Problème 1 Étude d`un satellite de détection terrestre - e

CPI-Chemist 1
Physique 2
Janv. 2017
Durée : 2 H
Enseignant : J.Geandrot & J.Roussel
Cet examen se résume à un unique problème de 20 questions. Vous respecterez les règles suivantes :
• saut de ligne après chaque question ;
• saut de page après chaque exercices ;
• explications claires et concises agrémentées de schémas le plus possible.
???
Problème 1
Étude d’un satellite de détection terrestre
La télédétection par satellite est utilisée en météorologie, climatologie et en cartographie. Ce problème
consiste en l’étude du mouvement d’un satellite de télédétection en orbite autour de la Terre.
y
−
→
u
→
−
θ
ur
z
r(
J−
→
u
t)
M
θ(t)
x
c
Figure 1 – À gauche : Satellite de télédétection (opticsvalley).
À droite : modélisation.
On assimile le satellite à un point matériel M en mouvement autour de la Terre de rayon RT = 6,4.103 km
→ ,−
→−
→
et de centre O. L’étude est réalisée dans le référentiel géocentrique Rg (O,−
u
x uy ,uz ) supposé galiléen. Les
−
→,−
→
grandeurs vectorielles seront exprimées dans la base cylindropolaire (→
ur ,−
u
θ uz ). On suppose que la trajectoire
−
→
→).
3
du satellite de masse m = 4,0.10 kg est plane et se fait dans le plan (O,ux ,−
u
y
Données
on rappelle que
−
→
→
d−
u
r
→ et duθ = −θ̇ −
→ avec θ̇ = dθ .
= θ̇ −
u
u
θ
r
dt
dt
dt
– Préliminaires –
1. La position du satellite est repérée par le point M de coordonnées (r(t),θ(t),z = 0). Déterminer
−−→
−
−
→,−
→
l’expression du vecteur position OM et du vecteur vitesse →
v M dans la base (→
ur ,−
u
θ uz ) en fonction de
r, θ et de leur dérivées éventuelles.
2. On note g0 = 10 m.s−2 la norme du champ de pesanteur à la surface de la Terre. Exprimer la force
→
−
gravitationnelle F exercée par la Terre sur le satellite en fonction de g0 , m, RT et r. L’interaction
gravitationnelle est-elle attractive ou répulsive ? Dans la suite, on supposera que le satellite est soumis
→
−
uniquement à F .
−−→
→
−
−
3. Soit L O = OM∧m→
v M . Comment s’appelle cette grandeur mécanique associée au satellite ? Déterminer
→
−
−
→,−
→
son expression dans la base (→
ur ,−
u
θ uz ), puis sa norme LO en fonction de m r et θ̇. Montrer que L O
est constant au cours du mouvement.
– Mise en orbite circulaire du satellite –
La mise en orbite terrestre d’un satellite se fait en deux étapes :
• phase balistique : le satellite s’éloigne de la Terre sur une ellipse de foyer le centre de la Terre jusqu’à
l’apogée ;
• phase de satellisation : la satellite accélère pour obtenir une trajectoire circulaire autour de la Terre.
On considère que le satellite est placé en orbite circulaire de rayon r constant autour de la Terre.
−
−
4. Exprimer pour cette trajectoire circulaire le vecteur vitesse →
v M et le vecteur accélération →
a M du
satellite uniquement en fonction de la quantité v = rθ̇, de sa dérivée temporelle v̇ et de r.
5. À l’aide du principe fondamental de la dynamique, montrer que le mouvement est uniforme et exprimer
v 2 en fonction de g0 , RT et r.
6. En déduire l’expression des énergies cinétique Ec et mécanique Em du satellite en fonction de m, g0 ,
RT et r.
7. Application numérique : calculer l’énergie mécanique du satellite pour une trajectoire circulaire de
rayon rb = 8,0.103 km, puis pour un rayon rh = 40.103 km.
– Étude énergétique du satellite –
On suppose ici que la trajectoire du satellite n’est pas nécessairement circulaire.
8. Montrer que l’énergie mécanique du satellite est constante au cours du mouvement et qu’elle se met
sous la forme
1
LO 2
RT 2
Em = mṙ2 +
−
g
m
0
2
2mr2
r
On appelle énergie potentielle effective
1
Ep,eff = Em − mṙ2
2
Au cours du mouvement, les valeurs du rayon r sont données par l’inégalité Ep,eff (r) ≤ Em . Expliquer
ce résultat.
