Unité 1 – Les Méthodes numériques L`approximation (estimation) du
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Unité 1 – Les Méthodes numériques L'approximation (estimation) du résultat d'une opération Approximer un résultat d’une opération signifie que l’on ignore la réponse exacte, mais que l’on doit en trouver une toute proche. L'approximation de l'addition L'approximation de la soustraction : 800 : 750 800 – 750 = 50 50 L'approximation de la multiplication L'approximation de la division entre Prendre des raccourcis dans les calculs Nous allons détailler quelques astuces pour additionner rapidement certains nombres. Il faut tout d’abord penser à regrouper de manière INTELIGENTE les nombres. Calculons 4 + 3 + 6 + 1 + 5 + 9 + 5 + 7 + 2 Se termine par 0 Et bien on va regrouper les nombres de telle manière que cela se finisse par 0 ! Ainsi on met ensemble les nombres se terminant par : 1 et 9 2 et 8 3 et 7 4 et 6 5 et 5 Ainsi : 4 + 3 + 6 + 1 + 5 + 9 + 5 + 7 + 2 = (4+6) + (3+7) + (1+9) + (5+5) +2 = 10 + 10 + 10 + 10 + 2 = 42 Bien sûr on peut faire pareil quand on a des gros nombres, c'est le dernier chiffre (le chiffre des unités) qui est important : 13 + 25 + 21 + 46 + 17 + 19 + 35 + 24 = (13+17) + (25+35) + (21+19) + (46+24) = 30 + 60 + 40 + 70 = (30 + 70) + (60 + 40) = 100 + 100 = 200 Tu as vu qu’à la fin, on a encore regroupé 30 et 70, et 60 et 40, pour donner 100, ça rend le calcul d'après encore plus rapide. Se termine par 5 Pour calculer 3 + 6 + 9 + 12, on ne peut pas regrouper de telle sorte que ça se termine par 0... Mais ce n'est pas grave, on va regrouper de telle sorte que ça se termine par 5 !! Donc les nombres qui se terminent par : 1 et 4 2 et 3 6 et 9 7 et 8 Ici on regroupe donc le 3 et le 12, et le 6 et 9 ! 3 + 6 + 9 + 12 = (3 + 12) + (6 + 9) = 15 + 15 = 30 Autre exemple : 12 + 16 + 94 + 53 + 7 + 63 = (16 + 94) + (53 + 7) + (12 + 63) = 110 + 60 + 75 = 170 + 75 = 245 Pareil pour les multiplications Fais cela dans n’importe quel calcul, y compris les multiplications !! Il faut surtout multiplier les nombres se terminant par 5 avec des nombres pairs, pour avoir ainsi un 0 à la fin. Par exemple : 6 x 2 x 3 x 5 = (2x5) x (6x3) = 10 x 18 = 180 Si on fait dans l'ordre : (6 x 2) x (3 x 5) = 12 x 15 = ???? Là tout de suite c'est beaucoup moins évident que ça fait 180, alors que 10x18 on voit tout de suite que ça vaut 180. Autres trucs… Multiplication par 5 : on multiplie par 10 (facile) et on divise par 2 (facile aussi). Exemple : 39 × 5 = 390 ÷ 2 = 195. Division par 2 : je décompose le nombre. Ainsi pour diviser 396 par 2, je compte 396 ÷ 2 = (300+90+6) ÷ 2 et là c'est très simple, ça fait 150 + 45 + 3 = 198. Multiplication par 25. On sait que 25, c'est 100/4. Donc on multiplie par 100 et on divise par 4. Exemple : 128 × 25 = 12800/4 = (12000 + 800) ÷ 4 = 3000 + 200 = 3200. Multiplication par 11. Un nombre à deux chiffres multiplié par 11 est ce nombre avec entre les deux chiffres, la somme des deux chiffres. Exemple : 11 × 13 = 143 car 4 = 1+3 (les 1 et 3 proviennent du 13). Un autre : 11 × 72 = 792. Multiplication par 9 : on sait que 9 = 10 - 1. On multiplie par 10 le nombre et on le soustrait une fois. Ainsi 9 × 15 ça fait 150 - 15 = 135. Le calcul mental et l’addition Lorsqu’on effectue mentalement une addition, on peut d’abord arrondir les nombres à additionner. Par la suite, il ne nous reste qu’à additionner les nombres arrondis, puis à ajuster le résultat obtenu. Mentalement, trouver la somme de 139 et 48. Solution 1) Arrondir. 139 arrondis à la dizaine près donne 140; 48 arrondis à la dizaine près donne 50. 2) Additionner les nombres arrondis. La somme de 140 et 50 est 190. On peut ignorer les zéros et les ajouter seulement à la fin. Par exemple, 14 + 5 = 19. On ajoute ensuite le ou les zéros ignorés à la fin, ce qui nous donne 190. 