Crible de Brun

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
B ERNARD T EISSIER
Crible de Brun
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome
exp. no 11, p. 1-13
7, no 2 (1965-1966),
<http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1965-1966__7_2_A1_0>
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11-01
Séminaire DEIANGE-PISOT-POITOU
Nombres)
(Théorie
année, 1965/66, n°
des
7e
28
11
février 1966
CRIBLE DE BRUN
par Bernard TEISSIER
1. Préliminaires.
Notre but est
d’exposer
quelques résultats
pour obtenir
la méthode suivie par V.
BRUN, dans
nombres premiers
concernant les doublets de
et la
conjecture
de
Goldbach.
2. Le crible d’ Erato sthène .
Le crible d’Eratosthène est
premiers va
sur
diviseur premier
le fait que, si
p ~ ~ ~, .
On
déterminer
méthode permettant de
~, , connaissant les nombres
p
de est fondée
une
un
nombre
peut présenter
premiers 2 5
n ~
a
Cette métho-
p
composé,
est
les nombres
il
le crible d’ Erato sthène
a au
moins
sous
un
la forme
suivante :
Considérons les progressions arithmétiques :
Chaque progression
est telle que
son
dernier terme
On voit facilement que les termes de la
tous les termes des
nombre
3.
lignes restantes,
première ligne, qui
sont les nombres
sont
~." _ ~ ~ ~ .
p. 1.
afférents
premiers 4X
p ~
x
de
et le
1 .
Nombres premiers x
(A)
soit ~. x , i. e.
On
se
p
x .
propose de dénombrer les nombre s
évidence. Pour cela, BRUN
forme suivante :
commence
par
p ~ x ainsi mis er
le crible d’Eratosthène sous la
premiers
généraliser
Considérons les progressions arithmétiques :
x , i.
s’étendant jusqu’à
sont les
premiers
r
x-a~
03BB0 = [X - 0394 0394] ;
e.
nombres
et
premiers,
[1 pi] , p1 ,
03BBi =
D , 0394 , a1 ,
...,
... , pr
ar
sont des
en-
tiers vérifiant:
~ ,
,
est le nombre de termes de la première
x , 2 , ... ,
égaleli e différents de tous le s terme s de s li e s restantes. Ce nombre dépend
ment de
à,
... ,
DÉFINITION
li es
(B)
ar .
remière ligne est dit barré ar l’ensemble de
s’ il est égal à un élément d’une de ces li es.
2. - Un élément de la
(L1 ,
On
p)
N(D
DEFINITION 1. -
... ,
se
Ln) ,
propose d’ évaluer
N(D,
x ,
2,
... ,
pr) . Or,
on
sait évaluer
le s ternes de la forme*
On
peut,
pour
se ramener au
calcul de tels termes, utiliser la formule :
Démonstration. - On barre tous les termes
communs
à la
ligne
et
aux
r
à
(La)
lignes suivantes, et eux seulement ; on barre d’abord les termes communs
et
et aux r - 1 lignes suivantes, puis les termes communs à
(Lr), difféOr, diaprés un théorème classique,
rents de tous les termes de
... ,
puisque
(D, p )
arithmétique
=
1 ,
les termes
de même nature que
communs
(La) ;
1.
à
e. :
et
(L )
forment
une
progression
0~a’ Dp r ,
avec
On
où
(Dpr , p.)
z
et
-1
donc 1
a
est le nombre d’éléments de la
N
Remarque. -
N(Dp ,
puisque, en
prend en compte
d’où
(1 ) .
rapporte pas au même crible,
Cependant l’approximation faite à la fin du calcul
différences de cette nature, et justifie que nous ces-
x , 2 ,
toutes les
première ligne,
i o . ,
pr-1)
ne
se
sions des maintenant de faire la di stinction o
C
et
en
(1)
En écrivant
sommant,
obtenus,
apparaître
BRUN revient
posons que la formule obtenue
pui s
au
appliquant (2) à chacun des
dre m + 1 . La formule, étant
En
m
=
( L ), (’~ ,
r ,
(3)
au cas
... ,
qui l’intéresse, i.
x~ ,
des termes de la forme
chacun de s terme s de la somme,
Avec
lignes
(L,
L),
... 9
il vient:
Ces résultats
Pour faire
pour les
fournit
tion de termes de la forme
recommencer sur
bout de m
telles
le s
e.
