Résolution des systèmes optiques et Maple

BULLETIN
DE
L’UNION
DES
PHYSICIENS
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Résolution des systèmes optiques
et Maple
par Roland BOUFFANAIS
Professeur de physique-chimie en PT
25, Leonie Hill Road
# 2202 Grangeford - Singapore 239196
[email protected]
RÉSUMÉ
Nous nous proposons dans cet article d’illustrer l’utilisation du logiciel MAPLE en
complément des travaux pratiques d’optique. Ce logiciel permet de simuler des situations
physiques difficilement réalisables en pratique ; des simulations peuvent aider les élèves
à mieux comprendre les phénomènes qu’ils étudient.
Deux situations sont envisagées dans cet article :
– la visualisation du phénomène de limite de résolution des instruments d’optique due à
la diffraction et la définition d’un critère équivalent au critère de RAYLEIGH pour définir
cette limite ;
– l’influence du nombre N de motifs constituant un réseau sur le pouvoir de résolution
de ce dernier.
1. LIMITE DE RÉSOLUTION D’UN INSTRUMENT D’OPTIQUE
Trois facteurs influencent la résolution d’un instrument d’optique (lunette astronomique, télescope, appareil photographique, etc.) : le stigmatisme du système optique le
constituant, l’acuité du récepteur d’images et la diffraction. Notre étude se limitera à l’influence de la diffraction et nous supposerons le système optique rigoureusement stigmatique.
L’instrument étant d’extension finie, il limite l’onde reçue depuis l’objet et diffracte
cette dernière. A chaque objet supposé ponctuel (étoile lointaine par exemple) correspond
une tache image centrée sur l’image géométrique.
1.1. Diffraction par une pupille circulaire
La première étape de notre étude est d’étudier la tache de diffraction obtenue par
diffraction d’une onde plane à travers une pupille circulaire (symétrie de révolution des
instruments d’optique).
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Figure 1 : Observation de la diffraction de FRAUNHOFER due a une pupille circulaire.
L’application du principe d’HUYGENS-FRESNEL dans le cadre de la diffraction de
FRAUNHOFER (formation des images) donne l’intensité I diffractée dans une direction
définie par le rayon angulaire i, pour une pupille circulaire de diamètre D = 2R (cf.
figure 1). Cette pupille représente le diaphragme d’ouverture de l’instrument d’optique
étudié. L’intensité sur l’écran est identique à celle du montage suivant (cf. figure 2) qui
correspond à la formation de l’image d’un point objet à distance finie.
Figure 2 : Formation de l’image d’un point source à distance finie.
La symétrie de révolution du système optique impose à l’intensité I de ne dépendre
que de i ; son calcul fait apparaître la fonction de BESSEL d’ordre 1 J1 (x) :
J J (2r R sin i / m) N2
O
I (i) = 4 I 0 KK 1
2r R sin i / m O
L
P
I 0 étant l’intensité maximale au niveau de l’image géométrique. En pratique, l’angle i
sera faible et nous prendrons sin i - i.
Les commandes MAPLE suivantes permettent de tracer cette fonction de la variable i
(on prend 2R / m = 1 et I 0 = 1/4 pour ce tracé) :
> with(plots):
> i:=(BesselJ(1,Pi*theta)/(Pi*theta))^2;
BesselJ(1, ri)2
i: =
r2 i2
> plot(i,theta=–4..4);
La fonction de BESSEL d’ordre 1 J1 (x) est intégrée à MAPLE par le biais de la commande BesselJ(1,x) (cf. figure 3).
Remarquons que la largeur angulaire de la tache centrale qui est de loin la plus
lumineuse, est Di = 1, 22 en variable réduite soit Di = 1, 22 m / D. Ce résultat généralement admis est ici vérifié graphiquement.
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Figure 3 : Tracé de la fonction de BESSEL d’ordre 1 par MAPLE.
Néanmoins le graphe précédent n’est pas représentatif de ce qui est observé en pratique sur un écran ou bien directement à l’œil. En effet l’observation donne une image
plane bidimensionnelle où l’intensité en tout point est donnée par le graphe précédent.
