est 0,7. La valeur approchée au millième près de 2 3 par défaut
est 0,666.
En utilisant une calculatrice,
11
12
≈ 1,090909. La valeur arrondie de
11
12
au centième près est 1,09.
La valeur approchée au dixième près par excès de
11
12
est 1,1. La valeur approchée au millième près par défaut de
11
12
est 1,09.
En utilisant une calculatrice π ≈ 3,1415927 La valeur arrondie de π au centième près est 3,14.
La valeur approchée de π par excès au dixième près est 3,2.
La valeur approchée de π par défaut au millième près est 3,141.
En utilisant une calculatrice
5
≈ 2,2360679. La valeur arrondie de
5
au centième près est 2,24.
La valeur approchée par excès de
5
au dixième près est 2,3.
La valeur approchée par défaut de
5
au millième près est 2,236.
4. Encadrement de
7
22
à 10
-2
près : 3,14 <
7
22
< 3,15
Encadrement de
3
2
à 10
-2
près : 0,66 <
3
2
< 0,67
Encadrement de
11
12
à 10
-2
près : 1,09 <
11
12
< 1,1
Encadrement de π à 10
-2
près : 3,14 < π < 3,15
Encadrement de
5
à 10
-2
près : 2,23 <
5
< 2,24
5. Ces nombres sont 18,45 ; 18,46 ; 18,47 ; 18,48 ; 18,49 ; 18, 51 ; 18, 52 ; 18,53 ; 18, 54.
Exercice 2
r =2,370370…
D’où 1000x r = 2370,370…….
1000x r – r = 2370 – 2 (car les parties décimales de 1000xr et r sont les mêmes).
999x r = 2368 d’où r =2368
999
Recherche de l’écriture fractionnaire irréductible :
999 =111x9 = 111x3² = = 3x37x 3² =37x3
3
2368 n’est pas divisible par 3 puisque la somme de ses chiffres, 19, ne l’est pas divisible par 3) mais est divisible
par 37.
2368 = 37x 64 = 37x2
6
ainsi r =
3
6
3x37 2x37
=
3
6
3
2
=
27
64
Exercice 3
1. Le point peut être remplacé par 8 et 9.
27, 488 et 27,498 sont compris entre 27, 48 et 27,5.
Pour les obtenir, il était possible d’écrire tous les nombres compris entre 27,48 et 27,5 dont la partie décimale
comporte trois chiffres.
2. Voici des nombres écrits avec 5 des chiffres 0, 1, 4, 5, 8, 9 et compris entre 18 et 19 :
18,045 ; 18,049 ; 18,054 ; 18,059 ; 18,094 ; 18,095 ;
18,405 ; 18,409 ; 18,459 ; 18,495
18,504 ; 18, 509 ; 18,549 ; 18,594
18,904 ; 18,905 ; 18,945 ; 18,954.
On pouvait en choisir 8 parmi ces derniers dont les quatre premiers qui sont plus proches de 18 que de 19.

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3
Exercice 4
1. Entre 0 et 0,1 il y a 9 nombres qui s’écrivent avec deux chiffres après la virgule.
On peut les représenter par des points situés sur une droite graduée :
___________________________________________________________
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
Il est possible de graduer plus finement ce morceau de droite en considérant chaque segment compris entre deux
graduations successives et en agrandissant l’échelle pour le partager en 10 parties égales.
Par exemple, si on procède de cette manière avec l’intervalle [0 ; 0,01], le segment d’extrémité 0 et 0,01 de
longueur
100
1
sera partagé en 10 segments de mesure de longueur dix fois plus petite soit
1000
1
.
Les extrémités de ces segments situées entre 0 et 0,01 représentent des nombres décimaux qui s’écrivent avec 3
chiffres après la virgule 0,001 ; 0,002 ; …. ; 0,009. Il y en a 9.
On pourrait faire le même raisonnement pour chacun des 9 intervalles suivants : [0,01 ; 0,02] ; ….. ; [0,09 ; 0 ;1].
Il y a donc 90 nombres ayant 3 chiffres après la virgule compris entre 0 et 0,1. Si on considère que les nombres
0,01….0,09 peuvent s’écrire 0,010…..0,090, il y a 99 nombres à trois chiffres dans cet intervalle.
