Exercice de spécialité Nouvelle

Ultrabac Terminale S - Exercice de spécialité du sujet Nouvelle-Calédonie mars 2008 Page 1 sur 2
Partie A - Question de cours
Démonstration de cours :
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la
multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.
Les propriétés incriminées sont les suivantes :
Soient a, b, c et d quatre entiers relatifs et n un entier naturel non nul.
Si
modulo
modulo
≡
≡
a b n
c d n
alors
La congruence est compatible La congruenc
e est compatible
avec l'addition. avec la multiplication.
modulo et modulo
+ ≡ + × ≡ ×
a c b d n a c b d n
Si
modulo
≡
a b n
alors
La congruence est compatible avec l'élév
ation à la puissance.
pour tout entier naturel , modulo
≡
k k
k a b n
Démontrons la propriété concernant la multiplication.
Pour ce faire, nous devons revenir à la définition de la congruence modulo n.
Deux entiers sont congrus modulo divise
leur différence
⇔n n
Dire que
modulo
modulo
≡
≡
a b n
c d n
signifie que n divise les deux différences
−
a b
et
−
c d
.
Par conséquent n divise aussi leur combinaison linéaire :
(
)
(
)
× − + × − = ×d a b a c d d a − × + × − ×b d a c a d
= × − ×
a c b d
Donc
modulo
× ≡ ×
a c b d n
.
Partie B
On note
0,1, 2, ,9, ,
α β
…
les douze chiffres servant à l'écriture d'un nombre en base 12.
Par exemple :
12 2 2 2
7 12 12 7 11 12 10 12 7 1711
βα = β× + α× + = × + × + = en base 10
1.a) Soit
1
N
le nombre s'écrivant en base 12 :
12
1
N 1
= β α
Déterminer l'écriture de
1
N
en base 10.
En base 10, les chiffres α et β ont pour valeurs respectives 10 et 11.
Nous pouvons écrire :
12 2
1
N 1 11 12 1 12 10 1 1606
βα
= β α = × + × + × =
1.b) Soit
2
N
le nombre s'écrivant en base 10 :
3 3
2
N 1131 1 10 1 10 3 10 1
= = × + × + × +
Déterminer l'écriture de
2
N
en base 12.
Pour connaître les chiffres écrivant ce nombre en base 12, nous allons devoir en extraire
toutes les puissances de 12 possibles.
Pour ce faire, nous allons commencer par le diviser par 12. Le reste nous donnera le
chiffre des unités. Puis, nous recommencerons le processus avec le quotient pour obtenir
les autres chiffres. Le processus s'arrêtera lorsque le quotient sera nul.
Effectuons la division euclidienne de 1131 par 12 : comme
1131 94 12 3
= × +
, alors
elle a pour reste 3 et pour quotient 94. Le chiffre des
0
12
est 3.
Effectuons la division euclidienne de 94 par 12 : comme
94 7 12 10
= × +
, alors elle a
pour reste 10 et pour quotient 94. Le chiffre des
1
12
est α .
Effectuons la division euclidienne de 7 par 12 : comme
7 0 12 7
= × +
, alors elle a
pour reste 7 et pour quotient 0. Le chiffre des
2
12
est 7. Le processus s'arrête.
En fait, tout ce que nous venons de faire repose sur la cascade suivante :
( )
2
2
N 1131 94 12 3 7 12 10 12 3 7 12 10 12 3
= = × + = × + × + = × + × +
Conclusion : l'écriture en base 12 de l'entier
2
N
est
12
7 3
α
Dans toute la suite, un entier naturel N s'écrira de manière générale en base 12 :
12
n 1 0
N=
a a a
…
2.a) Démontrer que
0
N modulo 3
≡a .
En déduire un critère de divisibilité par 3 d'un nombre écrit en base 12.
Si l'entier naturel N s'écrit
12
n 1 0
a a a
…
en base 12, alors cela signifie qu'en base 10,
nous avons :
n 2
n 2 1 0
N 12 12 12
= × + + × + × +
a a a a
…
Or modulo 3 :
12 4 3 4 0 0 modulo 3
≡ × ≡ × ≡
Pour tout entier naturel
{
}
k 1; 2; ; n
∈
…
, il vient alors :
k k
k
kkk
On élève à la puissance k
On multiplie par l'enti
12 0 0 modulo 3
12 0 0 modulo 3
er
≡ ≡
× × ≡
→
→≡a aa
Si l'on congrue l'entier N modulo 3, il vient alors :
n 2
n 2 1 0
0 0
N 12 12 12
0 0 0 modulo 3
≡ × + + × + × +
≡ + + + + ≡
a a a a
a a
…
…

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Les entiers divisibles par 3 étant ceux et seulement ceux qui sont congrus à 0 modulo 3,
nous en déduisons le critère de divisibilité suivant :
Un entier N est divisible par 3 si et seulement si son chiffre des unités
0
a
en base 12 est
divisible par 3 .
2.b) A l'aide de son écriture en base 12, déterminer si l'entier
2
N
est divisible par 3.