3) Ajuster. Il ne nous reste qu’à ajuster le résultat, car on a modifié les nombres du départ. Voici comment on procède: 140 représente 1 unité de plus que 139 : 140 – 139 = 1 ; 50 représente 2 unités de plus que 48 : 50 – 48 = 2. On a donc ajouté 3 unités de trop dans notre estimation. On doit donc enlever ces 3 unités au résultat de l’estimation (190) pour obtenir le résultat exact : 190 – 3 = 187. La réponse finale est donc 139 + 48 = 187. Le calcul mental et la soustraction Lorsque l’on effectue mentalement une soustraction, on peut d’abord arrondir les nombres à soustraire et par la suite, ajuster le résultat. Mentalement, trouver la différence de 112 et 90. Solution 1) Arrondir. 112 arrondi à la dizaine près donne 110 ; 90 arrondi à la dizaine près donne 90. 2) Soustraire les nombres arrondis. La différence entre 110 et 90 est 20. On peut ignorer les zéros et les ajouter seulement à la fin. Par exemple, 11 – 9 = 2. On ajoute ensuite le ou les zéros ignorés à la fin, ce qui nous donne 20. 3) Ajuster. Il ne nous reste qu’à ajuster le résultat, car on a modifié les nombres du départ. Voici comment on procède: 110 représente 2 unités de moins que 112 : 110 – 112 = -2. On a donc enlevé 2 unités dans notre estimation. On doit donc ajouter ces 2 unités au résultat de l’estimation pour obtenir le résultat exact : 20 + 2 = 22. La réponse finale est donc 112 – 90 = 22 Le calcul mental et la multiplication Tu trouveras ci-dessous 2 trucs qui pourraient t’être utiles pour trouver mentalement le résultat d’une multiplication. Si l’on effectue une opération avec des nombres se terminant par des zéros, on peut les ignorer pendant le calcul et les ajouter seulement à la fin de l’opération. Trouver mentalement le produit de 200 x 70. Solution Si l’on ignore les zéros, la multiplication deviendra 2 x 7 = 14. On doit ensuite ajouter le ou les zéros ignorés au début. Puisqu’on a ignoré 3 zéros (200 x 70), il nous faut les ajouter à 14. La réponse est donc 14 000. Trouver mentalement le produit de 300 x 7. Solution On ignore les 2 zéros afin d’obtenir l’opération simplifiée suivante : 3 x 7 = 21. On ajoute ensuite les 2 zéros ignorés (300 x 7). La réponse est donc 2 100. Pour trouver mentalement le résultat de multiplications dont les nombres ne se terminent pas par des zéros, on peut procéder selon la démarche suivante : 1) On remplace le chiffre des unités par un zéro. 2) On effectue la multiplication avec les nombres modifiés en ignorant d’abord les zéros, puis en les ajoutant au résultat obtenu (voir le truc 1 ci-dessus). 3) On multiplie le chiffre qui occupait initialement la position des unités par le multiplicateur de l’opération demandée. 4) On additionne les réponses obtenues aux étapes 2 et 3. Trouver mentalement le produit de 21 x 6. Solution On applique la démarche suggérée ci-dessus : 1) On remplace le chiffre des unités par un zéro : 21 x 6 devient 20 x 6 2) On effectue la multiplication avec les nombres modifiés en ignorant d’abord les zéros, puis en les ajoutant au résultat obtenu : 2 x 6 = 12 → 120 3) On multiplie le chiffre qui était à la position des unités par le multiplicateur de l’opération initiale : Le chiffre à la position des unités est 1. Le multiplicateur est 6. On doit alors effectuer l'opération suivante : 1 x 6 = 6 4) On additionne les deux réponses (étapes 2 et 3) : 120 + 6 = 126 L’opération de multiplication 21 x 6 = 126 est donc équivalente à celle effectuée à l’étape 4. Le calcul mental et la division Tu trouveras ci-dessous 2 trucs qui pourraient t’être utiles pour trouver mentalement le résultat d’une division. Tout comme pour la multiplication, il y a un truc pour diviser les nombres qui se terminent par des zéros. Ce truc consiste à vérifier si, par cette division, on obtient une réponse sans décimale. 1) On ignore d’abord les zéros, puis on observe si le nouveau nombre est divisible par l’autre. 