Analyse Convexe

Analyse Convexe
Ensembles convexes
Dénition. sous-espace ane si
stable par combinaison ane :
tels que 
 on a
Dénition. convexe : pareil avec  et 
Lemme. Soient  et convexe. Alors
Dénition. Soit sous-espace ane, . On à
Dénition. On appelle simplexe de dimension l’enveloppe
convexe de points.
Lemme. Soit un convexe de dimension alors in contient
un simplexe de dimension 
Théorème de Carathéodory et de Helly
Théorème (Théorème de Carathéodory).Soit .
Toute combinaison convexe d’éléments de peut s’écrire
comme combinaison d’au plus éléments de .
Théorème (Théorème de Radon).Soit ,
il existe et veriant :
 et 
Théorème (Théorème de Helly).Si une famille de
sous-ensembles convexes de est telle que toute sous-famille
de cardinal est d’intersection non vide alors la famille
entière est d’intersection non vide.
Propriétés topologiques des convexes
Proposition. Si convexe alors  et  sont convexes.
Dénition. ouvert et 
Lemme. L’interieur relatif d’un convexe est convexe.
Proposition. Soit  convexe de , alors 
Dénition. Soit convexe. On appelle jauge de :
Proposition. Soit convexe contenant et sa jauge.
1. 
2. 
Proposition. Soit convexe tel que   et sa jauge.
Alors  et continue sur .
Proposition. Soit convexe contenant .
Proposition. Si convexe,  , et ne
contient pas de demi-droite alors est une norme. Et  la
boule unité de .
Fonctions convexes
Proposition. 1. convexe 
 convexe
2. convexe  
convexe
Lemme. Si convexe majorée au voisinage de alors 
continue en .
Lemme. Soit  convexe. Alors 
localement bornée sur son domaine.
Corollaire. En dimension nie, une fonction convexe est
continue dans l’intérieur de son domaine.
Théorème de Hahn-Banach
Théorème (Théorème de Hahn-Banach).Soit un espace
vectoriel,  une fonction 1-homogène et sous-additive.
Soit un s.e.v de et   telle que :
 alors   telle que :
Corollaire. Soit un espace vectoriel normé, un
sous-espace et une forme linéaire continue sur . Alors 
s’étend en une forme linéaire continue sur de même norme
que .
Corollaire. Soit e.v.n,  xé, il existe de
norme telle que 
Théorème. Soit un espace vectoriel topologique, ,deux
ensembles convexes disjoints.
1. Si ouvert, telle que
2. Si localement convexe, compact, fermé, alors
et tels que
Corollaire (Hyperplan d’appui).Soit un convexe fermé
d’intérieur non vide et . Alors admet un hyperplan
d’appui en :non nulle telle que 
Polarité
Dénition. Soit . On appelle polaire de ,
Lemme. L’ensemble est convexe, fermé et contient .
Théorème.   est convexe, fermé et contient .
Dénition. Soit . On appelle fonction d’appui de :
Lemme.   
Proposition. Soit un convexe compact d’intérieur non
vide ( corps convexe ) tel que . Soit sa jauge.
Alors espace vectoriel normé dont la boule unité
est et i.e la boule unité de est le polaire
de .
Transformée de Legendre-Fenchel
Dénition. est dite semi-continue inférieurement si pour
toute suite convergente de on :
Lemme. s.c.i   sous-ensemble fermé de 
Lemme. Un  de fonctions s.c.i est s.c.i
Dénition (Transformée de Legendre-Fenchel).Soit une
fonction propre.
Lemme. est convexe et s.c.i
Dénition. Soit une fonction propre et . On
dit que est sous-gradient de en , si :
i.e 
Théorème. convexe propre, 
Corollaire. fonction convexe propre   minorée par une
fonction ane.
Théorème. Soit fonction propre, minorée par une fonction
ane. Alors 
Corollaire. Soit fonction propre.
  convexe et s.c.i.
Proposition. Si est convexe s.c.i, l’image du domaine de 
par  contient l’interieur du domaine de  i.e.
.

