ECS1-1 Sur les racines de l’unité Lycée Pierre de Fermat 2016-2017 On considère un entier n vérifiant n Ê 2. Exemples Définition 1 1 Ï Les racines cubiques (i.e. 3e) de On appelle racine n-ième de l’unité tout nombre complexe z ∈ z n = 1. C vérifiant e l’unité sont : 2iπ 3 • ¡ 2π ¢2 2π 4π 1 , ei 3 et ei 3 = ei 3 c’est-à-dire i.e. en notant j = e • 2iπ 3 : • e 2 Pour n = 2, les racines carrées de l’unité sont 1 et −1. 1 1 , j et j . 4iπ 3 Cherchons maintenant les racines n-ièmes de l’unité avec n Ê 1 quelconque. e Soit z = ρeiθ un nombre complexe non nul écrit sous forme trigonométrique (i.e. 2 Ï Les racines 4 de l’unité sont : ¡ 2π ¢3 ¡ 2π ¢2 2π 3π π ρ ∈ ∗+ et θ ∈ ), alors : 1 , ei 4 = ei 2 , ei 4 = eiπ et ei 4 = ei 2 R i R −1 c’est-à-dire : z n = 1 ⇐⇒ ρn einθ = ei×0 ⇐⇒ ρn = 1 et nθ ≡ 0 [2π] Z / nθ = 2kπ 2kπ ⇐⇒ ρ = 1 et : ∃k ∈ Z / θ = n ⇐⇒ ∃k ∈ Z / z = e 2ikπ n ⇐⇒ ∃k ∈ 0, n − 1 / z = e 2ikπ n • • 1 , i , −1 et − i. ⇐⇒ ρ = 1 et : ∃k ∈ −i 3 Ï Les racines 5e de l’unité sont : 1, e i 2π 5 ¡ 2π ¢2 ¡ 2π ¢3 4π 6π , ei 5 = ei 5 , ei 5 = ei 5 , . • • e e 4iπ 5 2iπ 5 • • • ¡ 2π ¢4 8π et ei 5 = ei 5 . e 6iπ 5 • • e Théorème 2 Les racines n-ièmes de l’unité sont les n nombres complexes : 1, ω, ω2 , . . . , ωn−1 avec ω = e 2iπ n . 8iπ 5 Remarques 1 Ï Si z est une racine n-ième de l’unité alors c’est aussi le cas de z. En fait, si z = ωk alors z = ωn−k . 1 1 2 Ï Le produit de deux racines n-ièmes de l’unité est encore une racine n-ième de l’unité. 3 Ï Interprétation géométrique : Comme on l’a constaté sur les exemples, les points du plan complexe dont les affixes sont les racines n-ièmes de l’unité sont situés sur le cercle trigonométrique et sont les sommets d’un polygone régulier à n cotés. Pour n = 6 on obtient donc un hexagone régulier : e −1 2iπ 3 • iπ e3 • • • • e 4iπ 3 1 • e 5iπ 3 On termine avec un résultat à retenir : la somme de toutes les racines n-ièmes de l’unité est nulle ! Proposition 3 2π On pose ω = ei n alors : 1 + ω + ω2 + · · · + ωn−1 = 0. Démonstration Comme ω 6= 1, on a : 1 + ω + ω2 + · · · + ωn−1 = d’où le résultat puisque ωn = 1. Par exemple, on a 1 + j + j2 = 0. 1 − ωn 1−ω