2. Il n’est pas possible d’écrire un tel nombre puisque entre deux nombres décimaux, il y en a une infinité d’autres.
Exercice 5
A = 5
8 + 0,25 = 5 8 + 25 100 =
8
5
+
4
1
=
8
5
+
8
2
=
8
7
7 et 8 sont des nombres premiers entre eux et donc
8
7
est irréductible.
B = 2
10 + 7 4 + 0,15 = 2 10 +
25X4 25x7
+
100
15
= 2
10 +
100
175
+
100
15
=
100
20
+
100
175
+
100
15
=
100 15+175+20
=
100
210
=
10
21
21 et 10 sont des nombres premiers entre eux donc
10
21
est irréductible.
Exercice 6
1.
1001
364
=
13x11x7 13x7x2
2
=
11
2
2
=
11
4
.
11
4
est irréductible et son dénominateur ne s’écrit pas sous la forme d’un produit
de puissances de 2 et/ou de 5. Ce n’est donc pas un nombre décimal.
Il en est de même de :
275
384
=
11x5 3x2
2
7
2.
1001
364
+
275
384
=
11
4
+
11x5 3x2
2
7
=
2
2
5x11 5x4
+
11x5 3x2
2
7
=
2
5x11
100
+
11x5384
2
=
11x5484
2
=
11x5 11x44
2
=
2
5
44
.
Cette fraction est irréductible et son dénominateur s’écrit sous la forme d’un produit de puissances de 2 et/ou de 5.
C’est donc un nombre décimal.
La somme de deux nombres rationnels non décimaux peut être un nombre décimal.
La somme d’un nombre rationnel non décimal et d’un nombre décimal est toujours un nombre rationnel non
décimal.
Exercice 7
1.
55
29
désigne un nombre décimal si on peut la transformer en écriture fractionnaire irréductible dont le dénominateur
s’écrit sous la forme d’un produit de puissances de 2 et/ou de 5.
55 = 5 x11 or ni 11, ni 5 ne divisent 29.
55
29
est donc irréductible.
55 ne s’écrit pas sous la forme d’un produit de puissances de 2 et/ou de 5.
L’écriture fractionnaire
55
29
ne désigne donc pas un nombre décimal.

Muriel Fénichel et Marie-Sophie Mazollier
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4
39
75 =
25X3 13X3
=
25
13
13 et 25 sont premiers entre eux,
25
13
est donc irréductible.
25
13
=
2
5
13
. Le dénominateur est une puissance de 5.
25
13
est un nombre décimal.
L’écriture fractionnaire 39
75 désigne donc un nombre décimal.
2.
Pour comparer ces deux nombres, on peut réduire les fractions
55
29
et 39
75 =
25
13
au même dénominateur. Le
dénominateur commun à ces deux fractions est 55x5 = 11x25 = 275.
55
29
=
275
29x5
=
275
145
et 39
75 =
25
13
=
275
11x13
=
275
143
Comme 145 > 143,
275
145
>
275
145
et donc
55
29
>39
75 .
3. 39
75 =
25
13
=
25X4 13X4
=
100
52
= 0,52
55
29
est un nombre rationnel non décimal dont l’écriture à virgule est infinie périodique : 0,527272….
0,525 est un nombre décimal inférieur à 0,527272… et supérieur à 0,52. Il est donc compris entre 39
75 et
55
29
4. La moyenne arithmétique des deux nombres 39
75 et
55
29
n’est pas un nombre décimal (car l’un des deux
nombres n’est pas un nombre décimal) et elle est nécessairement comprise entre ces deux nombres 7539 5529
Cette moyenne est égale à :
255
29
+
75
39
=
2275
145
+
275
143
=
275X2 145+143
=
550
288
=
275
144
275
144
est un nombre rationnel non décimal compris entre 39
75 et
55
29
.
Exercice 8
Il suffit de commencer la division effective de 12 par 13, on trouve 0,9230769… À partir du moment où l’on trouve
comme reste un reste déjà apparu (ici le 12), on retrouve la suite de restes (ici 12, 3, 4, 1, 10, 9), et la suite des
chiffres du quotient correspondant sera répétée (ici 9, 2, 3, 0, 7, 6).
Ici, par exemple, le 9 se trouve être le premier chiffre après la virgule, le septième, le treizième, le dix-neuvième,
etc. (de 6 en 6). De même, le 2 est le deuxième chiffre après la virgule, le huitième, le quatorzième, le vingtième
etc. (de 6 en 6). Et ainsi de suite.