9. Le graphe de Ep,eff (r) pour une valeur donnée de LO est représenté figure 2. On montre que la trajectoire
du satellite est nécessairement une conique : circulaire, elliptique, parabolique ou hyperbolique.
Ep,eff
Em1
r
Em2
Em3
Figure 2 – Énergie potentielle effective en fonction de r.
Préciser les trajectoires qui correspondent aux énergies Em1 , Em2 et Em3 . Justifier.
– Mise en orbite haute du satellite –
Pour atteindre des trajectoires de très hautes altitudes, le satellite est dans un premier temps placé sur une
trajectoire circulaire basse (rb = 8,0.103 km) puis, dans un deuxième temps, sur une trajectoire circulaire
haute (rh = 40.103 km) comme illustré sur la figure 3.
trajectoire de transfert
A
P
O
trajectoire circulaire basse
trajectoire circulaire haute
Figure 3 –
Pour passer de la trajectoire basse à la trajectoire haute, on utilise une trajectoire de transfert elliptique
dont l’un des foyers est le centre de la Terre O : son périgée P est situé sur l’orbite basse et son apogée
A sur l’orbite haute. Le changement d’orbite s’effectue en réalisant des variations brutales de vitesse du
satellite à l’aide des moteurs qui correspondent à des variations d’énergie mécanique que l’on cherche à
déterminer.
On considère désormais le satellite parcourant la trajectoire elliptique de transfert.
10. Que peut-on dire des valeurs de ṙ lorsque le satellite est en A (r = rh ) ou en P (r = rb ) ?
Comment s’exprime le demi-grand axe a de l’ellipse de transfert en fonction de rb et rh
11. Montrer à l’aide de la conservation de l’énergie mécanique que rh et rb sont solutions d’une équation
du second degré de la forme r2 + αr + β = 0. Exprimer α et β en fonction de m, LO , Em , g0 et RT .
g0 mRT 2
.
2a
Pour changer la trajectoire du satellite, il faut modifier la valeur de son énergie mécanique. Durant cette
phase le principe de conservation de l’énergie n’est plus vérifié. Ce sont les moteurs du satellite qui vont
permettre d’accélérer ou de ralentir le satellite.
12. En déterminant la somme des racines de l’équation, en déduire que Em = −
13. La figure 4 située en annexe, donne les courbes Ep,eff (r) pour les trois orbites. Déterminer graphiquement la variation d’énergie mécanique ∆EmP à communiquer au satellite pour passer en P de l’orbite
circulaire basse à l’orbite elliptique de transfert. On donnera le résultat avec une incertitude et un
niveau de confiance de 95%.
14. Déterminer graphiquement la variation d’énergie mécanique ∆EmA à communiquer au satellite pour
passer en A de l’orbite elliptique à l’orbite haute. On donnera le résultat avec une incertitude et un
niveau de confiance de 95%.
On fera apparaître sur la figure 4 les deux quantités ∆EmP et ∆EmA .
15. Sachant que le pouvoir calorifique du carburant est de 50 MJ.kg−1 , calculer la masse mc de carburant
nécessaire (ne pas oublier l’incertitude).
Connaissez-vous un carburant utilisé dans les moteurs-fusées pour l’aérospatiale ?
– Chute du satellite –
Les satellites d’observation retombent inéluctablement sur la Terre. Lors des chocs avec les molécules contenues dans les couches supérieures de l’atmosphère, le satellite est soumis à une force de frottement que l’on
→
−
−
modélise par f = −k →
v.
Supposons le satellite en orbite circulaire. Au cours de sa chute, à chaque tour effectué, la variation d’altitude
g0 mRT 2
est suffisamment faible pour supposer que les expressions de l’énergie mécanique Em (t) = −
et de
2r(t)
RT 2
la vitesse v 2 (t) = g0
restent valables.
r(t)
16. À l’aide de l’expression de la vitesse, déterminer la durée T nécessaire au satellite pour effectuer un
tour de l’orbite circulaire de rayon r. Quelle est le nom de la relation obtenue ?