Pour simuler à l’aide de MAPLE ce qui est effectivement observé, nous procédons de la
façon suivante :
> with(plots):
> i:=(BesselJ(1,Pi*sqrt(x^2+y^2))/(Pi*sqrt(x^2+y^2)))^2;
BesselJa1, r x2 + y2 k
2
i: =
r2 (x2 + y2)
> contourplot(i,x=-3..3,y=-3..3,filled=true, coloring=[white,bluel,
>
contours=[0.001,0.003,0.008,0.012,0.016,0.02],grid=[100,100]);
Dans la simulation précédente la variable angulaire i a été remplacée par la variable
linéaire radiale r = x2 + y2. Ce changement de variable ne pose aucun problème si nous
n’oublions pas que nous travaillons avec des variables réduites, en effet :
sin i - i
et
r =
tan i - i - L
x 2 + y2
L
la distance L étant définie sur les figures 1 et 2. En variable réduite, nous prenons L = 1.
La commande MAPLE contourplot(i,...) à la base de ce graphe représente les
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Figure 4 : Simulation de la tache de diffraction due à une pupille circulaire.
lignes de niveau de la fonction i associée à l’intensité lumineuse I. Le dégradé de gris est
rendu proportionnel à l’intensité lumineuse au point de coordonnées (x, y) à l’aide de
l’option coloring. L’option grid quant à elle définit le pas de la grille de calcul dans le
plan du graphe.
L’option contours est fondamentale pour la commande contourplot ; elle permet de
choisir la valeur de la « ligne de niveau » I = Cte à tracer. Le choix de ces valeurs est suggéré par l’allure de l’intensité tracée précédemment pour observer les anneaux concentriques et non pas uniquement la tache centrale, il faut prendre des contours de valeur
inférieure à 0,05.
Sur la figure 4, nous retrouvons bien les caractéristiques de la tache d’AIRY : une
tache centrale très lumineuse, centrée sur l’image géométrique et entourée d’anneaux
concentriques d’intensité moindre.
1.2. Observation de deux sources lumineuses incohérentes
de même intensité
1.2.1. Figure de diffraction
En supposant l’objet ponctuel, nous venons de voir que l’image de ce point est une
tache. Deux points objets voisins donnent deux taches, qui s’ajoutent en intensité car il
s’agit d’objets incohérents. L’écart angulaire f entre ces deux objets ponctuels est alors
le paramètre fondamental de notre étude. Simulons à l’aide de MAPLE deux situations
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Figure 5 : Diffraction par une pupille circulaire avec deux sources incohérentes.
limites correspondant aux deux situations physiques suivantes :
♦ Pour de grandes valeurs de f les deux taches images sont distinctes, les deux objets
sont résolus par le système optique. Nous retrouvons avec MAPLE cette situation en
prenant f = 1, 5 (cf. figure 6) dans nos variables réduites (1).
> with(plots):
> i:=(x,y)->(BesselJ(1,Pi*sqrt(x^2+y^2))/(Pi*sqrt(x^2+y^2)))^2;
i: = (x, y) "
BesselJa1, r x2 + y2 k
2
2
r 2 x 2 + y2
> contourplot(i(x,y)+i(x-1.5,y-1.5),x=-5..5,y=-5..5,filled=true,
>
coloring=[white,blue],
>
contours=[0.001,0.003,0.008,0.012,0.016,0.02],grid=[100,100]);
Figure 6 : Simulation de la tache de diffraction avec f = 1, 5.
(1)
i 0 = f = r / L est la position de l’image désaxée.
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♦ En deçà d’une certaine valeur de l’écart angulaire f, les taches se confondent et les
deux objets ne sont plus résolus. La simulation faite avec f = 0, 5 correspond à l’observation suivante (cf. figure 7) ;
> with(plots):
> i:=(x,y)->(BesselJ(1,Pi*sqrt(x^2+y^2))/(Pi*sqrt(x^2+y^2)))^2;
i: = (x, y) "
BesselJa1, r x2 + y2 k
2
2
r 2 x 2 + y2
> contourplot(i(x,y)+i(x-0.5,y-0.5),x=-4..4,y=-4..4,filled=true,
>
coloring=[white,blue]
>
contours=[0.001,0.003,0.008,0.012,0.016,0.02],grid=[100,100]);
Figure 7 : Simulation de la tache de diffraction avec f = 0, 5.
