Dipôles électrostatiques

Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
Chapitre III
Dipôles électrostatiques
III.a.
1.
Potentiel et champ créés par un dipôle
Potentiel
Considérons un système de deux charges opposées, +Q et −Q, situées respectivement en des points P et
~z un vecteur unitaire
N distants de a. Le système est ce qu’on appelle un dipôle. Notons O le milieu de NP, u
dirigé de N vers P, et calculons le potentiel V créé par le dipôle en un point M situé à une distance r de O
dans le cas où r a.
−Q
+Q
1
+
.
(III.1)
V(M) = V−Q (M) + V+Q (M) =
4 π ε0 NM
PM
On a
−−→ −−→ −−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
(NM)2 = NM · NM = (NO + OM) · (NO + OM) = (NO)2 + (OM)2 + 2 NO · OM.
Or NO = a/2, OM = r et
−−→ −−→
a
a r cos θ
~z · r u
~r =
NO · OM =
u
,
2
2
(III.2)
(III.3)
−−→
~z et OM. On a donc
où θ est l’angle entre u
1
1
1
a cos θ
a2
= p
=
1+
+
NM
r
r
4 r2
a2 /4 + a r cos θ + r2
!−1/2
.
(III.4)
Faisons un développement de 1/NM au premier ordre en a/r. Quand u → 0, (1 + u)α ≈ 1 + α u, donc, avec
α = −1/2 et
a cos θ
a2
u=
+
,
(III.5)
r
4 r2
on obtient
1
1
a cos θ
≈
1−
.
(III.6)
NM
r
2r
De même, en remplaçant a par −a,
1
1
a cos θ
1+
,
(III.7)
≈
PM
r
2r
donc
Q a cos θ
Q a cos θ
1
V(M) ≈
−Q +
+ Q+
4 π ε0 r
2r
2r
Q a cos θ
≈
pour r a.
(III.8)
4 π ε0 r2
Notons
~p = Q a u
~z
(III.9)
le moment dipolaire. L’unité SI de ~p est le C · m, mais on utilise plus souvent le debye (symbole « D »), où
1 D = 3,34 × 10−30 C · m. On peut alors réécrire le potentiel sous la forme intrinsèque (c.-à-d. indépendante
du système de coordonnées)
~p · u
~r
V(M) ≈
pour r a.
(III.10)
4 π ε0 r2
30
Michel Fioc
2.
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Champ électrique
−−→
~ = −−
Calculons le champ électrique à grande distance à partir de l’expression E
grad V. En coordonnées
sphériques,
1 ∂V
1
∂V
∂V
~
~r −
~θ −
~φ
u
u
u
E(M)
=−
r ∂θ
r sin θ ∂φ
∂r
Qa
~r + sin θ u
~θ ).
≈
(2 cos θ u
4 π ε0 r3
~z = cos θ u
~r − sin θ u
~θ , donc
Or u
Qa
3 Q a cos θ
~
~r −
~z ,
u
u
E(M)
≈
3
4 π ε0 r
4 π ε0 r3
soit, sous forme intrinsèque,
~
E(M)
≈
III.b.
1.
(III.11)
~r ) u
~r − ~p
3 (~p · u
4 π ε0 r3
(III.12)
pour r a.
(III.13)
Développement multipolaire du potentiel
Développement à l’ordre 3 en 1/r
Considérons maintenant un ensemble S de charges Q1 , . . ., Qn situées aux points K1 , . . ., Kn . Notons (xi , yi , zi )
~x , u
~y, u
~z ) quelconque et di = (x2i + y2i +z2i )1/2
les coordonnées du point Ki dans une base orthonormée directe (O, u
est la distance OKi . Calculons le potentiel en un point M à une distance r de O.
Comme précédemment, on peut écrire
−−→ −−→ −−→ −−→
−−→ −−→
−−−→ −−−→
(Ki M)2 = Ki M · Ki M = (Ki O + OM) · (Ki O + OM) = (OKi )2 + (OM)2 − 2 OKi · OM
= d2i + r2 − 2 r di cos αi ,
(III.14)
−−→
~r ). On a donc
où αi = (OKib, u
1
1
=
Ki M
r

d2

1 − 2 di cos αi + i

r
r2
−1/2

.