2) Si c’est le cas, on effectue la division en ignorant les zéros. 3) Finalement, on ajoute le ou les zéros ignorés à la réponse. Trouver mentalement le quotient de 720 ÷ 9. Solution On applique la démarche en 3 étapes : 1) On ignore d’abord les zéros, puis on observe si le nouveau nombre est divisible par l’autre : Si on ignore le zéro (720), la division devient 72 ÷ 9 2) Si c’est le cas, on effectue la division en ignorant les zéros. Puisque cette division ne donne pas de réponse décimale, on peut affirmer que 72 est divisible par 9 : 72 ÷9=8 3) Finalement, on ajoute le ou les zéros ignorés à la réponse. On ajoute à la réponse le zéro ignoré : 80 Si les deux nombres de la division se terminent par un ou plusieurs zéros, il est possible de les éliminer pour faciliter la division. Il suffit de choisir le plus petit nombre de zéros parmi les 2 nombres représentés par la division et de les enlever. Trouver mentalement le quotient de 200 ÷ 50. Solution Comme les deux nombres ont des zéros à la fin, on choisit le nombre qui possède le moins de zéros : Il y a 1 zéro dans 50. Il y a 2 zéros dans 200. Puisqu’il n’y a qu’un seul zéro dans 50, on enlèvera seulement un zéro à chacun des nombres. 200 ÷ 50 → 20 ÷ 5 = 4 La réponse de 200 ÷ 50 est donc 4. Règles de divisibilité Par 2 Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un nombre pair (0, 2, 4, 6, 8). Ainsi 961853154 se termine par 4 qui est pair, donc il est divisible par 2. En revanche, 45387612836459 se termine par 9 qui est impair, il n’est donc pas divisible par 2. Par 4 Un nombre est divisible par 4 s'il est 2 fois divisible par 2. On divise donc le nombre par 2, et on regarde si on peut le diviser encore une fois par 2. Exemple : 860 et 622. 860/2 = 430, et 430 est divisible par 2, donc 860 est divisible par 4. 622/2 = 311 mais 311 n'est pas divisible par 2 ! Donc 622 n'est pas divisible par 4... Petit truc : pour un grand nombre de plusieurs chiffres, il suffit de regarder si ses 2 derniers chiffres sont divisibles par 4. Exemple : 6259824 Il suffit de regarder si 24 est divisible par 4. 1653698689456 : il suffit de regarde si 56 est divisible par 4. Par 3 Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Pour 14635, on fait 1+4+6+3+5 = 19, et on recommence : 1+9 = 10, et on recommence 1+0 = 1. Or 1 n’est pas divisible par 3 donc 14635 n’est pas divisible par 3. En revanche, pour 4569 : 4+5+6+9 = 24, 2+4 = 6, or 6 est divisible par 3, donc 4569 est divisible par 3. Par 9 Pour 9 c’est la même chose, Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Pour 936, 9+3+6 = 18, et 1+8 = 9, or 9 est divisible par 9, donc 936 est divisible par 9. Par 5 Pour 5 : un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5. 5360 et 5645 se terminent par 5, donc sont divisibles par 5, mais pas 45869 qui se termine par 9. Par 6 Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible par 2 ET par 3 (voir ci-dessus). 828 est divisible par 2 car il se termine par 8 qui est pair, et par 3 car 8 + 2 + 8 = 18 qui est divisible par 3. 828 est donc divisible par 2 et 3 donc par 6. Par 10 Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0, comme 156320 par exemple. Par 8 Un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par les 3 derniers chiffres est divisible par 8 Les nombres premiers et les nombres composés Un nombre premier est un nombre qui n’a que 2 facteurs différents, c’est-à-dire 1 et lui-même. Un nombre composé est un nombre qui a 3 facteurs ou plus. Crible d’Ératosthène (pour trouver les nombres premiers inférieurs à 100) Entoure 2 et biffe tous les multiples de 2 Entoure 3 et biffe tous les multiples de 3 Entoure 5 et biffe tous les multiples de 5 Entoure 7 et biffe tous les multiples de 7 Entoure les nombres qui restent Les nombres biffés sont des nombres composés. Les nombres entourés