1.2.2. Critère de résolution
Entre les deux situations simulées dans la section précédente, se trouve une situation intermédiaire correspondant à la limite de résolution de l’instrument étudié lorsque
le détecteur (rétine, film...), dont le pouvoir résolvant est supposé infini, ne permet plus
de distinguer les deux points. La détermination de cette limite est subjective et le choix
d’un critère la définissant l’est aussi. Le critère usuel est celui de RAYLEIGH.
Nous pouvons utiliser nos simulations pour définir un autre critère. Considérons la
situation suivante correspondant à f = 1, 3 (cf. figure 8) :
> with(plots):
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> i:=(x,y)->(BesselJ(l,Pi*sqrt(x^2+y^2))/(Pi*sqrt(x^2+y^2)))^2;
i: = (x, y) "
BesselJa1, r x2 + y2 k
2
2
r 2 x 2 + y2
> contourplot(i(x,y)+i(x-1.3,y-1.3),x=-2.3..2.3 ,y=-2.3..2.3,filled=true,
> contours=[0.01,0.015,0.02,0.03],grid=[100,100]);
Figure 8 : Simulation de la tache de diffraction avec f = 1, 3.
La figure de diffraction présente une zone de rétrécissement de largeur t située entre
les deux taches. Cette largeur t est une fonction décroissante de l’écart angulaire f entre
les deux points sources :
– lorsque les deux points sont confondus f = 0 alors t est maximale avec t (f = 0) = 2R
où R est le rayon de la tache centrale ;
– t s’annule quand les deux taches centrales sont disjointes.
La limite de résolution se situe entre ces deux valeurs extrêmes. Notre critère la
définissant est le suivant : la limite de résolution de deux points incohérents, d’intensités
égales, est atteinte lorsque la largeur t du rétrécissement devient égale au rayon R de la
tache centrale. La simulation ci-dessus représente cette situation.
2. ÉTUDE DU POUVOIR SÉPARATEUR D’UN RÉSEAU
Les réseaux sont utilisés en travaux pratiques au même titre que les prismes, pour
leur caractère dispersif. Ils entrent dans la constitution des spectroscopes, appareils servant à l’analyse spectrale d’une lumière. Le paramètre fondamental pour caractériser un
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spectroscope est son pouvoir de résolution, qui permet de mesurer sa capacité à séparer
deux longueurs d’onde très voisines. Il est défini par le rapport R = m / Dm, Dm étant le
plus petit intervalle spectral résolu.
Deux principaux phénomènes peuvent contribuer à limiter le pouvoir de résolution
R d’un spectroscope :
– la largeur de la fente d’entrée limite géométriquement R ;
– le pouvoir de résolution intrinsèque de l’élément dispersif est limité par la diffraction
liée à cet élément dispersif.
Dans cette section, nous n’étudierons que la résolution intrinsèque R0 du réseau.
Pour le spectre d’ordre k, nous pouvons démontrer que R0 = kN , où N est le nombre de
motifs (des fentes) constituant le réseau.
La situation physique à modéliser est la suivante : le réseau est éclairé par une lampe
à vapeur de sodium que nous représenterons par un doublet de raies d’intensités égales,
de longueurs d’onde m et m + Dm. L’écart en longueur d’onde Dm étant fixé, nous allons
faire varier le nombre N de fentes du réseau et observer l’intensité diffractée dans chaque
spectre k.