(III.15)
Posons u = −2 di cos αi /r + d2i /r2 . On a
(1 + u)α = 1 + α u +
donc
1
1
=
Ki M
r
α (α − 1) 2
u
3 u2
u + O(u3 ) = 1 −
+
+ O(u3 ),
2
2
8

 3
3 d2i cos2 αi − d2i

 d
d
cos
α
i
i
1 +
+
+ O 3i

2
r
2r
r
(III.16)


.
(III.17)
Finalement, pour tout r,
n
1 X Qi
4 π ε0
Ki M
i=1
Pn
i=1 Qi
=
4 π ε0 r
| {z }
V(M) =
(terme monopolaire Vmon )
a.
Pn
Pn
2
2
2
Qi di cos αi
i=1 Qi (3 di cos αi − di )/2
+
+
4 π ε0 r2
4 π ε0 r3
{z
} |
{z
}
i=1
+
|
(terme dipolaire Vdip )
(terme quadrupolaire)
1
O 4 .
r
| {z }
(III.18)
(terme octupolaire, etc.)
Cas où Qtot , 0
P
Le terme monopolaire (dit aussi « unipolaire ») domine à grande distance si la charge totale Qtot B ni=1 Qi
est non nulle. C’est simplement le potentiel créé par une charge ponctuelle de valeur Qtot située à l’origine.
31
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Cas où Qtot = 0 et ~p , ~0
b.
P
−−→
Si Qtot = 0, le terme monopolaire est nul. Si ni=1 Qi OKi , 0, le terme dipolaire domine à grande distance
et on retrouve la même expression que pour un dipôle constitué de deux charges opposées :
Pn
Pn
−−→
~r
i=1 Qi OKi · u
i=1 Qi di cos αi
=
V(M) ≈ Vdip (M) =
4 π ε0 r2
4 π ε0 r2
~p · u
~r
=
,
(III.19)
4 π ε0 r2
où
~p =
n
X
−
−−
→
Qi OKi
(III.20)
i=1
est le moment dipolaire de la distribution. Si ~p = ~0, Vdip = 0 : il faut alors considérer les termes d’ordre
supérieur.
−−→
Pour n = 2 en particulier, en posant Q = Q2 (donc Q1 = −Q), N = K1 et P = K2 , on a bien ~p = Q NP. Plus
P
−−→
généralement, on pourra assimiler tout système tel que Qtot = 0 et ni=1 Qi OKi , ~0 à un dipôle {N, P} portant
les charges −Q et +Q, où Q la somme des charges positives, N est le barycentre des particules de charge
négative (pondéré par les valeurs de celles-ci), et P celui des particules de charge positive (pondéré par les
valeurs de celles-ci).
2.
Forme tensorielle du développement multipolaire (hors programme)
~r selon u
~x , u
~ y et u
~z . On a
Notons ν1 , ν2 et ν3 les composantes de u
di cos αi = xi ν1 + yi ν2 + zi ν3 ,
(III.21)
donc le numérateur du terme quadrupolaire vaut
3 X
3
n
X
1 X
(2)
T j, k ν j νk ,
Qi (3 d2i cos2 αi − d2i ) =
2
où
T(2)
1
=
2
(III.22)
j=1 k=1
i=1
P
Pn
Pn

Qi (3 x2 − d2 ) P ni=1 3 Qi xi yi
 i=1
i=1 3 Qi xi zi 

P
 Pn 3 Q iy x i
n
n
2
2

 Pi=1
i i i
i=1
PnQi (3 yi − di ) Pn i=1 3 Qi 2yi zi 2 

n
i=1 3 Qi zi xi
i=1 3 Qi zi yi
i=1 Qi (3 zi − di )
(III.23)
est le moment quadrupolaire ※1 de la distribution de charges. Ce moment, représenté ci-dessus sous forme
de matrice, est un tenseur d’ordre 2.
Le moment dipolaire est lui un vecteur, c.-à-d. un tenseur d’ordre 1. En effet,
~p · u
~r = px ν1 + p y ν2 + pz ν3 =
3
X
(1)
T j ν j,
(III.24)
j=1
avec
T(1)
 Pn