D
=
1 :
peut appliquer (2) à
terme s obtenus, etcc» Supon
opérations
soit :
termes de la dernière somme, on trouve (3) à liorvraie pour m = 1 , est vraie pour tout 1 m r .
expression de N(1 , x , 2 , ... , pr)
N(A , x) ...
une
en
fonc-
Cherchons
une
approximation
de
N(1 ,
x ,
2,
... ,
p~)
à l’aide de
(3) :
d’a-
près:
nous
obtenons, par exemple pour
où
R
m
et
désigne
r
pour obtenir
Etude
4.
le nombre de termes à
vérifiant
La fonne des
pair :
m
m~ r~n ,
approximations
une
faites
parenthèse :
tel que
ne
permet
N(l~x~2~
minoration de
du crible
n
l’intérieur de la
pas d’utiliser
un
procédé
analogue
...~
de Brun.
Considérons maintenant le crible :
où
... , pr
senties
des entiers vérifiant :
r
premiers
nombres
premiers,
A , D ,
sont
les
progressions s’étendant jusqu’à
(L’ ) doit confondre
ligne
(L ) . Il y donc
Remarque. termes de
se
de
(i) Prenons 0394 = D = 1 ,
rents de tous les termes des autres
p - 2
tels que
(ii)
Soit
soit
pair.
On voit facilement que, si
Le nombre de termes
de
(si
x
(B)
de la
en
la
un
somme
nombre
p. ) x ,
première ligne
1 ,
k
de la
... ,
r ,
al = ?
pour
première ligne,
première ligne
les
dans le
et pour
première ligne
de deux nombres
lignes
est
diffé-
non
barré,
et
r
=
,_
x =
L,
et
p~
cas
est donc le nombr.e de décom-
premiers compris
+
Li
P(1 , x , 2 , 3 ,
Evaluation du nombre
r >
i =1 , 2 ,
Choisissons A = D = 1 ;
décompositions
sonnement analogue à celui
pour
p ~ ~ puis :
tel que
n
lignes, sont les nombres premiers
effacés de la
non
lion distingue les
Remarque. - Si
=
1 :
n’est pas le nombre
p o sitions
veut pas barrer tous les
et le nombre 1 .
premier,
nombre
un
x
ne
On voit facilement que les éléments de la
r .
... ,
r
pour
a. = p.
si l’on
exceptionnelle.
crible. - Prenons
ce
(L )
avec
une
a
(A) Usages
i = 2 ,
x .
p~
se
et
x
=
entre
p~
~x
et
x -{X
+
confondent.
... ,
p)
de termes
non
barrés
où toute s les lignes sont distinctes. - Un rai-
du § 3 (B)
fournit :
1 :
_,
_,_
Remarquons
De
plus,
(remarque),
Enfin,
P ~~ , x) =
que
x) .
o
vertu de la linéarité des
en
nous
utiliserons la formule
équations,
une
majorante,
et
toujours difficile,
peut ne pas tenir compte de la première ligne. On obtient,
gue à celui du § 3 (C), pour m pair : m r n ,
E.
la
i-ième fonction
symétrique élémentaire
alors :
et
une
majoration
du 2e membre fournira
Nous pouvons écrire :
et l’on sait que :
(B)
on
remarque que,
puisque
on
Appelons
qu t en 3
plus simple :
la recherche d’une minorante étant
si l’on cherche
pour la même raison
une
majoration
de
de
par
un
calcul analo-
(2 3 , 2 5 ,
...,
"*") ?
et le second orochet est
absolue si
m .
