Problème 1 Étude d`un satellite de détection terrestre - e

CPI-Chemist 1
Physique 2
Janv. 2017
Durée : 2 H Enseignant : J.Geandrot & J.Roussel
Cet examen se résume à un unique problème de 20 questions. Vous respecterez les règles suivantes :
•saut de ligne après chaque question ;
•saut de page après chaque exercices ;
•explications claires et concises agrémentées de schémas le plus possible.
???
Problème 1 Étude d’un satellite de détection terrestre
La télédétection par satellite est utilisée en météorologie, climatologie et en cartographie. Ce problème
consiste en l’étude du mouvement d’un satellite de télédétection en orbite autour de la Terre.
−→
ur
M
−→
uθ
r(t)
θ(t)
J−→
uz
x
y
Figure 1 – À gauche : Satellite de télédétection ( c opticsvalley). À droite : modélisation.
On assimile le satellite à un point matériel M en mouvement autour de la Terre de rayon RT= 6,4.103km
et de centre O. L’étude est réalisée dans le référentiel géocentrique Rg(O,−→ ux,−→ uy,−→ uz)supposé galiléen. Les
grandeurs vectorielles seront exprimées dans la base cylindropolaire (−→ ur,−→ uθ,−→ uz). On suppose que la trajectoire
du satellite de masse m= 4,0.103kg est plane et se fait dans le plan (O,−→ ux,−→ uy).
Données
on rappelle que d−→
ur
dt=˙
θ−→ uθet d−→
uθ
dt=−˙
θ−→ uravec ˙ θ=dθ
dt.
–Préliminaires –
1. La position du satellite est repérée par le point M de coordonnées (r(t),θ(t),z = 0). Déterminer
l’expression du vecteur position −−→ OM et du vecteur vitesse −→ vMdans la base (−→ ur,−→ uθ,−→ uz)en fonction de
r,θet de leur dérivées éventuelles.
2. On note g0= 10 m.s−2la norme du champ de pesanteur à la surface de la Terre. Exprimer la force
gravitationnelle −→ Fexercée par la Terre sur le satellite en fonction de g0,m,RTet r. L’interaction
gravitationnelle est-elle attractive ou répulsive ? Dans la suite, on supposera que le satellite est soumis
uniquement à −→ F.
3. Soit −→ LO=−−→ OM∧m−→ vM. Comment s’appelle cette grandeur mécanique associée au satellite ? Déterminer
son expression dans la base (−→ ur,−→ uθ,−→ uz), puis sa norme LOen fonction de m r et ˙ θ. Montrer que −→ LO
est constant au cours du mouvement.

– Mise en orbite circulaire du satellite –
La mise en orbite terrestre d’un satellite se fait en deux étapes :
•phase balistique : le satellite s’éloigne de la Terre sur une ellipse de foyer le centre de la Terre jusqu’à
l’apogée ;
•phase de satellisation : la satellite accélère pour obtenir une trajectoire circulaire autour de la Terre.
On considère que le satellite est placé en orbite circulaire de rayon rconstant autour de la Terre.
4. Exprimer pour cette trajectoire circulaire le vecteur vitesse −→ vMet le vecteur accélération −→ aMdu
satellite uniquement en fonction de la quantité v=r˙ θ, de sa dérivée temporelle ˙vet de r.
5. À l’aide du principe fondamental de la dynamique, montrer que le mouvement est uniforme et exprimer
v2en fonction de g0,RTet r.
6. En déduire l’expression des énergies cinétique Ecet mécanique Emdu satellite en fonction de m,g0,
RTet r.
7. Application numérique : calculer l’énergie mécanique du satellite pour une trajectoire circulaire de
rayon rb= 8,0.103km, puis pour un rayon rh= 40.103km.
– Étude énergétique du satellite –
On suppose ici que la trajectoire du satellite n’est pas nécessairement circulaire.
8. Montrer que l’énergie mécanique du satellite est constante au cours du mouvement et qu’elle se met
sous la forme
Em=1
2m˙r2+LO2 2mr2−g0mRT2 r
On appelle énergie potentielle effective
Ep,eff =Em−1
2m˙r2
Au cours du mouvement, les valeurs du rayon r sont données par l’inégalité Ep,eff(r)≤ Em. Expliquer
ce résultat.
9. Le graphe de Ep,eff(r)pour une valeur donnée de LOest représenté figure 2. On montre que la trajectoire
du satellite est nécessairement une conique : circulaire, elliptique, parabolique ou hyperbolique.
Em1
Em2
Em3
r
Ep,eff
Figure 2 – Énergie potentielle effective en fonction de r.
Préciser les trajectoires qui correspondent aux énergies Em1,Em2 et Em3. Justifier.