Pi=1 Qi xi 
 n Q y 
=  Pi=1 i i .
 n

i=1 Qi zi
Le moment monopolaire est un tenseur d’ordre 0, le scalaire T(0) = Qtot .
De manière générale, on a
P3
P3
(k)
∞
X
j1 =1 . . .
jk =1 T j1 , ..., jk ν j1 . . . ν jk
1
,
V(M) =
4 π ε0 r
rk
(III.25)
(III.26)
k=0
où T(k) , le moment “2k -polaire”, est un tenseur d’ordre k.
3.
Choix de l’origine
La valeur du potentiel donnée par la somme infinie de tous les termes ne dépend évidemment pas de
l’origine arbitraire O, quelle que soit la distance r. En revanche, lorsqu’on ne retient que les premiers termes,
1.
On définit parfois le moment quadrupolaire comme le double de T(2) .
32
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la somme tronquée est une approximation d’autant meilleure du potentiel que r est grand et que l’origine est
au cœur de la distribution de charges.
Les termes du développement dépendent a priori de l’origine non seulement par leur dénominateur rk
P
P
(k)
dans (III.26), mais aussi par leur numérateur, 3j1 =1 . . . 3jk =1 T j1 , ..., jk ν j1 . . . ν jk . Dans celui-ci, les νi dépendent
peu de l’origine pour peu que celle-ci soit dans la distribution de charges et que M soit loin de celle-ci.
Qu’en est-il pour les moments T(k) ? On peut montrer que, si Qtot = 0, ~p ne dépend pas du point O choisi
pour le calculer. En effet, par rapport à une autre origine O0 ,
~p 0 =
n
X
n
n
i=1
i=1
−−−→ −−→
−−−→ X
−−−→ X −−→
Qi O0 Ki =
Qi (O0 O + OKi ) = Qtot O0 O +
Qi OKi = ~p.
i=1
(III.27)
(Hors programme)
Comme pour le moment dipolaire, le moment “2k -polaire” ne dépend pas de l’origine si tous les moments
d’ordre inférieur sont nuls. Montrons-le par exemple pour la composante (1, 1) du moment quadrupolaire. En
~x , u
~y, u
~z ),
notant avec un prime les coordonnées par rapport à un point O0 de coordonnées (x0 , y0 , z0 ) dans (O, u
on a
n
n
X
X
0(2)
02
02
02
T1, 1 =
Qi (3 x02
−
d
)/2
=
Qi (2 x02
i
i
i − yi − zi )/2
i=1
=
n
X
i=1
Qi (2 [x2i − 2 xi x0 + x20 ] − [y2i − 2 yi y0 + y20 ] − [z2i − 2 zi z0 + z20 ])/2
i=1
=
=
n
X
i=1
n
X
Qi (2 x2i − y2i − z2i )/2 − 2 x0
n
X
Qi x i + y 0
i=1
Qi (2 x2i − y2i − z2i )/2
n
X
Qi yi + z0
i=1
n
X
i=1
Qi zi + (x20 + y20 + z20 )
n
X
Qi
i=1
(puisque T(0) = T(1) = 0)
i=1
=
n
X
(2)
Qi (3 x2i − d2i )/2 = T1, 1 .
(III.28)
i=1
III.c.
1.
Dipôles atomiques et moléculaires
Dipôles permanents
Les atomes les plus électronégatifs ※2 d’une molécule attirent les électrons, ce qui rend la molécule polaire :
celle-ci acquiert un moment dipolaire permanent et se comporte comme un solide rigide. La distance NP
entre les barycentres des charges négatives et positives étant constante, la norme de ~p est constante. Le vecteur
moment dipolaire n’est cependant pas constant car la molécule peut tourner. Si elle est soumise à un champ
extérieur, nous verrons qu’elle a tendance à aligner son moment dipolaire dans la direction et le sens de ce
champ.
Un exemple important de dipôle permanent est la molécule d’eau. Celle-ci est globalement neutre mais
porte un excès de charge négative −2 q sur l’atome d’oxygène et un excès de charge positive q sur chacun des
atomes d’hydrogène. En prenant l’atome d’oxygène comme origine et en notant H(1) et H(2) les deux atomes