~~~
une
suite de termes alternée
Donc si
~~
r
m
n ,
nous
qui décroissent
en
pouvons écrire :
Déplus:
H
(i)
(l
--~L)
2ir
(ii)
et
s
1
BRUN choisit
et
m
a
d’après
inégalité classique.
la formule de
Stirling.
r .
tel que :
bien alors :
effet, d’après
d’où ,
2
r
que du choix de
une
tel que 1
et l’on
En
diaprés
E.) ~
03A3m+11 (m+1) ! (303A31 m+1)m+1,
dépend
ne
~~
exp(-
Pi
pour
log log
x
un
résultat classique :
suffisamment
p - 2 . ~1
2
grand :
log log
px
12
log log
x . m
18
log lo g
x
valeur
et l’on
peut majorer
à l’ aide de
d’où
finalement,
Pour
et
x >
pour
soit
3 ,
une
Z(x)
m, r , et
vient :
certaine constante
K
le nombre de nombres
assez
grande,
x >
x~ :
premiers jumeaux compris
entre
C
x:
Remarque. le reste
R
E. LANDAU
a
est tellement
montré dans
grand
Ayant obtenu
(lo) 9
Si
sont tels que
p. ,
a une
est
[3]
que, si l’on fait
que l’on n’obtient même pas
m == r = n
une
dans
majoration
(6),
de la
Z(x) K x log x .
forme
y
encadrements de
ces
pi
BRUN
peut démontrer
p! = p.
+ 2
le théorème suivant
soit
infinité de doublets, la série
convergente.
Il utilise pour cela le résultat suivant :
premier,
p.
s
étant
premier,s’il
E
Soit
et
n
un
ensemble d1entiers
conque. On
positif
entier
un
Les deux sommes sont
et soient
positifs,
a :
réalité finies.
en
ZEE,
Démonstration, - Le nombre de parties entière s
03A6(na- 03A6 (n),
qui
ce
On
est le résultat annoncé.
en
=
à
A
un
doublet:1
3
de côte pour
~-1~~
,
(lognr
étant
ce
et
déduit que, si À =
laisse
(n)
est
a
a+1d’où
partenant
(on
valant
une
p
le
nombre
Premier «
n
dans deux
doublets).
Posant
plus grand
ap-
,
ne
pas faire
figurer 5
il vient :
fonction décroissante de
t,
le 2e membre est
qui démontre la convergence -
^
Remarque. - E. LANDAU
a
donné
une
démonstration bien plus rapide dans
[3], à
(C)
d’ou
03A31
03A3’1
Soient
Or
x = p03B11a1
d’ où
p
de Goldbach. - Il faut
problème
Le
a~
, ... ,
.....
p
les nombres
av
>
p03BD!
exp
dp 03BD
premiers x
certaine constante
une
pour
trouve facilement que
ce
qui permet
G(2x)
premiers,
est le nombre de
de montrer que, si
de deux nombres
somme
Le crible de Brun fournit donc des résultats
conjecture
de
no rations de
Goldbach,
mais les résultats
P(1,
2,.o., p )
x ,
Selberg (voir [4]
5. Le crible de
La méthode de SELBERG est
(a)
les
et
d
E
un
décompositions
problème
le
importants seraient
P’ ( 1 , x , 2 ,
de
2x
des doublets et la
obtenus par des mi-
p).
[5]).
plus générale
plus précis.
