Chapitre 6 : Fonction logarithme népérien

Chapitre 6 : Fonction logarithme népérien
QCM Pour bien commencer
(cf. p. 200 du manuel)
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
Exercice n°1
La courbe représentative d’une fonction f définie sur [–3 ; 1] est donnée ci-dessous :
L’équation f(x) = –1,5 admet une seule solution sur l’intervalle :
A [–3 ; 0].
B [–2 ; –1].
C [–0,5 ; 1].
D [0 ; 1].
Réponses justes : B et C.
Pour la proposition A, FAUX : la droite d’équation y = – 1,5 coupe deux fois la courbe sur [–3 ; 0].
Pour la proposition B, VRAI : la droite d’équation y = – 1,5 coupe une seule fois la courbe sur [–2 ; –1].
Pour la proposition C, VRAI : la droite d’équation y = – 1,5 coupe une seule fois la courbe sur [–0,5 ; 1].
Pour la proposition D, FAUX : f(x) ≥ – 1 sur [0 ; 1].
Exercice n°2
L’équation ex = 0,5 admet une solution dans l’intervalle :
A ]–∞ ; 0].
B [0 ; +∞[.
C [–1 ; 0].
D [0 ; 1].
Réponses justes : A et C.
Pour la proposition A, VRAI : la fonction exponentielle est croissante, continue sur ]–∞ ; 0] à valeurs
dans ]0 ; 1].
Pour la proposition B, FAUX : pour tout réel x ≥ 0, ex ≥ 1.
Pour la proposition C, VRAI : la fonction exponentielle est croissante, continue sur [–1 ; 0] à valeurs
dans [e–1 ; 1] et 0,5 ∈ [e–1 ; 1].
Pour la proposition D, FAUX : pour tout réel x tel que 0 ≤ x ≤ 1, on a 1 ≤ ex ≤ e.
Exercice n°3
L’équation ex = k admet une solution :
A pour tout réel k.
B pour tout réel k positif.
C pour tout réel k négatif.
D pour tout réel k strictement positif.
Réponse juste : D.
Pour la proposition A, FAUX : pour tout réel x, ex > 0 et l’équation ex = – 1 (par exemple) n’a pas de
solution.
Pour la proposition B, FAUX : pour tout réel x, ex > 0 et l’équation ex = 0 n’a pas de solution.
Pour la proposition C, FAUX : pour tout réel x, ex > 0.
Pour la proposition D, VRAI : la fonction exponentielle est croissante, continue sur ℝ à valeurs dans
]0 ; +∞[ donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout k > 0, l’équation ex = k a une
solution dans ℝ.
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Exercice n°4
L’équation 6 + x − x 2 =
x avec –2 ≤ x ≤ 3 est équivalente à :
2
A 6 + x – 2x = 0.
B 6 + x – 2x2 = 0 et –2 ≤ x ≤ 3.
C 6 + x – 2x2 = 0 et 0 ≤ x ≤ 3.
D 2x2 – x – 6 = 0 et 0 ≤ x ≤ 3.
Réponses justes : C et D.
Pour les propositions A et B, FAUX : l’équation 6 + x – 2x2 = 0 admet –1,5 comme solution qui n’est
pas une solution de l’équation 6 + x − x 2 =
x.
 6 + x − x 2 =
x
⇔
Pour la proposition C, VRAI : 
−2 ≤ x ≤ 3
 6 + x − x 2 =
x
⇔
Pour la proposition D, VRAI : 
−2 ≤ x ≤ 3
2
2
x2
0
6 + x − x =
6 + x − 2 x =
⇔ 
.

0 ≤ x ≤ 3
0 ≤ x ≤ 3
6 + x − x 2 =
0= 2 x 2 − x − 6
x2
⇔ 
.