d’hydrogène, on obtient
−−→
−−−−→
−−−−→
~p = −2 q OO + q OH(1) + q OH(2) = 2 q ` cos(θ/2) u
~,
(III.29)
−−−−→ −−−−→
~ est un vecteur unitaire dirigé de O vers le milieu de
où ` est la distance OH, θ = (OH(1)b, OH(2) ) ≈ 104◦ et u
H(1) H(2) .
On peut faire le même calcul pour le dioxyde de carbone. Cette molécule est globalement neutre mais
porte un excès de charge positive sur l’atome de carbone et un excès de charge négative sur chacun des atomes
d’oxygène. Contrairement à l’eau, elle est linéaire, donc θ = 180◦ et ~p = ~0 d’après l’équation (III.29). (Elle a
en revanche un moment quadrupolaire non nul.)
2.
L’électronégativité est la capacité qu’a un atome participant à une liaison chimique d’attirer les électrons mis en commun dans cette
liaison.
33
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2.
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Dipôles induits
Dans un champ nul, le nuage électronique d’un atome admet une symétrie sphérique autour du noyau.
~ ext , il est déformé, car chacun de ses Z électrons subit
Lorsque l’atome est plongé dans un champ électrique E
~ ext , tandis que le noyau subit une force Z e E
~ ext de sens contraire. Le noyau et les électrons se
une force −e E
déplacent en sens opposés jusqu’à ce qu’un équilibre s’établisse entre la force séparatrice exercée par le champ
~ ext et la force attractive d’interaction entre le noyau et les électrons. Le barycentre N du nuage électronique
E
est alors décalé par rapport au barycentre P du noyau : on dit que l’atome a été polarisé par le champ et qu’il
a acquis un moment dipolaire induit. En champ faible, à l’équilibre, ce moment est donné par
~ ext (C),
~p = α E
(III.30)
où α est une constante positive appelée polarisabilité. (Ceci revient à considérer que le dipôle se comporte
comme un ressort. Cf. § III.d.4.b.)
(Hors programme)
~ ext reste linéaire, mais
Les molécules sont également polarisables. En champ faible, la relation entre ~p et E
prend la forme plus compliquée suivante lorsque la molécule n’est pas symétrique :
∀ i ∈ ~1, 3 pi =
3
X
αi, j Eext
j (C),
(III.31)
j=1
~ ext = Eext u
~z .
~ y + Eext
~x + Eext
~x + p2 u
~ y + p3 u
~z et E
u
u
où (αi, j )(i, j)∈~1, 32 est le tenseur de polarisabilité, ~p = p1 u
3
2
1
Nous nous restreindrons à la forme (III.30) dans ce qui suit.
3.
Polarisabilité d’un milieu
Lorsqu’il est soumis à un champ extérieur, un milieu contenant n dipôles induits par unité de volume
acquiert, en un point M, un moment dipolaire par unité de volume
~
~
P(M)
= n α E(M).
(III.32)
~ comprend à la fois le champ extérieur imposé au milieu et le champ produit par les autres dipôles
Noter que E
du milieu.
Un milieu contenant des dipôles permanents ~p acquiert également un moment dipolaire par unité de
volume lorsqu’il est soumis à un champ extérieur, car les dipôles tournent pour s’aligner avec le champ.
Cette tendance à l’ordre est contrebalancée par le désordre dû à l’agitation thermique. Le degré d’ordre du
milieu (c.-à-d. d’alignement des dipôles avec le champ) est caractérisé par le rapport p E/(kB T), où T est la
température (en kelvins) et kB est la constante de Boltzmann :