sont des nombres premiers. En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de 2. L'ensemble des nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 : (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109) (137, 139) (149, 151) (179, 181) (191, 193) (197, 199) (227, 229) (239, 241) (269, 271) (281, 283) (311, 313) (347, 349) (419 , 421) (431 , 433) (461 , 463) (521 , 523) (569 , 571) (599 , 601) (617 , 619) (641 , 643) (659 , 661) (809 , 811) (821 , 823) (827 , 829) (857 , 859) (881 , 883) Ordre des opérations On veut calculer 5 + 3 x 8 – 6 Marc fait les calculs dans l'ordre, il fait ainsi : 8 x 8 - 6 = 64 - 6 = 58 Laura commence par la multiplication et continue dans l'ordre : 5 + 24 - 6 = 29 - 6 = 23 Christophe commence par l'addition et la soustraction : 8 x 2 = 16 On trouve donc trois réponses différentes, mais il n'y a qu'une seule réponse possible pour un calcul. On a donc créé des règles de priorité des opérations pour que tout le monde calcule dans le même ordre. La priorité des opérations est une convention qui établit un ordre à respecter pour effectuer les calculs dans une chaîne d'opérations. Voici l'ordre à suivre: 1. Les parenthèses. 2. Les exposants 3. Les divisions ou multiplications (de la gauche vers la droite) 4. Les additions ou les soustractions (de la gauche vers la droite) Pour se souvenir de l'ordre, on peut prendre les premières lettres de chacune des étapes et former un mot: PEDMAS (ou PEMDAS). Dans le calcul précédent, c'est Laura qui avait raison. Elle a commencé par la multiplication et a terminé par les additions et soustractions. Exemple 1: 6 x (4 - 2) + 5 x 7 = 6 x 2 + 5 x 7 (La parenthèse en premier.) = 12 + 35 (Les multiplications ensuite.) = 47 (On finit par l'addition.) Exemple 2: 9 - 4 + 6 x 7 = 9 - 4 + 42 (La multiplication en premier, car il n'y a pas de parenthèse.) = 5 + 42 = 47 (On finit par la soustraction et l'addition dans l'ordre.) Additionner & Soustraire des nombres décimaux Quand on effectue une addition ou une soustraction de nombres décimaux, il faut : Aligner les virgules les unes au-dessous des autres. Aligner les chiffres comme pour les nombres entiers: 1. le chiffre des unités sous le chiffre des unités, 2. le chiffre des dizaines sous le chiffre des dizaines, 3. le chiffre des dixièmes sous le chiffre des dixièmes, etc. Commencer les calculs par les chiffres les plus à droite. Ne pas oublier les retenues : les retenues fonctionnent comme avec les nombres entiers. Écrire la virgule dans le résultat sous les autres virgules. Quand on effectue une addition ou une soustraction avec des nombres entiers et décimaux, il faut transformer le nombre entier en nombre décimal. Tous les nombres entiers peuvent s’écrire sous la forme d’un nombre décimal. Exemple : 51 = 51,0 Dans le cas d’une soustraction, il faut écrire autant de zéros après la virgule que l’autre nombre décimal en contient. Ajoute un 0 Exemple: 43,8 − 7,06 = 36,74 N'oublie pas que 43,8 est égal à 43,80. Attention à ne pas oublier la virgule dans le résultat. Exemple: 125,52 – 49 = 76,52 49, n’a pas de partie décimale, donc, on soustrait, les unités aux unités les dizaines aux dizaines, et les centaines aux centaines. ATTENTION: avant de commencer la soustraction, on écrit la partie décimale et on reporte la virgule. Multiplier et Diviser par 10; 100; 1000;… Multiplier et diviser par 10 ; 100 ; 1000. La virgule se déplace. Pour multiplier un nombre décimal par 10; 100; 1 000: on déplace la virgule de 1, 2, 3 rangs vers la droite de ce nombre. On ajoute un ou plusieurs zéros si c’est nécessaire. Pour diviser un nombre décimal par 10; 100; 1 000: on déplace la virgule de 1, 2, 3 rangs vers la gauche de ce nombre. On ajoute un ou plusieurs zéros si c’est nécessaire. Pour multiplier un nombre par 0,1 je déplace la virgule de 1 rang vers la gauche 123,456 × 0,1 = 12,3456 Pour multiplier un nombre par 0,01 je déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche 123,456 × 0,01 = 1,23456 Pour multiplier un nombre par 0,001 je déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche Pour multiplier un nombre par 0,0001 je déplace la virgule de 4 rangs vers la gauche Pour diviser un nombre par 0,1 je déplace la virgule de 1 rang vers la droite 123,456 ÷ 0,1 = 1234,56 Pour diviser un nombre par 0,01 je déplace la virgule de 2 rangs vers la droite 123,456 ÷ 0,01 = 12345,6 Pour diviser un nombre par 0,001 je déplace la virgule de 3 rangs vers la droite Pour diviser un nombre par 0,0001 je déplace la virgule de 4 rangs vers la droite Multiplier des nombres décimaux Multiplier un nombre décimal par un nombre entier ayant un seul chiffre. Étape 1: J'effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule. Étape 2: Je place la virgule de façon à ce qu'il y ait autant de décimales au résultat que dans les facteurs. Multiplier un nombre décimal par un nombre entier ayant deux chiffres ou plusieurs chiffres. Étape 1: J'effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule. Étape 2: Je place la virgule de façon à ce qu'il y ait autant de décimales au résultat que dans les facteurs. MULTIPLIER UN NOMBRE DECIMAL PAR UN AUTRE NOMBRE DECIMAL. Étape 1: J'effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule. Étape 2: Je place la virgule de façon à ce qu'il y ait autant de décimales au résultat que dans les facteurs. Diviser un nombre décimal par un entier naturel La réponse est donc 0.333… À partir de maintenant, nous n’utilisons plus de restant dans les divisions. Diviser un nombre décimal par un nombre décimal On va rendre le diviseur entier. Étape 1: Je multiplie le diviseur par 10; 100; 1000;… pour le rendre entier. Étape 2: Je multiplie le dividende par 10; 100; 1000;… en déplaçant la virgule d'un, deux ou trois rang(s) vers sa droite. Étape 3: J'effectue la division. Exemple: 41.5 ÷ 8.3 1. Je multiplie 8.3 x 10 = 83 2. Je multiplie 41.5 x 10 = 415 3. J’effectue la division 415 ÷83 5 83 415 0 ________________________ 41 _________________________ 00 _________________________ 415 415 __________________________ 0 Substituer des nombres aux variables des formules Pour déterminer une variable manquante dans une formule, la méthode la plus simple est de remplacer toutes les lettres par les valeurs numériques données. Après cette substitution, la formule devient une équation du premier degré à résoudre. Il faut donc appliquer les mêmes règles que pour résoudre une équation. Pour trouver la distance en kilomètres parcourue à une vitesse constante, on peut employer la formule d=v x t ou d = vt d = distance, v = vitesse, t = temps Quelle distance parcourt-on en 2,5 h à 80 km/h? Substitue 80 à v et 2,5 à t dans la formule, puis évalue d = vt d = 80 x 2,5 d= 200 On parcourt 200 km Que se passe-t-il si on vous donne la distance parcourue et la vitesse. Peut-on trouver le temps du parcourt? Combien de temps dure le trajet si la distance parcourue était de 480 km à une vitesse de 80 km/h? d = vt 480 = 80 x t t = 480 ÷ 80 t=6 Le trajet a duré 6 heures Les Fractions Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs. Elle est représentée comme suit : Le nombre du haut s'appelle le numérateur Le nombre du bas s'appelle le dénominateur Le trait ou barre de fraction signifie que l'on divise le numérateur par le dénominateur. Exemple : 3/7 signifie que l'on divise 3 par 7 ; on prononce cette fraction « trois septièmes ». 