0 ≤ x ≤ 3
0 ≤ x ≤ 3
Exercice n°5
e x − e2
:
x→2 x − 2
La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, et lim
A
B
C
D
n’existe pas.
est égale à zéro.
est égale à +∞.
est égale à e2.
Réponse juste : D.
e x − e2
.
x→2 x − 2
La fonction exponentielle étant bien dérivable en 2, on remarque que exp’(x) = lim
Or exp’(2) = exp(2). La proposition juste est donc la D.
Exercice n°6
Pour tous réels a et b et tout entier n, on a :
A ea + b = ea × eb.
B ea + b = ea + eb.
C (ea)n = n ea .
D (ea)n = ena .
Réponses justes : A et D.
Pour la proposition A, VRAI : c’est une propriété usuelle sur les puissances entières.
Pour la proposition B, FAUX : pour s’en convaincre il suffit de prendre a = 0 et b = 0.
Pour la proposition C, FAUX : pour s’en convaincre il suffit de prendre n = 0 et a quelconque.
Pour la proposition D, VRAI : c’est une propriété usuelle sur les puissances entières.
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Exercice n°7
On sait que lim x 2 − x =+3 . On peut en déduire que :
x →+3
A lim+
x →0
B lim+
x →0
C lim+
x →0
D lim+
x →0
1
x2
1
x2
1
x2
1
x2
1
n’existe pas.
x
1
− =
0.
x
1
− =
+3 .
x
1
− =
−3 .
x
−
Réponse juste : C.
1
1 1
, lim+ 2 − = lim u 2 − u existe.
x
→
0
x u →+∞
x
x
1
1 1
Pour la proposition B, FAUX : en posant u = , lim+ 2 − = lim u 2 − u ≠ 0.
x u →+∞
x x→0 x
1
1 1
Pour la proposition C, VRAI : en posant u = , lim+ 2 − = lim u 2 − u = +∞.
x x→0 x
x u →+∞
1
1 1
Pour la proposition D, FAUX : en posant u = , lim+ 2 − = lim u 2 − u ≠ –∞.
x u →+∞
x x→0 x
Pour la proposition A, FAUX : en posant u =
Exercice n°8
Une équation de la tangente à la courbe d’équation y = x – 2ex au point d’abscisse zéro est :
A y = x + 2.
B y = –x + 2.
C y = –2x – 2.
D y = –x – 2.
Réponse juste : D
Pour la proposition A, FAUX : le point de tangence T(0 ; –2) n’appartient pas à la droite d’équation
y = x + 2.
Pour la proposition B, FAUX : le point de tangence T(0 ; –2) n’appartient pas à la droite d’équation
y = – x + 2.
Pour la proposition C, FAUX : le nombre dérivé de f(x) = x – 2ex en zéro est f’(0) = –1 ; le coefficient
directeur de la tangente en zéro est donc égal à –1.
Pour la proposition D, VRAI : en posant f(x) = x – 2ex, on a : f’(x) = 1 – 2ex, f’(0) = –1 et f(0) = – 2 ;
d’où l’équation y = –x – 2.
Exercice n°9
La parabole d’équation y = x2 + x – 2 admet en son point A(–1 ; –2) la tangente d’équation y = –x – 3.
On peut donc écrire :
A x2 + x – 2 ≈ –x – 3 pour tout réel x.
B x2 + x – 2 ≈ –x – 3 pour tout réel x proche de –1.
C x2 + x – 2 ≈ –x – 3 pour tout réel x proche de –2.
D x2 + x – 2 ≈ –x – 3 pour tout réel x proche de 0.
Réponse juste : B.
Pour la proposition A, FAUX : avec x = 0 on obtient : –2 ≈ –3 !
Pour la proposition B, VRAI : en x = –1, on a x2 + x + 2 = – x – 3 et pour tout réel x proche de –1, la
parabole est proche de sa tangente en –1.
Pour la proposition C, FAUX : avec x = –2 on obtient : 0 ≈ –1 !
Pour la proposition D, FAUX : avec x = 0 on obtient : –2 ≈ –3 !
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Exercice n°10
Le plan est muni d’un repère orthonormé et on note Δ la droite d’équation y = x.
L’image de la droite d d’équation y = ex par la symétrie d’axe Δ est la droite d’équation :
x
x
D y= − .
A y = ex.
B y = –ex.
C y= .
e
e
Réponse juste : C.
Pour la proposition A, FAUX : la symétrie d’axe Δ transforme la droite d en une droite différente de d.
Pour la proposition B, FAUX : la symétrie d’axe Δ transforme la droite d en une droite ayant un
coefficient directeur positif.
Pour la proposition C, VRAI : pour tout réel a, le point D(a ; ea) appartient à d. L’image du point D
x
par la symétrie d’axe Δ est le point D’(ea ; a) qui appartient à la droite d’équation y = .
e
Pour la proposition D, FAUX : la symétrie d’axe Δ transforme la droite d en une droite ayant un
coefficient directeur positif.
Exercice n°11
Le plan est muni d’un repère orthonormé et on note Δ la droite d’équation y = x.
L’image de la courbe Γ représentative de la fonction exponentielle par la symétrie d’axe Δ est la
courbe Γ’.
On peut affirmer que :
A Γ’ ne coupe pas l’axe des abscisses.
B Γ’ a pour asymptote l’axe des abscisses.
C Γ’ coupe l’axe des ordonnées.
D Γ’ a pour asymptote l’axe des ordonnées.
Réponse juste : D.
Pour la proposition A, FAUX : la courbe Γ passe par le point A(0 ; 1) donc la courbe Γ’ passe par le
point A’(1 ; 0).
Pour la proposition B, FAUX : l’axe des ordonnées n’est pas une asymptote à la courbe Γ donc l’axe
des abscisses (image de l’axe des ordonnées par la symétrie d’axe Δ) n’est pas une asymptote à la
courbe Γ’.
Pour la proposition C, FAUX : la courbe Γ ne coupe pas l’axe des abscisses donc par symétrie, la
courbe Γ’ ne coupe pas l’axe des ordonnées.
Pour la proposition D, VRAI : l’axe des abscisses est asymptote à la courbe Γ donc par symétrie, l’axe
des ordonnées est asymptote à la courbe Γ’.
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