~ = n p E/E
~

si p E/(kB T) 1,
P
(III.33)


~
P = 0
si p E/(kB T) 1.
III.d.
1.
Actions exercées sur un dipôle
Résultante des forces extérieures
Calculons la résultante des forces extérieures exercées sur un dipôle ※3 électrostatique D = {−Q, Q}, où −Q
et Q sont en N et P ※4 .
~ext→D = F
~ext→−Q + F
~ext→Q = −Q E
~ ext (N) + Q E
~ ext (P).
F
(III.34)
~ ext donne
Notons C le milieu de NP. Un développement limité au 1er ordre de la composante selon x de E
!
!
!
∂Eext
∂Eext
∂Eext
x
x
x
ext
Eext
(xP − xC ) +
(yP − yC ) +
(zP − zC ),
(III.35)
x (P) ≈ Ex (C) +
∂x C
∂y C
∂z C
3.
4.
Certains auteurs utilisent
P le terme « dipôle passif » (resp. « dipôle actif ») lorsqu’ils s’intéressent aux actions qu’il subit (resp. exerce).
Plus généralement, si i Qi = 0, le point N est le barycentre des charges négatives, pondéré par les valeurs des charges, P est le
barycentre des charges positives, et Q est la somme des charges positives.
34
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et de même pour N au lieu de P, donc
!
!
!
∂Eext
∂Eext
∂Eext
x
x
x
(Fext→D )x = Q
(xP − xN ) + Q
(yP − yN ) + Q
(zP − zN )
∂x C
∂y C
∂z C
!
−−−→
∂
∂
∂
= px
+ py
+ pz
Eext
p · gradC )Eext
x = (~
x .
∂x
∂y
∂z C
De même pour E y et Ez au lieu de Ex , donc
−−→
−−−→
−−−→
~ext→D = (~p · −
~x + (~p · gradC )Eext
~ y + (~p · gradC )Eext
~z ,
F
gradC )Eext
x u
y u
z u
soit
−−−→
~ext→D = (~p · grad )E
~
F
C ext .
(III.36)
(III.37)
(III.38)
~ ext est uniforme, F
~ext→D = ~0. Même quand ce n’est pas le cas, la force extérieure sur un dipôle est
Si E
généralement faible, car le champ varie peu à l’échelle d’un dipôle.
2.
Moment total des forces extérieures
Calculons de même le moment par rapport à C des forces extérieures sur le système. On a
−→ ~
−→ ~
~ (C) = Γ
~ (C)
~ (C) = −
Γ
+Γ
CN × F
ext→−Q + CP × Fext→Q
ext→D
ext→−Q
ext→Q
−−→
→
−→ −−→ ~
~ ext (C) + −
~ ext (C) = Q (−
≈ CN × (−Q) E
CP × Q E
NC + NP) × E(C),
soit
Γ~ (C)
ext→D
~ ext (C).
= ~p × E
Le moment par rapport à un point A quelconque vaut
−
−
→ ~
~ (C)
Γ~ (A) = AC × F
ext→D + Γ
ext→D
ext→D
(III.39)
(III.40)
.
(III.41)
~ ext est uniforme, F
~ext→D = ~0, donc, quel que soit A, Γ
~ (A) = Γ
~ (C) .
Si E
ext→D
ext→D
3.
Cas d’un dipôle permanent
a.
Résultante des forces
Pour un dipôle permanent, en électrostatique, on a
−−−→
−−→ ~
~ ext ) = (~p · −
gradC (~p · E
gradC )E
ext ,
(III.42)
donc l’équation (III.38) peut être réécrite
−−→
~ext→D = −
~ ext ).
F
gradC (~p · E
(III.43)
En effet,
−−−→
−−→
−−−→ ~
→ ~ ~ −→
~ = ~p × −
~·−
grad(~p · E)
rot E
+ E × rot~p + (E
grad)~p + (~p · grad)E.
(III.44)
−→ ~
Les trois premiers termes du membre de droite sont nuls : le premier car rot E = ~0 en électrostatique ; le
deuxième et le troisième car un dipôle permanent est rigide, donc ~p ne dépend pas de la position de C (en
revanche, ~p dépend de l’orientation du dipôle).
b.
Équilibre et stabilité
~ext→D = ~0 (donc si E
~ ext
Un dipôle permanent se comportant comme un solide rigide, il est à l’équilibre si F
~
~
~
est uniforme) et si Γext→D = 0, c.-à-d. si ~p est parallèle à Eext . Il y a donc deux orientations d’équilibre : ~p
~ ; ~p orienté selon −E.
~ Or lorsque le dipôle est écarté de l’équilibre, le moment des forces le
orienté selon +E
~
~
ramène vers +E : l’équilibre n’est donc stable que lorsque ~p est orienté selon +E.
Si le champ est stationnaire (indépendant du temps), le dipôle a un mouvement d’oscillation libre ou
plus généralement de précession autour de son orientation stable ; en présence de dissipation, ce mouvement
~ au bout de quelques τ, où τ est le temps de relaxation. Si le champ
s’amortit et le dipôle s’aligne selon +E
est rapidement variable, le dipôle subit une oscillation forcée et peine à suivre l’orientation du champ, ce
qui échauffe le milieu environnant. C’est le principe du four à micro-ondes, dans lequel les dipôles sont les