17. À l’aide du théorème de l’énergie mécanique, montrer que le rayon r(t) est solution de l’équation
différentiellle
dr 1
+ r=0
dt
τ
où τ est une constante que l’on exprimera en fonction de k et m. Montrer que τ est bien homogène à
un temps.
18. En déduire l’expression de r(t). On supposera que le satellite est à l’instant t = 0 sur une orbite
circulaire de rayon r0 .
19. Représenter graphiquement sur votre copie l’évolution de r(t). On fera apparaître notamment les
grandeurs r0 et τ .
20. À titre d’exemple, le satellite Spot-5 du CNES, sur une orbite à 800 km d’altitude, descend de 2,5
mètres par jour. Calculer τ puis en déduire la durée de vie du satellite (c’est-à-dire le temps que
mettrait le satellite à tomber sur la Terre si ses moteurs étaient en panne). On exprimera cette durée
en années.
ANNEXE
NOM : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feuille à rendre en fin d’épreuve
PRENOM : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Orbite basse
Orbite haute
Orbite de transfert
30
20
10
0
énergie Ep,eff (en GJ)
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
−90
−100
−110
−120
8.103
16.103
24.103
rayon r (en km)
Figure 4 –
32.103
40.103
48.103
Solution de l’exercice 1
−−→
−
1. Le vecteur position s’écrit OM = r(t) →
ur .
−
−
→.
On obtient le vecteur vitesse en dérivant par rapport au temps le vecteur position : →
v M = ṙ →
ur + rθ̇ −
u
θ
→
−
mMT −
2. D’après la loi de gravitation, on a F = −G 2 →
ur . Or, le champ de gravitation à la surface de la
r
2
Terre vaut g0 = GMT /RT d’où
→
−
RT 2 −
F = −mg0 2 →
ur
r
Force attractive
−−→
→
−
−
3. L O = OM ∧ m→
v M est le moment cinétique de M caculé en O. En coordonnées polaires, on trouve
→
−
−
−
→) = mr2 θ̇ −
→
LO = r→
ur ∧ (mṙ →
ur + mrθ̇ −
u
u
z
θ
→
− Il en découle L O = mr2 |θ̇|.
Dérivons par rapport au temps le moment cinétique :
→
−
dLO
dt
=
=
−−→
−
−−→
dOM
d→
vM
−
∧ m→
v M + OM ∧ m
dt
dt
−−→ →
−
→
−
−
v ∧ m→
vM +
OM
| {z∧ F}
}
| M {z
−
→ −−→
−
→
0 car F kOM
−
→
0
→
−
Ainsi L O est un vecteur constant.
→ = v−
→ car ṙ = 0. L’accélération s’obtient par
4. Dans le cas du cercle, la vitesse s’écrit v = rθ̇ −
u
u
θ
θ
→
−
−
→
→
−
dérivation a M = v̇ uθ − v θ̇ ur . Finalement, sachant que θ̇ = v/r, on a
2
→
−
→− v →
−
a M = v̇ −
u
ur
θ
r
Remarque : on peut aussi utiliser la formule de Frenet
→
−
−
5. Le principe fondamental de la dynamique donne m→
a M = F soit
mv̇
RT 2
−mg0 2
r
=
0
= −m
v2
=⇒
r
v
2
v
Cte
RT 2
= g0
r
=
6. L’énergie cinétique vaut
1
1
RT 2
Ec = mv 2 = mg0
2
2
r
Quant à l’énergie potentielle de gravitation, on l’obtient en intégrant −F :
Ep = −mg0
RT 2
r
Ainsi, l’énergie mécanique du satellite vaut
1
RT 2
Em = Ec + Ep = − mg0
2
r
7. Application numérique :
• pour rb = 8,0.103 km, on trouve Emb = −1,0.1011 J ;
• pour rh = 40.103 km, on trouve Emh = −2,0.1010 J.
8. Le satellite est soumis à une force conservative. Par conséquent, l’énergie mécanique se conserve :
Ec + Ep = Cte
L’énergie cinétique s’écrit Ec = 21 mv 2 = 12 mṙ2 + 12 m(rθ̇)2 . Or, LO = mr2 θ̇ d’où
L0 2
1
Ec = mṙ2 +
2
2mr2
2
Par ailleurs, l’énergie potentielle s’écrit Ep = −mg0 RrT d’où
RT 2
1
LO 2
Em = mṙ2 +
−
g
m
= Cte
0
2
2mr2
r
Enfin, l’énergie potentielle effective Ep,eff = Em − 21 mṙ2 est telle que Ep,eff ≤ Em car ṙ2 > 0.