Convexité et diérentiabilité
Dénition. Soit fonction dénie au voisinage de et soit
. On dit que admet une dérivée directionnelle en 
dans la direction , notée  si :
Dénition. Gâteaux-dierentiable en si elle admet des
dérivées dans toutes les directions et si il existe tel que
 et on pose .
Lemme. Soit une fonction convexe et   . Alors
pour toute direction , la dérivée directionnelle  existe,
et il existe  telle que .
Proposition. Soit un ouvert convexe de et  
une fonction Gâteaux-diérentiable sur . Il y a équivalence
entre :
1. est convexe sur 
2. 
3. 
Corollaire. Si est deux fois diérentiable sur et si
 en tout point de alors est convexe.
Lemme. Soit  une fonction convexe et
soit dans l’intérieur du domaine de . Si est
Gâteaux-diérentiable en alors est diérentiable et
Proposition. Soit convexe et soit dans l’interieur du
domaine de . Alors est diérentiable en ssi  est un
singleton et on a : 
Théorème de Krein-Milman
Dénition. Soit un ensemble convexe de . On dit que
  est une face de si est convexe et si :
Lemme. Soit un convexe et soit une forme linéaire
atteignant son maximum sur . Alors l’ensemble
est une face de .
Proposition. Soit un convexe compact non vide, alors 
possède au moins un point extrémal.
Théorème (Krein-Milman).Soit un ensemble convexe
compact de alors est l’enveloppe convexe fermée de ses
points extrémaux.
Optimisation Convexe
minimiser  convexe
sous contraintes   convexe
 anes
Dénition. Le Lagrangien associé au problème est la
fonction :
Proposition. Soient ,solution de
et  vecteur KKT ssi vérie les contraintes et les
conditions :  
Théorème. On suppose que la valeur du problème n’est pas
 et que la condition dite de Slater est vériée : 
vériant les contraintes et vériant de plus :
pour tout tel que la fonction ne soit pas ane sur .
Alors le problème admet un vecteur KKT.
Lemme. Soit convexe et un cône convexe engendré par
un nombre ni de vecteurs. Si ne rencontre pas l’intérieur
relatif de , il existe 
et tel que l’inégalité soit stricte pour au moins un élément de
.
Corollaire. On suppose que le problème vérie les hypothèses
du théorème précédent. Alors est solution de  ssi 
tel que vérie les contraintes et les conditions de KKT.
Théorème de John
On dit que est un ellipsoïde si inversible et tels
que : 
Lemme. La fonction
 si 
 sinon
Théorème. Soit un convexe compact d’intérieur non vide.
Il existe un unique ellipsoïde contenu dans de volume
maximal, appelé ellipsoïde de John de .
Théorème. Un convexe compact d’intérieur non vide est
en position de John ssi est contenu dans 
et si il existe 
entier, des réels positifs et appartenant à
 tels que : 
Corollaire. Soit l’ellipsoïde de John de et u son centre
alors 
Si est symétrique par rapport à on a même
Espaces en dualité et programmation
linéaire
Dénition. On dit que et espaces vectoriels sont en
dualité s’il existe une application
qui soit une forme bilinéaire non dégénérée.
Dénition. Soit ,deux espaces en dualité. Soit 
la plus petite topologie sur telle que pour tout l’application
 soit continue. Alors muni de cette topologie est
un espace vectoriel topologique localement convexe.
Théorème. Soit une forme linéaire sur . Alors est
continue pour la topologie  ssi il existe  tel que
Dénition. Soit un cône de . On pose
C’est un cône férmé de appelé cône dual. De même si est
un cône de , le cône dual de est :
Théorème. Soit . On a ssi est un cône
fermé. Plus généralement est l’enveloppe conique fermée
de .
Théorème. Si l’ensemble des satisfaisant les contraintes
de : minimiser 
sous contraintes 
cône
est non vide et si le cône  est fermé
dans  muni de la topologie produit alors . Si de
plus  le problème admet une solution.
Théorème (Théorème de Kontorovitch).Les deux problèmes
ont la même valeur :
http ://ausset.me/cheatsheets