molécules d’eau contenues dans les aliments.
35
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c.
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Énergie potentielle
Distinguons le dipôle D et les sources « extérieures » avec lesquelles il interagit. L’énergie potentielle de
l’ensemble est
int
int
Eint
(III.45)
p (D ∪ ext) = Ep (D) + Ep (ext) + Ep (D ↔ ext).
L’énergie potentielle d’interaction entre le dipôle D et l’extérieur vaut
Ep (D ↔ ext) = Ep (+Q ↔ ext) + Ep (−Q ↔ ext) = (+Q) Vext (P) + (−Q) Vext (N),
~ · d~r,
où Vext est le potentiel produit par les sources extérieures. Comme dV = −E
→
~ ext (C) · −
Vext (P) ≈ Vext (C) + (−E
CP)
au
1er
soit
(III.46)
(III.47)
ordre, et de même pour Vext (N), donc
−→
−−→
−−→
~
~
Ep (D ↔ ext) = Eext
p (D) = −Eext (C) · (Q CP − Q CN) = −Eext (C) · Q NP,
(III.48)
~ ext (C).
Ep (D ↔ ext) = −~p · E
(III.49)
~ sont alignés. On retrouve donc les deux orientations
Remarquer que Eext
p et E
p (D) est extrémale quand ~
~ il s’agit
d’équilibre déjà obtenues à partir du moment. Le minimum de Ep étant atteint quand ~p est selon +E,
bien de l’orientation stable.
Pour un dipôle permanent, PN = cte. Or le travail des forces intérieures à un solide rigide est nul, donc
int
Ep (D) = Ep (D ↔ D) = cte et on peut supprimer ce terme puisque l’énergie potentielle est de toute façon
définie à une constante près.
te
Si les sources extérieures sont immobiles les unes par rapport aux autres, Eint
p (ext) = Ep (ext ↔ ext) = c ,
terme qu’on peut omettre car constant.
d.
Excursion en mécanique du solide (hors programme)
La position de chacun des points d’un solide est déterminée si l’on connaît la position d’un de ces points,
par exemple C, et l’orientation du solide. Cette dernière est caractérisée par trois angles, les angles d’Euler
~ ext (C)
ϑ, ϕ et ψ. Un dipôle permanent se comportant comme un solide, son énergie potentielle Eext
p·E
p (D) = −~
~
dépend des positions des sources extérieures et de C via Eext (C), et de l’orientation du dipôle par l’intermédiaire
~z , et l’angle ϕ entre u
~x et la projection
de ~p. Pour cette dernière, deux angles suffisent : l’angle ϑ entre ~p et u
~ y ). (L’angle ψ correspondrait à la rotation de la molécule autour de l’axe (C,~p).)
de ~p sur le plan (~
ux , u
On a donc
ext
ext
ext
dEext
(III.50)
p (D) = dext Ep (D) + dC Ep (D) + d(ϑ, ϕ) Ep (D) ,
| {z } |
{z
}
~D→ext )
− d̄W(F
~ext→D )
− d̄W(F
où l’on a noté dext (resp dC , d(ϑ, ϕ) ) une différenciation par rapport aux positions des sources extérieures (resp.
à la position de C, à l’orientation du dipôle), et
~
dext Eext
p · dext E(C),
p (D) = −~
(III.51)
~
p · dC E(C),
dC Eext
p (D) = −~
(III.52)
~
d(ϑ, ϕ) Eext
p.
p (D) = −E(C) · d~
(III.53)
~ext→D et Γ
~ (C)
Vérifions, à partir des expressions obtenues pour F
que l’on a bien
ext→D
~ext→D ) = ~p · dC E(C)
~
~
− d̄W(F
+ E(C)
· d~p.
(III.54)
Le travail des forces exercées sur un solide S pendant une durée dt infinitésimale est
~ext→S · d~r(M) + Γ
~ (M) · d̄~
d̄W = F
α,
ext→S
(III.55)
où M est un point quelconque du solide, d~r(M) le déplacement élémentaire de M par rapport à un référentiel
~ ※5 représente une rotation du solide par rapport à R d’un angle infinitésimal d̄α autour
galiléen R, et d̄~
α B d̄α u
~. (En termes de vitesse angulaire instantanée de rotation ω
~ R0 /R , par rapport à R, du référentiel R0
de l’axe u
~ R0 /R (t) dt.) Pour le dipôle, avec M = C, on a
dans lequel le dipôle est fixe, d̄~
α=ω
−−→ ~
~ext→D ) = ([~p · −
~ ext ) · d̄~
d̄W(F
grad]E
r(C) + (~p × E
α.
(III.56)
ext ) · d~
5.
~ , mais une quantité vectorielle infinitésimale.
Attention, d̄~
α n’est pas une variation infinitésimale d’un vecteur α
36
Michel Fioc
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
~ ext ) · d̄~
~ ext Pour tous référentiels R et R0 et toute fonction vectorielle ~f ,
Vérifions d’abord que (~p × E
α = d~p · E