Pour déterminer la n ième décimale de 1213, il suffit donc de connaître le reste dans la division euclidienne de n par
6. On a : 1348 = 6 × 224 + 4 et 5428 = 6 × 904 + 4, donc, dans la division euclidienne par 6, 1348 et 5428 ont le
même reste (4). On en déduit que la 1348 ième décimale et la 5428 ième décimale du nombre sont les mêmes (il s’agit
du chiffre « 0 »).
Exercice 9
Procédure algébrique :
Soit x l’effectif total de l’entreprise. L’effectif total est égal à la somme des effectifs de chaque catégorie de
personnel :
L’effectif des cadres est égal à
60
x
.
L’effectif des techniciens est égal à
12
x
.

Muriel Fénichel et Marie-Sophie Mazollier
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5
Le reste (x -
60
x
-
12
x
) comprend les ouvriers et les employés.
L’effectif des ouvriers correspond à
27
25
du reste soit à
27
25
(x -
60
x
-
12
x
) et il reste 20 employés.
On a donc x =
60
x
+
12
x
+
27
25
(x -
60
x
-
12
x
) + 20 ⇔ x =
60
x
+
60
x5
+
27
25
(x -
60
x
-
)60
x5
) +20
En multipliant les deux membres de l’égalité par 60 et 27 soit par 1620, on obtient l’égalité suivante :
1620x = 27x +135x + 25 (60x – x – 5x) + 32400 ⇔ 1620x = 27x +135x + 1500x – 25x – 125x + 32 400
⇔ 1620x – 27x -135x -1500x +25x +125x = 32 400 ⇔ 108x= 32400 ⇔ x = 300
L’entreprise compte 300 personnes.
Autre procédure
Les ouvriers et les employés représentent la fraction 1-(
60
1
+
12
1
) de l’effectif total soit 1-(
60
1
+
60
5
) = 1-
60
6
= 1-
10
1
=
10
9
de l’effectif total.
Les ouvriers représentent les
27
25
de ce reste et les employés représentent les
27
2
de ce reste, soit
27
2
x
10
9
de
l’effectif total, c’est –à-dire
15
1
de l’effectif total. Comme il y a 20 employés, l’entreprise compte 15 fois plus de
personnes soit 15x20 = 300.
Synthèse
L’ensemble des nombres entiers naturels :
N = {0, 1, 2, 3,......}
C’est un ensemble infini : après un nombre quelconque, on peut toujours en trouver au moins un autre : tout
nombre entier naturel a un successeur.
C’est un ensemble discret : les nombres entiers naturels ne permettent que de graduer une demi-droite et entre
deux graduations successives, il n’en existe pas d’autre qui puisse représenter un nombre entier.
Dans cet ensemble, il existe des équations qui n’ont pas de solution : par exemple 4 + ? = 2 n’a pas de solution
dans N. Plus généralement, l’équation a + ? = b avec a > b n’a pas de solution.
L’ensemble Z des entiers relatifs
Z complète l’ensemble des entiers naturels : il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés :
Z = {...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.....} N ⊂ Z
Ces nombres ne sont étudiés qu’au collège. Ils sont utilisés dans différents contextes.
Ils permettent de graduer la droite de manière plus complète que les nombres entiers naturels, mais l’ensemble Z
est un ensemble discret : entre deux graduations successives représentant deux nombres relatifs, il n’en existe pas
d’autre qui puisse représenter un nombre entier relatif.
Dans cet ensemble, l’équation a + ? = b a toujours une solution même si a > b, mais certaines équations comme
2 x ? = 5 n’a pas de solution dans Z.
L’ensemble Q des nombres rationnels
Cet ensemble est composé des nombres solutions d’équations du type a x ? = b avec a et b entiers relatifs et b ≠
0 . C’est donc l’ensemble des nombres écrits sous forme de fractions
b
a
(b ≠ 0). Ce sont des nombres qui sont
quotients de deux entiers relatifs.
N ⊂ Z ⊂ Q
Entre deux nombres rationnels, on peut toujours en trouver un autre ; autrement dit, l’intervalle [q
1
, q
2
] où q
1
et q
2
sont deux nombres rationnels comporte une infinité de nombres.