– Mise en orbite haute du satellite –
Pour atteindre des trajectoires de très hautes altitudes, le satellite est dans un premier temps placé sur une
trajectoire circulaire basse (rb= 8,0.103km) puis, dans un deuxième temps, sur une trajectoire circulaire
haute (rh= 40.103km) comme illustré sur la figure 3.
O
trajectoire de transfert
trajectoire circulaire basse
trajectoire circulaire haute
PA
Figure 3 –
Pour passer de la trajectoire basse à la trajectoire haute, on utilise une trajectoire de transfert elliptique
dont l’un des foyers est le centre de la Terre O : son périgée P est situé sur l’orbite basse et son apogée
A sur l’orbite haute. Le changement d’orbite s’effectue en réalisant des variations brutales de vitesse du
satellite à l’aide des moteurs qui correspondent à des variations d’énergie mécanique que l’on cherche à
déterminer.
On considère désormais le satellite parcourant la trajectoire elliptique de transfert.
10. Que peut-on dire des valeurs de ˙rlorsque le satellite est en A (r=rh) ou en P (r=rb) ?
Comment s’exprime le demi-grand axe ade l’ellipse de transfert en fonction de rbet rh
11. Montrer à l’aide de la conservation de l’énergie mécanique que rhet rbsont solutions d’une équation
du second degré de la forme r2+αr +β= 0. Exprimer αet βen fonction de m,LO,Em,g0et RT.
12. En déterminant la somme des racines de l’équation, en déduire que Em=−g0mRT2
2a.
Pour changer la trajectoire du satellite, il faut modifier la valeur de son énergie mécanique. Durant cette
phase le principe de conservation de l’énergie n’est plus vérifié. Ce sont les moteurs du satellite qui vont
permettre d’accélérer ou de ralentir le satellite.
13. La figure 4située en annexe, donne les courbes Ep,eff(r)pour les trois orbites. Déterminer graphique-
ment la variation d’énergie mécanique ∆EmP à communiquer au satellite pour passer en P de l’orbite
circulaire basse à l’orbite elliptique de transfert. On donnera le résultat avec une incertitude et un
niveau de confiance de 95%.
14. Déterminer graphiquement la variation d’énergie mécanique ∆EmA à communiquer au satellite pour
passer en A de l’orbite elliptique à l’orbite haute. On donnera le résultat avec une incertitude et un
niveau de confiance de 95%.
On fera apparaître sur la figure 4les deux quantités ∆EmP et ∆EmA.
15. Sachant que le pouvoir calorifique du carburant est de 50 MJ.kg−1, calculer la masse mcde carburant
nécessaire (ne pas oublier l’incertitude).
Connaissez-vous un carburant utilisé dans les moteurs-fusées pour l’aérospatiale ?

– Chute du satellite –
Les satellites d’observation retombent inéluctablement sur la Terre. Lors des chocs avec les molécules conte-
nues dans les couches supérieures de l’atmosphère, le satellite est soumis à une force de frottement que l’on
modélise par −→ f=−k−→ v.
Supposons le satellite en orbite circulaire. Au cours de sa chute, à chaque tour effectué, la variation d’altitude
est suffisamment faible pour supposer que les expressions de l’énergie mécanique Em(t) = −g0mRT2
2r(t)et de
la vitesse v2(t) = g0
RT2
r(t)restent valables.
16. À l’aide de l’expression de la vitesse, déterminer la durée Tnécessaire au satellite pour effectuer un
tour de l’orbite circulaire de rayon r. Quelle est le nom de la relation obtenue ?
17. À l’aide du théorème de l’énergie mécanique, montrer que le rayon r(t)est solution de l’équation
différentiellle dr
dt+1 τr= 0
où τest une constante que l’on exprimera en fonction de ket m. Montrer que τest bien homogène à
un temps.
18. En déduire l’expression de r(t). On supposera que le satellite est à l’instant t= 0 sur une orbite
circulaire de rayon r0.
19. Représenter graphiquement sur votre copie l’évolution de r(t). On fera apparaître notamment les
grandeurs r0et τ.
20. À titre d’exemple, le satellite Spot-5 du CNES, sur une orbite à 800 km d’altitude, descend de 2,5
mètres par jour. Calculer τpuis en déduire la durée de vie du satellite (c’est-à-dire le temps que
mettrait le satellite à tomber sur la Terre si ses moteurs étaient en panne). On exprimera cette durée
en années.

ANNEXE
Feuille à rendre en fin d’épreuve
NOM : ..................................
PRENOM : ..............................
−120
−110
−100
−90
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
8.10316.10324.10332.10340.10348.103
rayon r(en km)
énergie Ep,eff (en GJ)
Orbite basse
Orbite haute
Orbite de transfert
Figure 4 –