Structures algébriques

I. Les structures algébriques
Déf 1 : On appelle loi de composition interne (LCI) sur un ensemble E toute application de E x E
dans E.
Ex : addition, multiplication sur
ℝou ℂ
; Addition sur l'ensemble des fonctions définies sur
ℝ
….
et beaucoup d'autres.
Exemples de lois non internes : produit scalaire ( le produit scalaire de deux vecteurs n'est pas un
vecteur) ; multiplication sur l'ensemble des fonctions définies et strictement croissantes sur un
intervalle I (en effet, le produit de deux fonctions strictement croissantes sur I n'est pas forcément
une fonction strictement croissante sur I).
Déf 2 : Un ensemble G muni d'une LCI notée * est un groupe si et seulement si :
•* est associative
∀(a ,b , c)∈G3,(a∗b)∗c=a∗(b∗c)
•G admet un élément neutre e pour G :
∀a∈G , a∗e=e∗a=a
•Tout élément a de G possède un élément symétrique dans G pour * :
∀a∈G , ∃b∈G , a∗b=b∗a=e
. Ce symétrique est souvent noté
a−1
.
Si de plus, * est commutative, le groupe G est commutatif (ou abélien).
Exemples :
(ℂ ,+);(ℝ ,+);(ℤ ,+)
sont des groupes abéliens.
E={ fa,b:ℝ→ℝ, x →ax+b}
avec
(a , b)∈ℝ2
, muni de la loi
∘
∘
est un
groupe, non abélien.
Mais,
(ℕ ,+)
n'est pas un groupe (seul 0 a un symétrique).
Déf 3 : Un ensemble K muni de deux LCI notées + et
×
est un corps si :
•(K, +) est un groupe abélien ;
•
×
est associative ;
•
×
est distributive par rapport à + :
∀(a ,b , c )∈ K3:a×(b+c)=a×b+a×c
;
•
×
a un élément neutre dans K , noté 1 ;
•Tout élément de
K−{0 }
possède un symétrique (ou inverse) pour
×
;
Si de plus
×
est commutative, le corps est alors commutatif.
Exemples :
ℚ,ℝet ℂ
sont des corps munis des lois usuelles + et
×
.
II. Formule de Cardan
Soit (E) l'équation du 3e degré :
x3+ax2+bx+c=0
(1) avec
(a , b , c)∈ℝ3
.
En posant
x=X−a
3
, on obtient une équation de la forme
X3+pX +q=0
.
L'idée est ensuite de poser
X=u+v
où u et v sont deux nouvelles inconnues.
L'équation précédente s'écrit alors :
u3+3u2v+3uv2+v3+p(u+v)+q=0
ce qui donne :
u3+v3+q+3uv(v+u)+ p(u+v)=0
soit
u3+v3+q+(u+v)(3uv+p)=0
.
Les nombres complexes : compléments

Pour résoudre cette dernière équation, il suffit de trouver u et v tels que :
{
u3+v3+q=0
uv=−p
3
ce qui donne
{
u3+v3= −q
u3v3=−p3
27
u3et v3
sont donc solutions de l'équation :
T2+qT−p3
27 =0
dont le discriminant est égal à
Δ=q2+4 p3
27
.
La formule de Cardan s'applique lorsque
Δ≥0
. On obtient alors :
x=3
√
−q−
√
Δ
2+3
√
−q+
√
Δ
2
Il est possible de montrer que dans ce cas, l'équation (1) possède une unique solution réelle.
Dans le cas
Δ<0
l'équation (1) possède 3 solutions réelles.... comment faire ?
En étudiant le cas de l'équation
x3=15x+4
qui possède une solution évidente, à savoir 4,
Bombelli obtient
Δ=−484=−222
. Son génie est de poser (en notation moderne) :
−1=i2
( il appelle ce nombre i : piu di meno ) ce qui lui permet d'écrire
u3=2+11i et v3=2−11i
.
Bombelli se rend compte que
(2+i)3=2+11i et que (2−i)3=2−11i
. En posant alors
u=2+iet v=2−i
il obtient :
x=2+i+2−i=4
!
III. Racines n-ième d'un nombre complexe non nul.
(n∈ℕ *)
1. Racines n-ième de l'unité
Déf : On appelle racine n- ième de l'unité tout nombre complexe z tel que
zn=1
. L'ensemble des
racines n-ième de l'unité, pour un n fixé est noté
Un
.
Remarque : l'inverse, le conjugué, le produit de racines n-ième de l'unité est encore une racine n-
ième de l'unité.
Démonstration : en exercice.
Exemples :
U1={1} ;U2={−1;1} ;U 4={−1;1;−i ; i }
En posant
j=−1+i
√
3
2=e
2iπ
3
, on obtient
U3={1 ; j ; j2}
Propriétés de j :
j2+j+1=0
j2=̄ j=1
j
Démonstration : à faire.
Théorème :
Un
contient exactement n éléments distincts. Plus précisément :
Si ω=e
2i π
n
alors
Un={1 ;ω;ω2;...... ;ω(n−1)}