Soit
et
sur
que celle de
BRUN,
et conduit à des ré-
Soit
P
’
ensemble de
N
entiers
positifs.
premiers. On note P l’ensemble des nombres
diviseurs premiers appartiennent à P (1 E P) .
nombres
x ! alors:
divisant
pui sque
on
sultats
par
.
p03BDlog x d ,
comme
remplacer ~~
entiers
un
ensemble de
positifs
dont tous
de
propose d’évaluer le nombre N(E, P) d’éléments
sibles par aucun p E P . On voit facilement que :
On
se
(b)
On suppose connaître
une
visibles par
d,
de la forme :
f(d)
est
multiplicative,
où
> 1
approximation
qui sont
sans
carrée
D’après (il), (12)
Mais le
le
est
f
puisque
et de supposer
et
de
f
(o)
(i)
sont divi-
di-
n e E
majorer
il suffit de considérer les
faiblement
d
e
P
multiplicative.
multiplicative, d’où ;
plus souvent, sauf si le nombre d t éléments de
reste est plus grand que le terme principal.
qui permette
ne
(13),
L’idée de SELBERG est ici de majorer
que :
p,(a) ,
qui
du nombre des éléments
et où l’on sait
Remarque. - D’après la définition
E
de réduire le reste.
Soit
un
ou
de minorer
P est bien
1
plus petit
par
une
que
expression
djn
~~~
ensemble de nombres réels indexé
sur
P~
et tel
(il)
(p)~
et
On
impose à
Si l’on
il vient :
alors,
a
maximum
ou
dans les deux
le minimum de
cas
à
1
résoudre,
sous
un
problème
d’extremum : Trouver le
les conditions
(a)
ou
(o;’)
et
(p),
tout
,
obtenant
en
un
reste
assez
petit.
problème est compliqué. On peut le simplifier en imposant aux p~ des condirétions supplémentaires, mais on n’est plus certain alors d’obtenir le meilleur
Le
sultat
possible.
SELBERG,
pose
=
est
et
On
p.
pour diminuer 1
0 pour d > z,
a
bien alors :
une
dans le
z
étant
un
cas
de la recherche d’une
nombre à choisir :
suite de nombres réels satisfaisant
majorante,
11-13
Il s ~ agit alo r s de t rouve r le minimum de
sous
la condition
puis
il faut choisir
en
entier
>
p ~
+
de
z
SELBERG obtient
façon
à obtenir
reste
un
assez
petit.
majoration que BRUN pour
prenant pour E l’ensemble des valeurs du polynôme x(x + 2) pour x
0 plus petit que N , pour P l’ensemble des nombres premiers
z
assez petit. SELBERG obtient en effet
E > 0
méthode,
Par cette
Z(x),
1 ,
h~ -
SELBERG obtient
2)1 2 ,et
=
une
bien meilleure
N ~ /z..E ,
(voir [4]) :
Mais SELBERG
Goldbach,
il
Cependant,
ne
a
montré que, pour le
pouvait obtenir
d’ autre s
proches
de la
des doublets et la
que des minorantes
’méthodes, apparentées
d’obtenir des résultats. En
tats bien
problème
particulier,
au
de
conjecture
négatives.
crible, plus élaborées
E. BOMBIERI
a
ont
permis
obtenu récemment des résul-
conjecture de Goldbach.
BIBLIOGRAPHIE
[1] BRUN (Viggo). -
La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + premiers
1/17 + 1/19 + 1/29jumeaux"
+ 1/31 + 1/41 + 1/43convergente
+ 1/59 + 1/61 +
...
où les dénominateurs sont "nombres
finie, Bull. Sc. math., 2e série, t.
124-128.
[2]
HARDY
(G. H.)
and WRIGHT
(E. M.). -
est
43, 1919,
1re
ou
partie,
An introduction to the
p. 100-104 et
theory
of
numbers,
Oxford,
Press, 1954.
[3] LANDAU (Edmund). - Elementary number theory. - New York, Chelsea publishing
Company, 1958.
[4] SELBERG (Atle). - On an elementary method in the theory of primes, Norske
Vid. Selks. Forh., Trondhjem, t. 19, 1947, n° 18, p. 64-67.
[5] SELBERG (Atle). - The general sieve-method and its place in prime number
theory, Proceedings of the international congress of mathematician [1950.
Cambridge], vol. 1, p. 282-292. - Providence, American mathematical Society,
3rd edition. -
1952.
Clarendon