Le but de notre simulation étant d’étudier le pouvoir de résolution d’un réseau, nous
avons fait l’hypothèse fortement simplificatrice de l’égalité des intensités des raies du
doublet. On pourrait envisager d’étendre notre étude au cas plus général d’un doublet
constitué de raies d’intensités différentes. Cela rend plus délicat l’étude théorique, en
revanche, la simulation à l’aide de MAPLE est aisément généralisable. Il suffit d’introduire
un paramètre adimensionné supplémentaire n défini comme étant le rapport entre les
intensités maximales pour chacune des raies du doublet.
En revenant à notre hypothèse de départ, l’intensité diffractée dans la direction définie par l’angle i, par un réseau constitué de N fentes de largeur f est :
2
2
sin (Nra sin i / m
I (i) = I 0 e sinc c rf sin i m o e
o
N sin (ra sin i/m)
m
1 4444 2 4444 3 1 44444 2 4444
43
terme de diffraction terme d’interference
a étant le pas du réseau.
Pour les tracés qui vont suivre nous travaillerons avec les variables réduites :
a le rapport entre le pas du réseau et la largeur des fentes.
u = rf sin i et h = f
La commande MAPLE suivante permet de définir l’intensité I comme une expression
en u et une fonction de N, h et m :
> i:=(N,h,lambda)->(sin(u/lambda)/(u/lambda))^2
>
*(sin(N*h*u/lambda)/(N*sin(h*u/lambda)))^2;
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sin c u m m2 sin c N h u m
m
m
i: = (N, h, m) "
2
u2 N 2 sin c h u m
m
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Le théorème de WIENER - KHINTCHINE assure que l’intensité résultante est la somme
des intensités dues à chacune des raies. Le tracé de l’intensité I fait apparaître des pics
relativement fins ce qui nécessite d’augmenter le nombre de points calculés (option numpoints) et la résolution du graphe (option resolution) pour pouvoir les observer. La première
simulation correspond aux valeurs suivantes : N = 10 fentes, h = 5, m = 1 et Dm = 0,1.
> plot(i(10,5,1)+i(10,5,1.1),u=Pi..Pi,resolution=1000,numpoints=1000,
>
color=black);
Figure 9 : Intensité diffractée par un réseau de N = 10 fentes pour un doublet monochromatique.
Procédons à une seconde simulation, en ne modifiant que le nombre N de fentes :
N = 100 fentes.
> plot(i(100,5,1)+i(100,5,1.1),u=-Pi..Pi,resolution=1000,numpoints=1000,
>
color=black);
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Figure 10 : Intensité diffractée par un réseau de N = 100 fentes pour un doublet monochromatique.
Ces deux courbes (cf. figures 9 et 10) suggèrent les commentaires suivants :
♦ Pour N = 10, les deux raies du sodium ne sont pas résolues dans le spectre d’ordre 1,
mais elles le sont dans les spectres d’ordre supérieur ce qui est en accord avec la relation de proportionnalité entre le pouvoir de résolution intrinsèque R0 et l’ordre k du
spectre.
♦ Pour N = 100, on observe un affinement des pics principaux et les maxima secondaires
sont eux plus nombreux mais moins intenses (inobservables sur la figure sans zoom).
L’augmentation de la résolution est une conséquence directe de cet affinement. Avec
100 fentes, le doublet est résolu dans le spectre d’ordre 1. Nous mettons ainsi en évidence la relation de proportionnalité entre R0 et le nombre N de motifs du réseau.
CONCLUSION
Le travail présenté dans cet article est transposable dans d’autres domaines de la
physique où les simulations peuvent venir compléter les résultats expérimentaux. Le logiciel MAPLE peut être un outil pédagogique permettant de simuler des situations physiques
diverses ; en optique, où les calculs sont souvent complexes il peut s’avérer être un complément précieux des travaux pratiques.
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BIBLIOGRAPHIE
[1] CORNIL et TESTUD. Maple V, Release 4, Introduction raisonnée à l’usage de l’étudiant, de l’ingénieur et du chercheur. Springer.
[2] BORN and WOLF. Principles of Optics. Pergamon Press.
[3] MARÉCHAL A. et FRANÇON M. Diffraction, structure des images. Éditions de la revue
d’Optique.
[4] SEXTANT. Optique expérimentale. Hermann.
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