 d ~f 
 d ~f 

 = 

~ R0 /R × ~f ,
(III.57)
 dt 
 dt  + ω
/R
/R0
donc
d ~f
= d ~f
/R
/R0
+ d̄~
α × ~f .
Le moment dipolaire est permanent, c.-à-d. fixe dans le référentiel R0 du dipôle, donc d~p
l’indice « /R » pour le référentiel galiléen, on obtient
d~p = d̄~
α × ~p,
(III.58)
/R0
= ~0. En omettant
(III.59)
soit, en utilisant l’invariance du produit mixte par permutation circulaire,
~ ext ) · d̄~
~ ext = d~p · E
~ ext .
(~p × E
α = (d̄~
α × ~p) · E
(III.60)
−−−→ ~
~ ext . Pour un dipôle rigide, en électrostatique,
Montrons maintenant que ([~p · grad]E
r(C) = ~p · dE
ext ) · d~
−−−→ ~
−−−→
~ ext ) · d~r(C) = dC (~p · E
~ ext ).
([~p · grad]E
r(C) = grad(~p · E
(III.61)
ext ) · d~
Puisque ~p ne dépend pas de ~r(C),
~ ext ) = ~p · dE
~ ext (C).
dC (~p · E
(III.62)
~ ext (C) + E
~ ext (C) · d~p = d(~p · E
~ ext ) = −dEext
d̄W = ~p · dE
p (D)
(III.63)
On obtient finalement
~ ext .
avec Eext
p·E
p (D) = −~
Expression de d̄~
α
~p ne dépend que de l’orientation du dipôle. On peut écrire ~p = p ~k(ϑ, ϕ), où ~k est un vecteur unitaire de
colatitude ϑ et de longitude ϕ. On a


