T.D. numéro 16

T.D. num´ero 16
Alg`ebre
E.N.S. Ulm, L3, 2000–2003
Univ. Paris-Sud, M1, 2004–2007
St´ephane Fischler
Exercice 1 Cet exercice est consacr´e `a diff´erentes formulations de l’axiome du choix. Pour
tout ensemble X, on note P(X) l’ensemble des parties de X.
1. D´emontrer que les trois assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i) Pour tout ensemble Enon vide, il existe une fonction c:P(E)→Etelle que, pour
toute partie non vide Xde E, on ait c(X)∈X.
(ii) Pour toute application surjective f:E→F, il existe une application g:F→E
telle que f◦g= IdF.
(iii) Pour toute partition (Ai)i∈Id’un ensemble E, il existe une partie Bayant exacte-
ment un ´el´ement en commun avec chacun des Ai.
(iv) Pour toute famille (Xi)i∈Id’ensembles non vides, le produit Qi∈IXiest non vide
(i.e. il existe une application ftelle que f(i)∈Xipour tout i∈I).
On appelle axiome du choix l’hypoth`ese suivant laquelle ces assertions sont v´erifi´ees.
2. D´emontrer que l’assertion (i) de la question 1. est vraie quand E=N, mˆeme si on ne
suppose pas l’axiome du choix.
Dans cet exercice, on suppose que l’axiome du choix est vrai, et on admet qu’il implique le
lemme de Zorn : Soit Xun ensemble ordonn´e non vide, dont toute partie totalement ordonn´ee
admet un majorant. Alors Xadmet un ´el´ement maximal (voir l’exercice 3 pour une preuve
et des rappels sur les d´efinitions).
3. D´emontrer que tout espace vectoriel Vsur un corps Kadmet une base. (Indication :
on pourra appliquer le lemme de Zorn `a l’ensemble des parties de Vform´ees d’´el´ements
lin´eairement ind´ependants)
Exercice 2 Soit Aun anneau commutatif.
1. Soit Pun id´eal premier de A(par d´efinition, cela implique P6=A). Soient I1, . . . , In
des id´eaux tels que I1I2. . . Insoit inclus dans P. Montrer que l’un (au moins) des Ik
est inclus dans P.
2. Soit Iun id´eal de A, distinct de A, qui n’est pas premier. Montrer qu’il existe des
id´eaux I1et I2de A, distincts de I, tels que I⊂I1,I⊂I2et I1I2⊂I.
3. Montrer, en utilisant le lemme de Zorn, qu’il existe un id´eal premier de Aminimal pour
l’inclusion.
On suppose d´esormais que Aest noeth´erien, c’est-`a-dire qu’il n’existe pas de suite infinie
strictement croissante d’id´eaux de A.
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4. Soit Iun id´eal de A. Montrer qu’il existe des id´eaux premiers P1, . . . , Prtels que
P1P2. . . Pr⊂I. (Indication : on pourra raisonner par l’absurde, et construire une suite
infinie strictement croissante d’id´eaux de A)
5. Montrer que le nombre d’id´eaux premiers de Aqui sont minimaux pour l’inclusion est
fini et non nul. (On pourra utiliser les questions 1., 3. et 4.)
Exercice 3 Le lemme de Zorn Le but de cet exercice est de d´emontrer (en utilisant
l’axiome du choix) le lemme de Zorn : Soit Xun ensemble ordonn´e non vide, dont toute
partie totalement ordonn´ee admet un majorant. Alors Xadmet un ´el´ement maximal. (en
fait, avec les d´efinitions ci-dessous, la partie vide est totalement ordonn´ee donc l’existence
d’un majorant pour cette partie rend superflue l’hypoth`ese que Xest non vide)
Un ensemble ordonn´e Xest un ensemble muni d’une relation d’ordre (not´ee ≤), i.e. d’une
relation r´eflexive, transitive et antisym´etrique. Etant donn´e une partie Ade X, on dit que
x∈Xest un majorant de Asi on a x≥apour tout a∈A. Si il existe un tel majorant xqui
appartienne `a A, alors il est unique et on l’appelle le plus grand ´el´ement de A. On dit que
x∈Aest un ´el´ement maximal de Asi pour tout y∈Atel que y≥x, on a y=x.
On dit que Aest totalement ordonn´ee (ou que l’ordre sur Aest total) si pour tous x, y ∈A
on a x≤you y≤x. On dit que Aest bien ordonn´ee (ou que ≤est un bon ordre sur A) si
Aest totalement ordonn´ee et que toute partie non vide de Aadmet un plus petit ´el´ement.
Soient Aet Bdeux parties de X. On dit que Aest ferm´ee dans Bsi on a A⊂Bet si
pour tous a∈Aet b∈Btels que b≤a, on a b∈A.
1. D´emontrer que le lemme de Zorn cit´e ci-dessus est une version faible de l’´enonc´e suivant :
Soit Xun ensemble ordonn´e, dont toute partie bien ordonn´ee admet un majorant. Alors
Xadmet un ´el´ement maximal.
Dans la suite de cet exercice, on d´emontre que l’axiome du choix implique la version forte
´enonc´ee `a la question 1. On fixe donc un ensemble ordonn´e X, dont toute partie bien ordonn´ee
admet un majorant. On suppose que Xn’admet pas d’´el´ement maximal. On note PBO(X)
l’ensemble des parties bien ordonn´ees de X.
2. En utilisant l’axiome du choix, d´emontrer qu’il existe une fonction g:PBO(X)→X
telle que, pour tout C∈ PBO(X), on ait g(C)6∈ Cet g(C) soit un majorant de C.
3. Soit C∈ PBO(X). D´emontrer que les parties ferm´ees dans C, et distinctes de C, sont
exactement celles de la forme {x∈C, x < c}pour c∈C.
On appelle g-ensemble toute partie C∈ PBO(X) telle que c=g({x∈C, x < c}) pour tout
c∈C.
4. Soit Cun g-ensemble. D´emontrer que C∪ {g(C)}est un g-ensemble, qui contient
strictement C.
5. Soient Cet Ddeux g-ensembles. D´emontrer que ou bien Cest ferm´e dans D, ou bien D
est ferm´e dans C. (Indication : on pourra consid´erer la r´eunion Wde toutes les parties
Bqui sont ferm´ees `a la fois dans Cet dans D)
6. Conclure. (Indication : on pourra consid´erer la r´eunion W0de tous les g-ensembles)
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