3 est appelé numérateur parce qu'il indique un nombre de trois unités (les septièmes) 7 est appelé dénominateur parce qu'il dénomme l'unité (le septième) avec laquelle on opère. Si on mange les 3/7 d'une tarte, le numérateur 3 indique le nombre de parts que l'on mange alors que 7 indique le nombre total de parts. Les fractions équivalentes Deux fractions sont équivalentes si elles représentent la même quantité ou le même rapport. Voici trois façons de représenter la moitié d'un rectangle 1/2 2/4 Dans les trois cas, la fraction représentée est équivalente 1/2 = 2/4 = 3/6 3/6 Pour vérifier si deux fractions sont équivalentes Méthode 1 Réduisez les deux fractions S'il s'agit de fractions équivalentes, les deux fractions irréductibles seront identiques. Exemple: Méthode 2 Effectuez le produit croisé S'il s'agit de fractions équivalentes, les deux produits seront identiques Exemple: Pour obtenir une fraction équivalente Pour obtenir une fraction équivalente dont le numérateur et le dénominateur sont plus grands que la fraction de départ, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre entier non nul. Exemple: Pour obtenir une fraction équivalente dont le numérateur et le dénominateur sont plus petits que la fraction de départ, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre entier non nul (diviseur commun). Exemple Fraction irréductible (ou simplifiée) Règles Simplifier une fraction revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même entier strictement positif (cet entier est donc un diviseur commun au numérateur et au dénominateur). La fraction obtenue est irréductible si elle ne peut plus être simplifiée. Exemples On veut écrire plus simplement • On remarque que 150 et 400 sont des multiples de 10. On peut donc écrire: On dit qu'on a simplifié la fraction par 10. • On voit maintenant que 15 et 40 sont des multiples de 5. On a donc: simplifié la fraction . . On dit qu'on a par 5. • Finalement, on peut écrire : irréductible. . Cette écriture ne peut plus être simplifiée. On dit qu'elle est Placer des fractions sur une droite numérique Pour placer une fraction comme , on partage le segment unité en huit parts égales. Chaque portion limitée par deux graduations correspond à Il est alors facile de placer le point correspondant à . . Les nombres fractionnaires Un nombre fractionnaire est un nombre qui contient une partie sous forme entière (une ou plusieurs unités) et une partie sous forme de fraction. 4 2/3 signifie 4 entiers et 2/3 Voici 5 pizzas. Lors d’une fête, on a mangé 4 pizzas complètes (coupées en 3 morceaux) et on a mangé 2 morceaux sur 3 de la dernière pizza. Le nombre fractionnaire qui représente le dessin ci-dessous est: 4 2/3 Fraction impropre Une fraction est dite impropre lorsque la valeur du numérateur est plus grande que celle du dénominateur. Une fraction impropre peut être traduite par un nombre fractionnaire. 22/7 = 3 1/7 Du nombre fractionnaire à la fraction Pour transformer un nombre fractionnaire en fraction : Transformez la partie entière en fraction. Cette fraction doit avoir le même dénominateur que la partie fractionnaire. Additionnez les deux fractions. Exemple: Méthode 1 Méthode 2 De la fraction au nombre fractionnaire Pour transformer une fraction en nombre fractionnaire : Divisez le numérateur par le dénominateur avec reste La partie entière de votre quotient correspond à la partie entière du nombre fractionnaire Le reste correspond à la partie fractionnaire du nombre fractionnaire Exemple: Placer des fractions sur une droite numérique Pour placer une fraction supérieure à l’unité sur un axe gradué, on commence par l’écrire comme somme de sa partie entière et de sa partie fractionnaire. Pour cela on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Pour la fraction , on fait la division de 13 par 5 : Sur l’axe gradué, la fraction Comme sera donc placée entre les graduations 2 et 3. on partage le segment compris entre 2 et 3 en cinq parts égales. Il ne reste plus qu’à placer . Additionner & Soustraire des fractions Additionner et soustraire deux fractions. Pour bien comprendre et analyser le phénomène, nous allons devoir envisager deux cas de