~k

 ∂~k
∂
~ϕ sin θ dϕ).
dϑ +
dϕ = p (~
uϑ dϑ + u
(III.64)
d~
p = p d~k = p 
∂ϑ
∂ϕ
~ϑ , u
~ϕ ) est orthonormée directe, donc
La base (~k, u
avec
~ext→D et Γ~ (C)
Calcul de F
ext→D
d~p = d̄~
α × ~p
(III.65)
~ϑ + dϑ u
~ϕ .
d̄~
α = − sin ϑ dϕ u
(III.66)
à partir de Eext
(D)
p
~ ext (C) et de la direction
L’énergie potentielle dépend des coordonnées (x, y, z) de C par l’intermédiaire de E
(ϑ, ϕ) de ~p. On a
∂Ep
∂Ep
∂Ep
∂Ep
∂Ep
dEp =
dx +
dy +
dz +
dϑ +
dϕ .
(III.67)
∂x
∂y
∂z
∂ϑ
∂ϕ
|
{z
} |
{z
}
~ ext =−F
~ext→D ·d~r(C)
~p·dE
~ ext ·d~p=−Γ
~ (C) ·d̄~
E
α
ext→D
−−→
~ext→D = − −
L’identification des termes de la première accolade donne F
gradC Eext
p (D) (ce qui n’était pas complètement évident car D n’est pas un point matériel). Celle des termes de la deuxième accolade donne l’expression
du moment en fonction de l’énergie potentielle :
~ (C) =
Γ
ext→D
4.
∂Eext
∂Eext
1
p (D)
p (D)
~ϑ −
~ϕ .
u
u
sin ϑ
∂ϕ
∂ϑ
Cas d’un dipôle induit
~ ext (C).
Considérons un dipôle induit tel que ~p = α E
37
(III.68)
Michel Fioc
a.
Électromagnétisme et électrocinétique (2P021)
UPMC, 2016/2017
Force et moment résultants
−−→ ~
~ext→D , −
~ ext , donc de la position. En
Contrairement au dipôle permanent, F
grad(~p · E
p dépend de E
ext ), car ~
revanche, d’après l’équation (III.44),
−−−→
−−→
−−−→ ~
→ ~ ~ −→
~ = ~p × −
~·−
grad(~p · E)
rot E
+ E × rot~p + (E
grad)~p + (~p · grad)E
−−→ ~
−−−→ ~
→~
~ × α−
~·−
= ~p × ~0 + E
rot E
+ 2 α (E
grad)E
= 2 (~p · grad)E,
(III.69)
donc
~ext→D
F

~ ext
−−−→ ~
−−−→ ~p · E
= (~p · grad)Eext = grad
2


.

(III.70)
~
~ ext (C) et que le moment dipolaire
Le moment exercé par le champ extérieur est nul puisque Γ
= ~p × E
ext→D
~ dans le cas considéré ici (~p = α E
~ ext ).
induit est aligné avec E
(C)
b.
Énergie potentielle
On a
−−→ ~
−−→ ~
−−→ ~
−−→ ~
−−→
~
−dEint
p (D) = FN→P · dOP + FP→N · dON = FN→P · dOP − FN→P · dON = FN→P · dNP.
(III.71)
~N→P en considérant un dipôle à l’équilibre. Le point P est soumis à la force
Déterminons l’expression de F
~N→P +Q E
~ ext (P) = ~0. Or E
~ ext (P) ≈ E
~ ext (C),
exercée par le champ extérieur et à celle due à N. S’il est à l’équilibre, F
donc
2
−→
~N→P = −Q E
~ ext (C) = − Q −
NP.
(III.72)
F
α
Le dipôle se comporte donc comme un ressort de raideur k = Q2 /α et de longueur à vide nulle, d’où
Eint
p (D) =
~ ext (C)
~p · E
1
1 ~p 2
k (NP)2 =
=
.
2
2 α
2
(III.73)
Le calcul effectué au § III.d.3.c pour Eext
p (D) étant indépendant de la nature du dipôle,
ext
Eint
p (D) + Ep (D) = −
38
~ ext (C)
~p · E
.
2
(III.74)