Structures algébriques

Les nombres complexes : compléments
I. Les structures algébriques
Déf 1 : On appelle loi de composition interne (LCI) sur un ensemble E toute application de E x E
dans E.
Ex : addition, multiplication sur ℝ ou ℂ ; Addition sur l'ensemble des fonctions définies sur ℝ ….
et beaucoup d'autres.
Exemples de lois non internes : produit scalaire ( le produit scalaire de deux vecteurs n'est pas un
vecteur) ; multiplication sur l'ensemble des fonctions définies et strictement croissantes sur un
intervalle I (en effet, le produit de deux fonctions strictement croissantes sur I n'est pas forcément
une fonction strictement croissante sur I).
Déf 2 : Un ensemble G muni d'une LCI notée * est un groupe si et seulement si :
•
* est associative ∀(a ,b , c)∈G 3 ,(a∗b)∗c=a∗(b∗c)
•
G admet un élément neutre e pour G : ∀ a∈G , a∗e=e∗a=a
•
Tout élément a de G possède un élément symétrique dans G pour * :
∀ a∈G , ∃b∈G , a∗b=b∗a=e . Ce symétrique est souvent noté a −1 .
Si de plus, * est commutative, le groupe G est commutatif (ou abélien).
Exemples : (ℂ , +) ;(ℝ , +);(ℤ , +) sont des groupes abéliens.
E={ f a , b :ℝ → ℝ , x →ax+b} avec (a , b)∈ℝ 2 , muni de la loi ∘
∘ est un
groupe, non abélien.
Mais, (ℕ , +) n'est pas un groupe (seul 0 a un symétrique).
Déf 3 : Un ensemble K muni de deux LCI notées + et × est un corps si :
•
(K, +) est un groupe abélien ;
•
× est associative ;
•
× est distributive par rapport à + : ∀(a ,b , c)∈ K 3 :a×(b+c)=a×b+a×c ;
•
•
× a un élément neutre dans K , noté 1 ;
Tout élément de K−{ 0 } possède un symétrique (ou inverse) pour
Si de plus
× ;
× est commutative, le corps est alors commutatif.
Exemples : ℚ ,ℝ et ℂ sont des corps munis des lois usuelles + et
× .
II. Formule de Cardan
Soit (E) l'équation du 3e degré : x 3+ax 2+bx+c=0 (1) avec (a , b , c)∈ℝ3 .
En posant x= X −
a
, on obtient une équation de la forme X 3+ pX +q=0 .
3
L'idée est ensuite de poser X =u+v où u et v sont deux nouvelles inconnues.
L'équation précédente s'écrit alors : u 3+3u 2 v+3uv 2+v 3+ p(u+v)+q=0 ce qui donne :
u 3+v 3+q+3uv (v+u)+ p(u+v)=0 soit u 3+v 3+q+(u+v)(3uv + p)=0 .
Pour résoudre cette dernière équation, il suffit de trouver u et v tels que :
{
{
3
3
3
3
u +v = −q
u +v +q= 0
3
ce qui donne
−p
3 3 −p
uv=
u
v
=
3
27
2
u 3 et v 3 sont donc solutions de l'équation : T +qT−
Δ=q 2+
p3
=0 dont le discriminant est égal à
27
4 p3
.
27
La formule de Cardan s'applique lorsque Δ≥0 . On obtient alors :
x=
√
3
√
−q− √ Δ 3 −q+ √ Δ
+
2
2
Il est possible de montrer que dans ce cas, l'équation (1) possède une unique solution réelle.
Dans le cas Δ<0 l'équation (1) possède 3 solutions réelles.... comment faire ?
En étudiant le cas de l'équation x 3=15x +4 qui possède une solution évidente, à savoir 4,
Bombelli obtient Δ=−484=−22 2 . Son génie est de poser (en notation moderne) : −1=i 2
( il appelle ce nombre i : piu di meno ) ce qui lui permet d'écrire u 3=2+11i et v 3=2−11i .
Bombelli se rend compte que (2+i)3=2+11i
u=2+i
et que (2−i)3=2−11i . En posant alors
et v=2−i il obtient : x=2+i+2−i=4 !
III. Racines n-ième d'un nombre complexe non nul. (n∈ℕ *)
1. Racines n-ième de l'unité
Déf : On appelle racine n- ième de l'unité tout nombre complexe z tel que z n=1 . L'ensemble des
racines n-ième de l'unité, pour un n fixé est noté U n .
Remarque : l'inverse, le conjugué, le produit de racines n-ième de l'unité est encore une racine nième de l'unité.
Démonstration : en exercice.
Exemples : U 1={ 1} ;U 2 ={−1 ;1} ; U 4={−1; 1;−i ; i }
En posant j= −1+i √ 3 =e
2
Propriétés de j :
j 2+ j+1=0
2i π
3
, on obtient U 3={ 1 ; j ; j 2 }
1
j2 =̄j=
j
U n contient exactement n éléments distincts. Plus précisément :
Théorème :
Si ω=e
Démonstration : à faire.