figure. Les deux fractions ont même dénominateur. Par exemple, additionnons les fractions et . Rapportées à un gâteau rond partagé en quatre parts, la fraction correspond à 2 parts. représente une part et Comme nous devons faire une addition, additionnons les parts ! Nous avons donc la situation suivante : La bonne manière d'additionner les fractions et est donc : Nous savons désormais comment additionner (et même soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur. Règle 1 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur. Pour calculer la somme (ou la différence) de deux fractions ayant le même dénominateur : o o on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs. on conserve leur dénominateur commun. Autrement écrit: Cette règle est certes utile mais que se passe-t-il lorsque les deux fractions n'ont pas le même dénominateur? Les deux fractions n'ont pas le même dénominateur. Par exemple, additionnons les fractions et . A quelle fraction correspond la part totale ? Les quarts et les tiers ne s'additionnent pas facilement même lorsqu'il s'agit de parts de gâteau !La seule chose que nous savons faire est d'additionner deux fractions ayant le même dénominateur. Nous allons donc mettre les fractions et sur un même dénominateur. Parmi les dénominateurs communs possibles, il y a 12, 24, 36... Nous choisissons le plus simple d'entre eux qui est 12. La situation vient donc évolué: au lieu d'additionner des quarts et des tiers, nous additionnerons des douzièmes... La bonne manière d'additionner les fractions et est donc : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur, il suffit de leur trouver un dénominateur commun. D'où la règle suivante : Règle 2 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant des dénominateurs différents. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur : o o on les met sur un même dénominateur. puis, on les additionne (ou on les soustrait) en utilisant la règle 1. Nous savons désormais comment additionner ou soustraire deux fractions grâce à nos deux règles. Effectuons l’opération. Pour soustraire ces deux fractions, il faut au préalable leur trouver un dénominateur commun. Certains diront que leur dénominateur commun est 48 = 8 × 6. C'en est un mais ce n'est pas le plus simple ! Le plus simple est 24 car 24 = 8 × 3 et 24 = 6 × 4. Nous aurions pu faire le calcul en choisissant pour dénominateur commun 48 mais ils auraient été un peu plus compliqués... L’addition de nombres fractionnaires Si l’équation est composée de nombres fractionnaires, on peut résoudre l'addition de deux façons. Premièrement, on peut effectuer l’opération sur les entiers puis sur les fractions. 21/3+31/3 D'abord, on s'occupe des entiers. On trouve que 2 + 3 = 5. Ensuite, les fractions. On trouve que 1/3 + 1/3 = 2/3. Ainsi la réponse est 52/3. Il se peut aussi que les fractions ne soient pas sur le même dénominateur. Il faut alors trouver un dénominateur commun. 41/4+22/5 D'abord, on s'occuper des entiers. On trouve que 4 + 2 = 6. Ensuite les fractions. Comme elles ne sont pas sur le même dénominateur, on doit trouver un dénominateur commun à 4 et 5 qui, ici, pourrait être 20. 1/4 + 2/5 = 5/20 + 8/20 = 13/20 Ainsi la réponse est 6 13/20. La soustraction de nombres fractionnaires Si l’équation est composée de nombres fractionnaires, il existe plusieurs méthodes. La plus simple reste cependant à transformer les nombres fractionnaires en fractions et à utiliser la méthode présentée un peu plus haut. 5 1/3 – 2 2/5 = 16/3 – 12/ 5 = 80/15 – 36/ 15 = 44/ 15 =2 14/15 La multiplication de fractions et de nombres fractionnaires Puis en remplaçant par les fractions correspondantes du dessin, on obtient: La multiplication de fractions La méthode de multiplication de fractions est plutôt simple. On doit multiplier les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble. On obtient ainsi une nouvelle fraction qui correspond au produit final. 