Propriétés :
∀k∈ℤ ,ω(n−k)=ωk
∑
k=0
n−1
ωk=1+ω+...+ω(n−1)=0
Démonstration : en exercice.
Théorème :
(Un,⋅)
est un groupe commutatif.
Démonstration : en exercice.
2. Représentation géométriques des racines n- ièmes de l'unité.
Théorème : Les points
Mk
d'affixes
ωk
,
k∈ℤ
appartiennent au cercle C de centre O et de
rayon 1 et forment un polygone régulier à n côtés de centre O, symétrique par rapport à l'axe réel et
inscrit dans C .
De plus, O est l'isobarycentre des points
Mk
0≤k≤n−1
.
Démonstration :
∀k∈ℤ ,OM k=
∣
ωk
∣
=
∣
ω
∣
k=1
donc
Mk
appartient au cercle C.
La suite
(ωk)k∈ℤ
est n- périodique
∀k∈ℤ ,ω(k+n)=ωkωn=ωk
: la suite de points
Mk
est donc entièrement représenté en faisant varier k de 0 à (n-1). Pour de tels k, les affixes sont deux
à deux distinctes (cf. Théorème du III.1.). La représentation des points
Mk
est donc un polygone à
n sommets ( et donc à n côtés). Le conjugué d'une racine n-ième de l'unité étant aussi une n-ième de
l'unité, le polygone obtenu est symétrique par rapport à l'axe des réels.
∑
k=0
n−1
ωk=1+ω+...+ω(n−1)=0
Donc O est l'isobarycentre des n points
Mk
,
0≤k≤n−1
.
n=3 n=4
n=5 n=6

3. Racines n-ième d'un nombre complexe non nul.
Soit
z0
un nombre complexe non nul d'écriture exponentielle
z0=ρeiθ
.
Déf : On appelle racine n- ième de
z0
tout nombre complexe z tel que
zn=z0
Dans ce cas, le nombre complexe non nul
α=ρ
1
ne
(iθ
n)
est clairement une racine n-ième de
z0
.
Nous obtenons donc :
zn=z0⇔( z
α)
n
=1⇔( z
α)racine n-ième de l'unité.
Ceci permet d'énoncer le théorème suivant :
Exemple : Trouver les racines cinquième de 1+i ?
Cela revient à résoudre dans
ℂ
l'équation :
z5=1+i
.
Nous avons :
1+i=
√
2e
(iπ
4)
les racines cinquièmes de 1+i sont donc
2
(1
10 )
e
(iπ
4+2ik π 5)
avec
k=0,1,2,3,4 ; c'est-à-dire :
2
(1
10 )
e
(iπ
4)
;
2
(1
10 )
e
(13i π
20 )
;
2
(1
10 )
e
(21iπ
20 )
;
2
(1
10 )
e
(−3iπ
20 )
.
IV. Equations du second degré à coefficients complexes
1. Racines carrées d'un nombre complexe non nul
Le paragraphe précédent appliqué au cas n=2 permet immédiatement le résultat suivant :
Propriété et définition: Soit
z0
un nombre complexe non nul. L'équation
z2=z0
possède deux
solutions complexes distinctes et opposées, appelées racines carrées de
z0
.
Soit
δ
l'une de ces racines carrées (Attention, la notation
√
est réservée aux réels positifs!)
Calcul effectif de
δ
Soient
z0=a+ib et δ=x+iy
les écritures algébriques de
z0et de δ
.
Le système à résoudre est donc
{
x2−y2=a
2 xy=b
. Pour résoudre ce système plus agréablement, il suffit
d'observer que
∣
δ2
∣
=
∣
z0
∣
⇒x2+y2=
√
a2+b2
. Ce qui donne au final :
{
x2−y2=a
x2+y2=
√
a2+b2
xy du signe de b
ce qui donne
{
x=
√
a+
√
a2+b2
2
y=ϵ
√
−a+
√
a2+b2
2
ϵ∈{−1;1}suivant le signe de b
Exemples :
Théorème :
z0
possède exactement n racines n-ième distinctes. Plus précisément :
L'équation zn=z0 a pour ensemble de solutions dans ℂ: S={ α;αω ;α ω2;...... ;αω(n−1)}
avec ω=e
2i π
n

2. Equations du second degré à coefficients complexes.
Soit (E) l'équation
az2+bz+c=0
avec
(a , b , c)∈ℂ*×ℂ×ℂ
.
En utilisant la forme canonique, nous obtenons aisément :
(E)⇔( z+b
2a )
2
=Δ
4a2
. En notant
δ
une racine carrée de
Δ
, nous obtenons
immédiatement que (E) possède deux solutions complexes
S=
{
−b+δ
2a ;−b−δ 2a
}
Remarques : ces deux solutions ne sont en général pas conjuguées. Les autres résultats vus en cours
pour les équations du second degré à coefficients réels (somme et produit des racines, factorisation,
restent valables)