9. Lorsque Em = Em3 , on obtient une trajectoire circulaire car il n’y a qu’une seule valeur possible pour
r (celle qui minimise Ep,eff ).
Lorsque Em = Em2 < 0, on obtient une trajectoire elliptique car r oscille entre deux valeurs.
Lorsque Em = Em1 , on obtient une trajectoire hyperbolique car r passe par un minimum pour croître
jusqu’à l’infini avec une vitesse non nulle à l’infini.
10. En A et P, r atteint un extremum donc ṙ = 0. On peut aussi noter que la vitesse est orthoradiale d’où
→
−
−
ṙ →
ur = 0 .
Le grand-axe de l’ellipse est donné par : 2a = rb + rh .
11. Lorsque le satellite se situe en A ou en P, son énergie mécanique s’écrit
Em =
LO 2
RT 2
−
g
m
0
2mr2
r
r = rb ou rh
avec
En multipliant par r2 puis en divisant par Em , on obtient
r2 +
mg0 RT 2
LO 2
r−
=0
Em
2mEm
|
{z
α
} |
{z
β
}
12. Les racines sont rh et rb dont la somme vaut
rh + rb = −α
d’où 2a = −
mg0 RT 2
Em
On en déduit que sur l’orbite de transfert, le satellite conserve une énergie mécanique
Em = −
g0 mRT 2
2a
13. Les orbites basse et haute correspondent aux minima de la fonction Ep,eff . La variation d’énergie se
faisant instantanément, il suffit de mesurer la différence d’ordonnée entre le point d’arrivée et le point
de départ.
énergie Ep,eff (en GJ)
Orbite basse
Orbite haute
Orbite de transfert
A
•
∆EmA
•
A
0
P
•
−50
∆EmP
−100
•
P
8.103 16.103 24.103 32.103 40.103 48.103
rayon r (en km)
Graphiquement, on trouve ∆EmP = 68 ± 1 GJ.
14. ∆EmA = 14 ± 1 GJ
15. Au total il aura fallu fournir une énergie ∆Em = 82 ± 2 GJ pour passer de l’orbite basse à l’orbite
haute. Compte tenu du pouvoir calorifique du carburant, cela correspond à une masse de carburant
mc =
80 ± 2 GJ
= 1,60 ± 0,04.103 kg
50 MJ
Le carburant utilisé (on dit ergol) est en général liquide. On utilise souvent le dihydrogène (H2 ) ou
l’hydrazine (N2 H4 ).
16. Le mouvement étant uniforme, on a
2
v =
2πr
T
2
= g0
RT 2
r
On en déduit la troisième loi de Kepler
r3
g0 RT 2
=
T2
4π 2
17. Le théorème de l’énergie mécanique s’écrit
dEm
= Pnc
dt
où Pnc désigne la puissance des forces non conservatives. Ici la force non conservative est la force de
→
− −
frottement et sa puissance vaut Pnc = f · →
v = −kv 2 . On a donc
mg0 RT 2
d
−
dt
2r
!
= −kg0
RT 2
r
soit
2
2
m
dr
g0
RT
g0
RT
=
−k
2r2 dt
r
Finalement, r(t) vérifie l’équation différentielle
dr 1
+ r = 0 avec
dt
τ
1
2k
=
τ
m
D’après la définition de k on a
[k] =
[f ]
MLT−2
=
= M.T−1
[v]
LT−1
Aussi, on trouve [τ ] = M/M.T−1 = T : τ est bien un temps.
18. La solution s’écrit r(t) = C1 e−t/τ . Sachant que r(0) = r0 , on en déduit
r(t) = r0 e−t/τ
19. Allure de la courbe :
r(t)
r0
t
τ
τ s’obtient en prenant la tangente à l’origine et en déterminant son intersection avec l’asymptote r = 0.
20. Le satellite se situe à r0 = RT + h = 7,2.103 km. D’après ce qui précède
r0
dr =−
dt t=0
τ
τ ' 7,9.103 ans
=⇒
Le satellite attient la terre lorsque r = RT soit lorsque
r0
t = τ ln
RT
' 900 ans