Transformation de Fourier discrète

Transformée de Fourier Discrète
Transformée de Fourier rapide (F.F.T.)
Pierre Le Bars
(avec la collaboration de Francis Gary)
[email protected]

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Transformée de Fourier Discrète
Transformée de Fourier rapide (F.F.T.)
I/ Enoncé du problème
On a vu la dualité temps - fréquence ; connaissant le signal x(t), on peut en déduire sa
transformée de Fourier X(f) :
j.2. .f .t
X(f ) x(t).e .dt
+∞
−π
−∞
=∫ (I)
Le problème est le suivant : x(t) étant connu expérimentalement (et non
mathématiquement), est-il possible d’évaluer cette intégrale, autrement dit, est-il possible de
déterminer expérimentalement le spectre X(f) de x(t) ?
Il existe deux types d’analyseur de spectre :
• analyseurs analogiques, utilisés en hautes fréquences (supérieures à
quelques mégahertz). Ils permettent notamment d’aborder les problèmes de
CEM.
• analyseurs numériques, utilisés en basses fréquences.
Nous allons étudier cette deuxième catégorie d’analyseurs de spectre.
II/ Transformée de Fourier Discrète (TFD)
-1- Principe
neE E
x x (n.T ) x(n.T )==
On suppose le nombre de bits du convertisseur suffisant pour négliger les effets de la
quantification, et surtout on suppose que l’échantillonnage est correct :
le théorème de Shannon est respecté.
On dispose d’un nombre N fini d’échantillons, numérotés de n = 0 à n = N - 1, stockés
dans la mémoire du calculateur. On connaît donc x(t) sur une durée D = N.TE.
Le problème consiste à évaluer l’intégrale (I) avec les N échantillons. Or les bornes
d’intégration de (I) s’étendent de à−∞ +∞, et on ne connaît le signal que de t = 0 à t = N.TE.
Pour définir x(t) pour toutes les valeurs de t (de à
−
∞+∞), il faut donner des valeurs
arbitraires à x(t) pour t < 0 ou pour t > N.TE.
C.A.N. Calculateur Spectre
T
E
x(t) xe(t) {xn}

2
On peut envisager deux solutions simples :
c E x(t) 0 pour t 0 ou t N.T
=
<>
Le signal x(t) est de durée limitée : il possède une transformée de Fourier X(f).
La fonction X de la variable continue f n’est pas accessible à un système de traitement
numérique : le calculateur devrait calculer une infinité de valeurs X(f) pour toutes les
fréquences f.
Cette solution n’est pas possible en pratique, donc sans intérêt.
d « périodiser » x(t)
Soit xP(t) un signal périodique, de période D, tel que sur l’intervalle
[
]
0,D , xP(t)=x(t).
t
0 TE 2.TE (N-1).TE
D = N.TE
x(t)
xe(t)
xn
t
0 TE 2.TE (N-1).TE D
D = N.TE
xP(t)
x(t)
xe(t)
xn

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xP(t) est un signal périodique, qui peut être décomposé en série de Fourier, et sur
l’intervalle
[
]
0,D :
1
j.2. .k. .t
D
Pk 0 P
k
1
x (t) x(t) X .e car : f fréquence de x (t)
D
+∞ π
=−∞
== ==
∑
Mais nous avons supposé que le théorème de Shannon est vérifié ; c’est à dire que :
E
k E
E
f1NN
X0sik. soitk carDN.T
D2 2 f
=> > ==
.
On peut donc écrire finalement :
N
1
2j.2. .k . .t
D
Pk
N
k2
x (t) x(t) X .e(1)
+π
=−
==
∑ (sur l’intervalle [0 , D])
Cette solution est intéressante car le calculateur doit déterminer N valeurs Xk,
correspondant aux fréquences E
E
f
11
k. k. k.
DN.T N
==, c’est à dire qu’il doit calculer un
nombre fini de valeurs.
-2- Transformée de Fourier Discrète : définition
La relation (1) est vérifiée pour toute valeur de t comprise entre 0 et D ; on peut
l’écrire en particulier aux instants d’échantillonnage t = n.TE :
E
E
N1
2j.2. .k . .n .T
N.T
PE E n k E
N
k2
x (n.T ) x(n.T ) x X .e car : D N.T
+π
=−
=== =
∑
Soit :
N
2.
2j. .k.n
N
nk
N
k2
xX.e
+π
=−
=∑
Peut-on évaluer Xk à partir des échantillons xn ?
D2.
j.k . .t
D
k
0
E
1
X . x(t).e .dt (calcul des coefficients de Fourier)
D
1
N. T
π
−
=
≈
∫
E
2.
j.k . N. T
E
.x(n.T).e
π
−E
.n. T
E
.T
N1
n0
−
=
∑
Par définition, la transformée de Fourier discrète (T.F.D.) de la suite numérique {xn}
est la suite numérique {Xk} telle que :
N
2.
2j. .k.n
N
nk
N
k2
2.
N1 j. .k.n
N
kn
n0
xX.e
1
X.x.e
N
(2)
(3)
+π
=−
π
−−
=
=
=
∑
∑

4
-3- Vérification
Le raisonnement approché suivi ci-dessus (calcul approché de l’intégrale par une
somme de Darboux) permet de comprendre l’origine de la relation (3). On peut vérifier à
posteriori la cohérence de ces relations :
N
2. 2. 2.
N1 N1 2
j. .k.n j. .p.n j. .k.n
NNN
np
N
n0 n0p2
N
2.
N1 2j. .( p k ).n
N
p
N
n0
p2
N
2.
N1
2j. .( p k ).n
N
p
Nn0
p2
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(3) : . x .e . X .e .e (en introduisant la relation (2))
NN
1
=. X.e
N
1X. e
N
+
πππ
−−
−−−
==
=−
+π
−−
==−
+π
−−
=
=−
=
=
∑∑∑
∑∑
∑∑
Calculons la somme S :
2.
N1 j. .( p k ).n
N
n0
2.
N1 j. .( p k )
nN
n0
N
Se
v (en posant : v e )
1v si v 1soit p k (somme des termes d'une progression géométrique)
1v
Nsiv 1soitp k
π
−−
=
π
−−
=
=
==
−≠≠
=−
==
∑
∑
Or, si p ≠ k :
2.
j.
NN
ve
π
=.( p k ). N−N
j.2. .( p k ) 1v
e1S 0
1v
π− −
==⇒==
−
La somme S’ se réduit donc au seul terme correspondant à p = k, tous les autres étant nuls.
On a donc :
2.
N1 j. .k .n
N
nkk
n0
11
. x .e .X .N X
NN
π
−−
=
==
∑
C’est bien ce qu’on voulait démontrer.
S
S’