5× 7= 5×7 = 35 8 11 8×11 88 1x4=1x4=4 =2 2 5 2 x 5 10 5 La multiplication de nombres fractionnaires Dans le cas d’une multiplication avec des nombres fractionnaires, il faut d’abord transformer les nombres fractionnaires en fractions, puis effectuer l’opération. 4½x5¼ On transforme les nombres fractionnaires en fractions et on obtient: 4½ On utilise le truc 4 x 2 + 1 = 9 9/2 5¼ On utilise le truc 5 x 4 + 1 = 21 21/4 Ainsi, on peut facilement multiplier. 9 x 21 = 9 x 21 = 189 ou 23 5/8 2 4 2x4 8 Donc, la réponse est 189/8, qui une fraction impropre. On peut cependant transformer cette fraction en nombre fractionnaire, ce qui nous donnerait 235/8. La division de fractions et de nombres fractionnaires Diviser un nombre par une fraction revient à multiplier ce nombre par la fraction inverse du diviseur Exemples Combien de tuiles roses puis-je poser sur un mur bleu sachant que chaque tuile rose représente 1/12 du mur ? Je veux couvrir les 2/3 de mon mur avec des belles tuiles roses. Combien de tuiles roses dois-je poser sur le mur sachant que chaque tuile rose représente 1/6 du mur ? Je veux couvrir les 3/4 de mon mur avec des belles tuiles roses. Combien de tuiles roses dois-je poser sur le mur sachant que chaque tuile rose représente 1/3 du mur ? Deux fractions sont inverses si leur produit est égal à 1 Nous pouvons dire que: 111/33 est la fraction inverse de 33/111 33/111 est la fraction inverse de 111/33 5/12 est la fraction inverse de 12/5 12/5 est la fraction inverse de 5/12 1/9 est la fraction inverse de 9/1 9/1 est la fraction inverse de 1/9 La division de fractions Afin de résoudre une division de deux fractions, il est important de se souvenir que faire une division revient à faire une multiplication par l'inverse. Pour faire une division, on suit les étapes suivantes 1÷1 2 3 1. On inverse la fraction de droite 13 2 1 2. On change le signe de division pour un signe de multiplication 1× 3 2 1 3. On fait la multiplication des fractions. 1 × 3= 3 212 La division de nombres fractionnaires Dans le cas d’une division avec des nombres fractionnaires, il faut d’abord transformer ces nombres fractionnaires en fractions, puis effectuer l’opération comme il a été expliqué plus haut. 4 1/3 ÷ 2/5 = 13÷ 2= 13× 5= 65= 10 5/6 3 5 3 2 6 Suite de nombres Une suite consiste à placer les nombres en suivant un ordre logique. Voici une suite de nombre 1, 3, 5, 7, 9, … Dans cet exemple, la règle de la suite est « les nombres impairs ». Dans une suite, chacun des nombres est appelé un terme. Chaque terme est associé à un rang qui indique sa position dans la suite. Régularité Une suite est composée d’éléments dont la succession dépend d’une régularité. La régularité est la règle d’une suite de nombres. C’est donc la règle qui permet de déterminer quels nombres se trouvent dans la suite et dans quel ordre. Soit la suite suivante 50, 45, 40, 35, 30,... Ici, la régularité est de -5 entre les nombres. Soit la suite suivante: La régularité est : chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par 2. Suite arithmétique On appelle suite arithmétique, une suite de nombres où la différence entre deux termes qui se suivent est constante. Exemple de suite arithmétique Exemple de suite non arithmétique On appelle nombres carrés les nombres correspondants aux figures suivantes: Quel est le nième nombre carré? On appelle nombres triangulaires les nombres correspondants aux figures suivantes: Quel est le nième nombre triangulaire? Combien aurons-nous de cercles bleus et de cercles rouges dans la prochaine figure? Combien y a-t-il de carrés dans un dallage de 4 x 4? 5 x 5? 6 x 6? = 1 carré 2 x 2 = 5 carrés 3 x 3 = 14 carrés 4 x 4 = ? carrés 5 x 5 = ? carrés Nombres de carreaux Nombres de carrés 1 1 4 5 9 14 16 ? 25 ? 36 ?
