L`enseignement des Probabilités Intuition, Modélisation et Analyse
publicité
L’enseignement des Probabilités Intuition, Modélisation et Analyse Alexandre Marino [email protected] http://marino.prepa.free.fr Un problème a priori "central" Intervalle de confiance/ de fluctuation Interprétation P( α Sn α ∈]p − √ , p + √ [) ≥ 95% n n n ou ? P(p ∈] Sn α Sn α −√ , + √ [) ≥ 95% n n n n Questions : Intervalle asymptotique ou non ? α = 1 ou α = 2.24. Quel est cet objet P, p ? Liens intuition/ Modélisation. Comment introduire "une" proba ? : Un peu d’histoire ! Huygens, Fermat et Pascal. Jacques Bernoulli. Laplace (1749-1827) ⇓ Pafnouti Lvovitch Tchebychev Andrei Markov (1856-1922) ⇓ Kolmogorov (1903-1987) ⇓ Kiyoshi Ito, Wolfgang Doeblin. Wendelin Werner (1968- ) Comment introduire "une" proba ? : Un peu d’histoire ! Huygens, Fermat et Pascal. Jacques Bernoulli. ⇒ Approche fréquentiste Laplace (1749-1827) ⇓ 6 Pafnouti Lvovitch Tchebychev Andrei Markov (1856-1922) Loi des grands nombres ⇓ Kolmogorov (1903-1987) ⇓ Kiyoshi Ito, Wolfgang Doeblin. Wendelin Werner (1968- ) ⇒ Axiomatique Comment introduire "une" proba ? : Un peu d’histoire ! Huygens, Fermat et Pascal. Jacques Bernoulli. Laplace (1749-1827) ⇓ Pafnouti Lvovitch Tchebychev Andrei Markov (1856-1922) ⇓ Kolmogorov (1903-1987) ⇓ Kiyoshi Ito, Wolfgang Doeblin. Wendelin Werner (1968- ) Théorème de Cox/Jaynes. Apprentissage Bayésien ⇓ ...... Probabilité ? ? ? ? ? Des questions (abordées !) : Qu’est-ce qu’une proba ? Quelle proba choisir ? (en accord avec "l’esprit" des programmes) Le "hasard" dans tout ça ? ? ? Hasard, simulation, algorithmique, complexité. à lire... "Au hasard la chance, la science et le monde" Ivar Ekeland Principes de la modélisation Expérience ? =⇒ Conclusions Principes de la modélisation Expérience ? =⇒ Conclusions 6 Modélisation ? ? ? Analyse ? ? interprétation ? ? ? Principes de la modélisation Expérience ? =⇒ @ Conclusions 6 @ @ données@expérimentales @ @ ? @ @ R @ Outils : CALCULS Univers/Proba VA/Loi Conclusions : Résultats théoriques Principes de la modélisation ? Expérience =⇒ Conclusions 6 Modélisation ? ? ? Analyse interprétation ? ? ? ? Outils : Univers/Proba VA/Loi CALCULS- Conclusions : Résultats théoriques Comment introduire une proba ? Fréquence ou croyance ? Approche Fréquentiste : une forme d’"unicité". Approche Bayésienne : une "perception". Intuition et problème Confusion "possible/probable" ? Une pièce est-elle a priori équilibrée ? Le hasard est-il unique ? Un jeu de hasard... oui, mais lequel ? (problème juridique) Un dé donne 5 Pile successivement, quelle est la probabilité qu’il donne Pile ? Un/Le bon choix Le cadre imposé par le programme ! Incohérent ? Un/Le bon choix Le cadre imposé par le programme ! Un peu de tout ! ! ! Approche axiomatique : calculs de probabilités. Approche fréquentiste : intervalles de confiance. Approche bayésienne : test, révision des croyances. Incohérent ? Un/Le bon choix Le cadre imposé par le programme ! Un peu de tout ! ! ! Approche axiomatique : calculs de probabilités. Approche fréquentiste : intervalles de confiance. Approche bayésienne : test, révision des croyances. Incohérent ? NON Théorème de Cox/Jaynes degré(s) de