Confirmer avec son écriture en base 10.
Comme le dernier chiffre de
2
N
en base 12 est 3 et que celui-ci est divisible par 3, alors
oui,
2
N
est divisible par 3.
La confirmation de ce résultat en base 10 est des plus rapides : comme la somme des
chiffres (en base 10) de
2
N
qu'est
1 1 3 1 6
+ + + =
est divisible par 3, alors là encore,
nous pouvons en conclure que
2
N
est divisible par 3.
3.a) Démontrer que
n 1 0
N modulo 11
≡ + + +a a a
…
.
En déduire un critère de divisibilité par 11 d'un nombre écrit en base 12.
Modulo 11, nous avons :
12 11 1 0 1 1 modulo 11
≡ + ≡ + ≡
Pour tout entier naturel
{
}
k 1; 2; ; n
∈
…
, nous pouvons alors écrire :
k k
k
kkk k
On élève à la puissance k
On multiplie par l'entie
12 1 1 modulo 3
12 1 modulo
r
3
≡ ≡
× ≡ × ≡
→
→aaa a
Si l'on congrue l'entier N modulo 11, il vient alors :
n 2
n 2 1 0
n 2 1 0
N 12 12 12
modulo 11
≡ × + + × + × +
≡ + + + +
a a a a
a a a a
…
…
Les entiers divisibles par 11 sont ceux et seulement ceux qui sont congrus à 0 modulo
11. Par conséquent, nous en déduisons le critère de divisibilité suivant :
Un entier N est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres en base 12
qu'est
n 2 1 0
+ + + +
a a a a
…
est divisible par 11 .
3.b) A l'aide de son écriture en base 12, déterminer si
1
N
est divisible par 11.
Confirmer avec son écriture en base 10.
La somme des chiffres du nombre
12
1
N 1
= β α
est égale à
11 1 10 22
βα
+ + =
.
Comme celle-ci est divisible par 11, alors le nombre
1
N
est divisible par 11.
Ce résultat est confirmé en base 10 car
1606 11 146
= ×
.
Un critère de divisibilité par 11
De la même façon qu'il existe un critère de divisibilité par 3, il en existe un pour 11.
Comme
10 11 1 1 modulo 11
≡ − ≡ − et
100 99 1 1 modulo 11
≡ + ≡ , alors on établit
que modulo 11, les puissances paires de 10 sont congrues à 1 et les impaires à
1
−
.
Par conséquent, pour tout entier naturel
10
n 1 0
N=
b b b
…
écrit en base 10, nous avons :
( ) ( ) ( )
( )
n 4 3 2
n 4 3 2 1 0
n 4 3 2 1 0
4 2 0 5 3 1
Chiffres de rang pair Chiffres de rang impair
N 10 10 10 10 12
1 1 1 1 1
modulo 11
≡ × + + × + × + × + × +
≡ × − + + × + × − + × + × − +
≡ + + + − + + +
n
b b b b b b
b b b b b b
b b b b b b
…
…
… …
On en déduit qu'un entier N est divisible par 11 si et seulement si la différence de ses
chiffres de rang pair avec ses chiffres de rang impair est aussi divisible par 11.
4) Un nombre s'écrit
12
N 4=
x y
.
Déterminer les valeurs de x et y pour lesquelles N est divisible par 33.
Un entier N est divisible par
33 3 11
= ×
lorsque et seulement lorsqu'il est divisible à la
fois par 11 et 3. Car 3 et 11 sont premiers entre eux. Par conséquent :
Critère de divisibilité par 3 : Critère d
e divisibilité par 11 :
Le chiffre des unités doit être La
divisible par 3.
N est divisible par 33 est divisible par
3 et 4 est divisible par 11
⇔ + +y x y
somme des chiffres doit être
divisible par 11.
Concerne y , les seuls entiers compris entre 0 et 11 divisibles par 3 sont 0 ; 3 ; 6 et 9.
Comme les entiers x et y sont compris entre 0 et 11, alors la somme somme 4
+ +
x y
est
comprise entre 4 et 26. Les seuls multiples de 11 accessibles à celle-ci sont 11 et 22.
Il ne nous reste plus qu'à passer en revue toutes les valeurs possibles pour y :
Si
0
=
y alors la
4
comprise entre 4 et 15
somme 4
+ +
x y
ne peut qu'être égale à 11. On a alors :
7
=
x .
Si
3
=
y alors la
7
comprise entre 7 et 18
somme 4
+ +
x y
ne peut qu'être égale à 11. On a alors :
4
=
x .
Si
6
=
y alors la
10
comprise entre 10 et 21
somme 4+ +
x y
ne peut qu'être égale à 11. On a alors :
1
=
x .
Si
9
=
y alors la
13
comprise entre 13 et 24
somme 4+ +
x y
ne peut qu'être égale à 22. On a alors :
9
=
x .
Conclusion : il y a quatre valeurs possibles pour N. En base 12, ils s'écrivent :
12
740
;
12
443
;
12
146
et
12
949