2i π
n
2
alors U n={1 ; ω ; ω ;...... ;ω
(n −1)
}
n−1
( n−k)
Propriétés : ∀ k ∈ℤ , ω
=ω
k
∑ ω k =1+ω+...+ω( n−1)=0
k=0
Démonstration : en exercice.
Théorème : (U n ,⋅) est un groupe commutatif.
Démonstration : en exercice.
2. Représentation géométriques des racines n- ièmes de l'unité.
Théorème : Les points M k d'affixes ωk , k ∈ℤ appartiennent au cercle C de centre O et de
rayon 1 et forment un polygone régulier à n côtés de centre O, symétrique par rapport à l'axe réel et
inscrit dans C .
De plus, O est l'isobarycentre des points M k
0≤k≤n−1 .
Démonstration : ∀ k ∈ℤ ,OM k =∣ω k∣=∣ω∣ =1 donc M k appartient au cercle C.
k
k
La suite (ω )k ∈ℤ est n- périodique ∀ k ∈ℤ , ω( k +n)=ωk ω n=ωk : la suite de points M k
est donc entièrement représenté en faisant varier k de 0 à (n-1). Pour de tels k, les affixes sont deux
à deux distinctes (cf. Théorème du III.1.). La représentation des points M k est donc un polygone à
n sommets ( et donc à n côtés). Le conjugué d'une racine n-ième de l'unité étant aussi une n-ième de
l'unité, le polygone obtenu est symétrique par rapport à l'axe des réels.
n−1
∑ ω k =1+ω+...+ω( n−1)=0
Donc O est l'isobarycentre des n points M k , 0≤k≤n−1 .
k=0
n=3
n=5
n=4
n=6
3. Racines n-ième d'un nombre complexe non nul.
z 0 un nombre complexe non nul d'écriture exponentielle z 0 =ρ e i θ .
Soit
z 0 tout nombre complexe z tel que z n= z 0
Déf : On appelle racine n- ième de
1
n
Dans ce cas, le nombre complexe non nul α=ρ e
(
iθ
)
n
z0 .
est clairement une racine n-ième de
z n
z
n
z
=
z
⇔(
Nous obtenons donc :
0
α ) =1⇔( α )racine n-ième de l'unité.
Ceci permet d'énoncer le théorème suivant :
Théorème : z 0 possède exactement n racines n-ième distinctes. Plus précisément :
n
2
z = z 0 a pour ensemble de solutions dans ℂ :S={ α ;α ω ; α ω ;...... ;α ω
L'équation
avec ω=e
( n−1)
}
2i π
n
Exemple : Trouver les racines cinquième de 1+i ?
Cela revient à résoudre dans ℂ l'équation : z 5=1+i .
Nous avons : 1+i= √ 2e
(
iπ
)
4
les racines cinquièmes de 1+i sont donc
(
k=0,1,2,3,4 ; c'est-à-dire :
2
1
iπ
) ( )
10
4
1
13i π
( ) (
)
10
20
e
; 2
e
1
21i π
( ) (
)
10
20
; 2
e
(
1
) (
2 10 e
i π 2 ik π
+
)
4
5
1
−3 i π
( ) (
)
10
20
; 2
e
avec
.
IV. Equations du second degré à coefficients complexes
1.
Racines carrées d'un nombre complexe non nul
Le paragraphe précédent appliqué au cas n=2 permet immédiatement le résultat suivant :
Propriété et définition: Soit z 0 un nombre complexe non nul. L'équation z 2= z 0 possède deux
solutions complexes distinctes et opposées, appelées racines carrées de z 0 .
Soit δ l'une de ces racines carrées (Attention, la notation
√
est réservée aux réels positifs!)
Calcul effectif de δ
Soient z 0 =a+ib
et
δ= x+iy les écritures algébriques de z 0 et de δ .
Le système à résoudre est donc
{
2
2
x −y =a . Pour résoudre ce système plus agréablement, il suffit
2 xy=b
d'observer que ∣δ 2∣=∣z 0∣⇒ x 2+ y 2= √ a 2+b 2 . Ce qui donne au final :
{
Exemples :
2
2
x −y =a
2
2
2
2
x +y = √ a +b ce qui donne
xy du signe de b
{
x=
√
a+ √ a 2+b2
2
√
−a+ √ a +b
2
ϵ∈{−1;1} suivant le signe de b
y=ϵ
2
2
2. Equations du second degré à coefficients complexes.
Soit (E) l'équation
*
az 2+bz+c=0 avec (a , b , c)∈ℂ ×ℂ×ℂ .
En utilisant la forme canonique, nous obtenons aisément :
b 2 Δ
) = 2 . En notant δ une racine carrée de Δ , nous obtenons
2a
4a
−b+δ −b−δ
immédiatement que (E) possède deux solutions complexes S =
;
2a
2a
(E)⇔( z+
{
}
Remarques : ces deux solutions ne sont en général pas conjuguées. Les autres résultats vus en cours
pour les équations du second degré à coefficients réels (somme et produit des racines, factorisation,
restent valables)