croyance "consistant" ⇔ probabilité(s) isom Comment simuler le hasard ? La loi forte des grands nombres Sn P−ps −→ p n n→+∞ Tests et vérifications Est-ce que votre calculatrice simule bien le hasard ? Comment quantifier l’erreur ? Comment simuler le hasard ? Quel est le problème ? Quelles sont les contraintes ? La percolation Problème Comment se déplacer dans un monde "aléatoire" de manière déterministe ? Problème dual=Problème de "diffusion" Comment se déplacer de manière aléatoire dans un univers connu ? La percolation Labyrinthe aléatoire 10x10, p = 1/2 La percolation Labyrinthe aléatoire 50x50, p = 1/2 La percolation Labyrinthe aléatoire 100x100, p = 1/2 La percolation Labyrinthe aléatoire 100x100, p = 0.8 La percolation Est-ce vraiment un hasard ? La percolation Vraiment ? ? ? ? La percolation Alors ça percole ? La percolation Une probabilité critique ? La loi du 0-1 de Kolmogorov ! La percolation La loi du 0-1 de Kolmogorov ! Quelques liens et lectures Des simulations : http ://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/tutorial1.html Le logiciel R : http ://math.u-bourgogne.fr/IMB/cardot/MIGS/IntroRM1MIGS.pdf Hasard et déterminisme chez Laplace. Jean-Pierre Kahane. 2007. http ://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/17/52/29/PDF/laplace.pdf Au Hasard - La Chance, La Science Et Le Monde. Ivar Ekeland. Probability Theory : The Logic of Science. E. T. Jaynes. 2003. Citation Benedict Spinoza (1632-1677) Nothing in Nature is random. ... A thing appears random only through the incompleteness of our knowledge. Annexe 1 : Le théorème de Cox-Jaynes Le théorème de Cox-Jaynes Notations Nous notons P(A|C) la plausibilité d’une proposition A jugée au vue des connaissances C. Hypothèses 1 P(A|C) ∈ R (un réel !) 2 Consistance : s’il existe plusieurs calculs (corrects) pour déterminer une plausibilité, ils doivent tous mener au même résultat. 3 si P(A|C 0 ) > P(A|C) alors P(A|C 0 ) < P(A|C). 4 si P(A|C 0 ) > P(A|C) et P(B|A ∩ C 0 ) = P(B|A ∩ C) alors P(A ∩ B|C 0 ) ≥ P(A ∩ B|C). Le théorème de Cox-Jaynes Conclusions : 1 Plausibilité d’une conjonction : P(A ∩ B|C) = P(A|C)P(B|A ∩ C) = P(B|C)P(A|B ∩ C). 2 Plausibilité et négation : P(A|C) + P(A|C) = 1 Conclusions : Degré de croyance "=" probabilité (au sens de Kolmogorov) Annexe 2 : intervalles de confiance Modéliser une répétition Répétitions ! On considère (Xn )n∈N une suite de VA i.i.d ,→ B(1, p). Vers une valeur moyenne= fréquence. ∀n ∈ N∗ , Sn = n X Xi ,→ B(n, p) i=1 L’inégalité de BT⇒ Intervalle de confiance P(| Sn p(1 − p) − p| ≥ ε) ≤ n n ε2 Intervalle de confiance Vers l’intervalle de confiance Sn 1 p(1 − p) P(| ≤ . − p| ≥ ε) ≤ 2 n nε 4nε2 1 2, 24 Choisir εn tel que ≤ 5% ⇒ εn = √ 2 n 4n εn Conclusion P( Sn 2, 24 2, 24 ∈]p − √ , p + √ [) ≥ 95% n n n Théorème de la limite centrale Enoncé √ Sn n L p ( − p) −→ N (0, 1) p(1 − p) n Idée √ n Sn P( p | − p| ≤ u) −→ P(|Z | ≤ u) = 95% n→+∞ p(1 − p) n où Z ,→ N (0, 1). Vers un intervalle asymptotique de confiance P(|Z | ≤ u) = 95% ⇒ u = 1, 96. p p(1 − p)u Sn 1 √ | − p| ≤ ≤√ . n n n Intervalle "asymptotique" de confiance Conclusion P(p ∈] Sn 1 Sn 1 −√ , + √ [) ≥ 95% n n n n Analyse des données, outils nécessaires Les tests ! ! !
