Chapitre 6 : Fonction logarithme népérien

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Chapitre 6 : Fonction logarithme népérien
QCM Pour bien commencer
(cf. p. 200 du manuel)
Pour chaque question, il y a une ou plusieurs bonnes réponses.
La courbe représentative d’une fonction f définie sur [–3 ; 1] est donnée ci-dessous :
Exercice n°1
L’équation f(x) = –1,5 admet une seule solution sur l’intervalle :
A [–3 ; 0]. B [–2 ; –1]. C [–0,5 ; 1]. D [0 ; 1].
Réponses justes : B et C.
Pour la proposition A, FAUX : la droite d’équation y = – 1,5 coupe deux fois la courbe sur [–3 ; 0].
Pour la proposition B, VRAI : la droite d’équation y = – 1,5 coupe une seule fois la courbe sur [–2 ; –1].
Pour la proposition C, VRAI : la droite d’équation y = – 1,5 coupe une seule fois la courbe sur [–0,5 ; 1].
Pour la proposition D, FAUX : f(x) ≥ – 1 sur [0 ; 1].
L’équation e
Exercice n°2
x
A ]–∞ ; 0]. B [0 ; +∞[. C [–1 ; 0]. D [0 ; 1].
= 0,5 admet une solution dans l’intervalle :
Réponses justes : A et C.
Pour la proposition A, VRAI : la fonction exponentielle est croissante, continue sur ]–∞ ; 0] à valeurs
dans ]0 ; 1].
Pour la proposition B, FAUX : pour tout réel x ≥ 0, ex
Pour la proposition C, VRAI : la fonction exponentielle est croissante, continue sur [–1 ; 0] à valeurs
dans [e
≥ 1.
–1 ; 1] et 0,5 ∈ [e–1
Pour la proposition D, FAUX : pour tout réel x tel que 0 ≤ x ≤ 1, on a 1 ≤ e
; 1]. x
≤ e.
L’équation e
Exercice n°3
x
A pour tout réel k. B pour tout réel k positif.
= k admet une solution :
C pour tout réel k négatif. D pour tout réel k strictement positif.
Réponse juste : D.
Pour la proposition A, FAUX : pour tout réel x, ex > 0 et l’équation ex
Pour la proposition B, FAUX : pour tout réel x, e
= – 1 (par exemple) n’a pas de
solution. x > 0 et l’équation ex
Pour la proposition C, FAUX : pour tout réel x, e = 0 n’a pas de solution.
x
Pour la proposition D, VRAI : la fonction exponentielle est croissante, continue sur ℝ à valeurs dans
]0 ; +∞[ donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout k > 0, l’équation e
> 0.
x = k a une
solution dans ℝ.

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L’équation
Exercice n°4
2
6xx x+− =
avec –2 ≤ x ≤ 3 est équivalente à :
A 6 + x – 2x2
B 6 + x – 2x = 0.
2
C 6 + x – 2x = 0 et –2 ≤ x ≤ 3.
2
D 2x = 0 et 0 ≤ x ≤ 3.
2
– x – 6 = 0 et 0 ≤ x ≤ 3.
Réponses justes : C et D.
Pour les propositions A et B, FAUX : l’équation 6 + x – 2x2
2
6xx x+− =
= 0 admet –1,5 comme solution qui n’est
pas une solution de l’équation .
Pour la proposition C, VRAI :
2
6
23
xx x
x
+− =
−≤ ≤
⇔
22
6
03
xx x
x
+− =
≤≤
 ⇔ 2
6 20
03
xx
x
+− =
≤≤
.
Pour la proposition D, VRAI :
2
6
23
xx x
x
+− =
−≤ ≤
⇔
22
6
03
xx x
x
+− =
≤≤
 ⇔ 2
02 6
03
xx
x
= −−
≤≤
.
La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ, et
Exercice n°5
2
2
ee
lim 2
x
xx
→
−
−
:
A n’existe pas.
B est égale à zéro.
C est égale à +∞.
D est égale à e2
.
Réponse juste : D.
La fonction exponentielle étant bien dérivable en 2, on remarque que exp’(x) =
2
2
ee
lim 2
x
xx
→
−
−
.
Or exp’(2) = exp(2). La proposition juste est donc la D.
Pour tous réels a et b et tout entier n, on a :
Exercice n°6
A ea + b = ea × eb
B e .
a + b = ea + eb
C (e .
a)n = n ea
D (e .
a)n = ena
.
Réponses justes : A et D.
Pour la proposition A, VRAI : c’est une propriété usuelle sur les puissances entières.
Pour la proposition B, FAUX : pour s’en convaincre il suffit de prendre a = 0 et b = 0.
Pour la proposition C, FAUX : pour s’en convaincre il suffit de prendre n = 0 et a quelconque.
Pour la proposition D, VRAI : c’est une propriété usuelle sur les puissances entières.

