Ensemble 1

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Problème no2 : Ensembles, relations
Problème 1 –Équivalence entre l’axiome du choix et le lemme de Zorn
Le but de ce problème est de montrer que l’axiome du choix est équivalent au lemme de Zorn. Cela prouve au passage
que le lemme de Zorn est indécidable, tout comme l’axiome du choix.
Dans tout le problème, Edésigne un ensemble ordonné. Nous notons 6la relation d’ordre large, et <la relation
d’ordre stricte associée. Les notations >et >désignent comme d’habitude les relations duales de 6et <.
Nous rappelons les définitions et résultats suivants :
•L’axiome du choix stipule que pour toute famille (Ai)i∈Id’ensembles non vides, il existe une fonction de choix
f:I−→ [
i∈I
Aitelle que pour tout i∈I,f(i)∈Ai. Ainsi, on peut choisir simultanément un élément dans
chacun des Ai.
•On rappelle qu’un élément md’un ensemble ordonné Eest maximal s’il n’admet aucun majorant strict.
•On appelle chaîne un sous-ensemble Cde Etel que la restriction à Cde l’ordre de Esoit un ordre total.
Autrement dit, une chaîne Cde Eest un sous-ensemble totalement ordonné de E.
•On dit qu’un ensemble Eest inductif si toute chaîne de Eadmet un majorant.
•Le lemme de Zorn stipule que tout ensemble inductif admet un élément maximal.
•Étant donnés deux sous-ensembles Iet Ade E, nous dirons que Iest un segment initial de Asi I⊂A,I6=A,
et si pour tout x∈A\I,xest un majorant de I.
•Enfin, pour tout x∈E, nous noterons Jx={y∈E|y < x.}.
Partie I – Préliminaire sur les bonnes chaînes
Dans cette partie, nous supposons l’axiome du choix. Nous nous donnons un ensemble ordonné E, supposé inductif,
dans le but de montrer qu’il admet un élément maximal (lemme de Zorn). Pour cela, nous notons Cl’ensemble des
chaînes de E. L’ensemble Eétant inductif, ces chaînes sont toutes majorées. On note C0l’ensemble des chaînes Cde
Eadmettant un majorant strict, donc Mmajorant C, avec M6∈ C.
On définit une fonction m:C0−→ E, en posant, pour tout Cde C0,m(C)un majorant strict de Cdans E. Ainsi,
pour tout Cde C0et tout x∈C, on a x < m(C).
1. Soit C∈ C, et Iun segment initial de C. Montrer que I∈ C0.
On dit qu’une chaîne Cde Cest bonne si pour tout segment initial Ide C,m(I)∈Cet m(I)est le plus petit élément
de C|I. On note Bl’ensemble des bonnes chaînes.
2. Soient C1et C2deux bonnes chaînes distinctes et x∈C1∩C2.
(a) Montrer que C1∩Jxest un segment initial de C1.
(b) On suppose que C1∩Jxest un segment initial de C2. Montrer que C1∩Jx∈ C0, que m(C1∩Jx)∈C1∩C2,
et que m(C1∩Jx) = x.
(c) En déduire que si C1∩Jxest un segment initial de C2, alors C1∩Jx=C2∩Jx.
(d) Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) C1∩Jxest un segment initial de C2
(ii) C2∩Jxest un segment initial de C1.
On note C∗={x∈C1∩C2|C1∩Jxest un segment initial de C2.}. On a évidemment C∗⊂C1et C∗⊂C2. Les
chaînes C1et C2étant distinctes, une au moins de ces inclusions est stricte. On suppose dorénavant que C∗6=C1.
3. (a) Montrer que pour tout x∈C∗, et tout z∈C1, si z < x, alors C1∩Jzest un segment initial de C2.
1

(b) En déduire que C∗est un segment initial de C1.
4. En raisonnant par l’absurde, et en considérant m(C∗), montrer que C∗=C2
Ainsi, on a montré qu’étant données deux bonnes chaînes C1et C2distinctes, l’une est segment initial de l’autre.
Partie II – L’axiome du choix implique le lemme de Zorn
On garde les hypothèses, la terminologie et les notations de la partie précédente. L’ensemble Bétant toujours l’ensemble
des bonnes chaînes, on note
C=[
C∈B
C,
l’union de toutes les bonnes chaînes. On pourra dans cette partie utiliser le résultat de la partie II, même si on n’est
pas parvenu à le démontrer : de deux bonnes chaînes, l’une est segment initial de l’autre, et en particulier, l’une est
incluse dans l’autre.
1. Montrer que Cest une chaîne, c’est-à-dire un sous-ensemble totalement ordonné de E.
2. Soit C∈ B une bonne chaîne distincte de C. Montrer que Cest un segment initial de C.
3. Réciproquement, soit Iun segment initial de C.
(a) Montrer l’existence d’une bonne chaîne C0telle que I⊂C0.
(b) Montrer que Iest une bonne chaîne.
4. Montrer que Cest une bonne chaîne.
5. On suppose que C∈ C0, et on considère C′=C∪ {m(C)}. Montrer que C′est une bonne chaîne. En déduire
que C∈ C \ C0.
6. En se souvenant que Eest inductif, en déduire que Cadmet un maximum M, et que Mest un élément maximal
de E.
7. Où dans cette preuve a-t-on utilisé l’axiome du choix ?
Partie III – Le lemme de Zorn implique l’axiome du choix
On suppose dans cette partie le lemme de Zorn. On se donne une famille (Ai)i∈Id’ensembles non vides, et on cherche
à donner l’existence d’une fonction de choix f:I→[
i∈I
Ai, donc vérifiant f(i)∈Ai, pour tout i∈I. Pour cela, on
définit une fonction de choix partielle gcomme étant une fonction définie sur un sous-ensemble Jde I, à valeurs dans
[
i∈I
Ai, et vérifiant pour tout j∈J,g(j)∈Aj. On note Cl’ensemble des fonctions de choix partielles. On définit une
relation sur Cpar :
g1g2⇐⇒ (J1⊂J2
g2|J1=g1,
où J1et J2sont les domaines respectifs de g1et g2.
1. Montrer que est une relation d’ordre sur C.
2. Montrer que si gest un élément maximal de (C,), alors le domaine de gest I(on pourra démontrer la
contraposée).
3. Montrer que (C,)est inductif.
4. En déduire l’axiome du choix.
2