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Exercice n°7
On sait que
2
lim
xxx →+ −=+ 3
3
. On peut en déduire que :
A 2
0
11
lim
xx
x
+
→
− n’existe pas.
B
2
0
11
lim 0
xx
x
+
→
−=
.
C 2
0
11
lim
xx
x
+
→
−=+
3.
D 2
0
11
lim
xx
x
+
→
−=−
3.
Réponse juste : C.
Pour la proposition A, FAUX : en posant u =
1
x
,
2
0
11
lim
xx
x
+
→
−
=
2
lim
uuu →+∞ −
existe.
Pour la proposition B, FAUX : en posant u =
1
x
,
2
0
11
lim
xx
x
+
→
−
=2 lim
u
uu
→+∞ −≠ 0.
Pour la proposition C, VRAI : en posant u = 1
x
,
2
0
11
lim
xx
x
+
→
−
=
2
lim
uuu →+∞ −
= +∞.
Pour la proposition D, FAUX : en posant u =
1
x
,
2
0
11
lim
xx
x
+
→
−
=
2
lim
uuu
→+∞ −
≠ –∞.
Exercice n°8
Une équation de la tangente à la courbe d’équation y = x – 2ex
A y = x + 2. B y = –x + 2. C y = –2x – 2. D y = –x – 2.
au point d’abscisse zéro est :
Réponse juste : D
Pour la proposition A, FAUX : le point de tangence T(0 ; –2) n’appartient pas à la droite d’équation
y = x + 2.
Pour la proposition B, FAUX : le point de tangence T(0 ; –2) n’appartient pas à la droite d’équation
y = – x + 2.
Pour la proposition C, FAUX : le nombre dérivé de f(x) = x – 2ex
Pour la proposition D, VRAI : en posant f(x) = x – 2e
en zéro est f’(0) = –1 ; le coefficient
directeur de la tangente en zéro est donc égal à –1. x, on a : f’(x) = 1 – 2ex
, f’(0) = –1 et f(0) = – 2 ;
d’où l’équation y = –x – 2.
Exercice n°9
La parabole d’équation y = x2
On peut donc écrire : + x – 2 admet en son point A(–1 ; –2) la tangente d’équation y = –x – 3.
A x2
B x + x – 2 ≈ –x – 3 pour tout réel x.
2
C x + x – 2 ≈ –x – 3 pour tout réel x proche de –1.
2
D x + x – 2 ≈ –x – 3 pour tout réel x proche de –2.
2
+ x – 2 ≈ –x – 3 pour tout réel x proche de 0.
Réponse juste : B.
Pour la proposition A, FAUX : avec x = 0 on obtient : –2 ≈ –3 !
Pour la proposition B, VRAI : en x = –1, on a x2
Pour la proposition C, FAUX : avec x = –2 on obtient : 0 ≈ –1 !
+ x + 2 = – x – 3 et pour tout réel x proche de –1, la
parabole est proche de sa tangente en –1.
Pour la proposition D, FAUX : avec x = 0 on obtient : –2 ≈ –3 !

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Exercice n°10
Le plan est muni d’un repère orthonormé et on note Δ la droite d’équation y = x.
L’image de la droite d d’équation y = ex par la symétrie d’axe Δ est la droite d’équation :
A y = ex. B y = –ex. C
e
x
y=
. D
e
x
y= −
.
Réponse juste : C.
Pour la proposition A, FAUX : la symétrie d’axe Δ transforme la droite d en une droite différente de d.
Pour la proposition B, FAUX : la symétrie d’axe Δ transforme la droite d en une droite ayant un
coefficient directeur positif.
Pour la proposition C, VRAI : pour tout réel a, le point D(a ; ea) appartient à d. L’image du point D
par la symétrie d’axe Δ est le point D’(ea ; a) qui appartient à la droite d’équation y =
e
x
.
Pour la proposition D, FAUX : la symétrie d’axe Δ transforme la droite d en une droite ayant un
coefficient directeur positif.
Exercice n°11
Le plan est muni d’un repère orthonormé et on note Δ la droite d’équation y = x.
L’image de la courbe Γ représentative de la fonction exponentielle par la symétrie d’axe Δ est la
courbe Γ’.
On peut affirmer que :
A Γ’ ne coupe pas l’axe des abscisses.
B Γ’ a pour asymptote l’axe des abscisses.
C Γ’ coupe l’axe des ordonnées.
D Γ’ a pour asymptote l’axe des ordonnées.
Réponse juste : D.
Pour la proposition A, FAUX : la courbe Γ passe par le point A(0 ; 1) donc la courbe Γ’ passe par le
point A’(1 ; 0).
Pour la proposition B, FAUX : l’axe des ordonnées n’est pas une asymptote à la courbe Γ donc l’axe
des abscisses (image de l’axe des ordonnées par la symétrie d’axe Δ) n’est pas une asymptote à la
courbe Γ’.
Pour la proposition C, FAUX : la courbe Γ ne coupe pas l’axe des abscisses donc par symétrie, la
courbe Γ’ ne coupe pas l’axe des ordonnées.
Pour la proposition D, VRAI : l’axe des abscisses est asymptote à la courbe Γ donc par symétrie, l’axe
des ordonnées est asymptote à la courbe Γ’.