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Analyse Convexe
Ensembles convexes
Dénition. sous-espace ane si
stable par combinaison ane :
tels que
on a
Dénition. convexe : pareil avec et
Lemme. Soient et convexe. Alors
Dénition. Soit sous-espace ane, . On à
Dénition. On appelle simplexe de dimension l’enveloppe
convexe de points.
Lemme. Soit un convexe de dimension alors in contient
un simplexe de dimension
Théorème de Carathéodory et de Helly
Théorème (Théorème de Carathéodory).Soit .
Toute combinaison convexe d’éléments de peut s’écrire
comme combinaison d’au plus éléments de .
Théorème (Théorème de Radon).Soit ,
il existe et veriant :
et
Théorème (Théorème de Helly).Si une famille de
sous-ensembles convexes de est telle que toute sous-famille
de cardinal est d’intersection non vide alors la famille
entière est d’intersection non vide.
Propriétés topologiques des convexes
Proposition. Si convexe alors
et
sont convexes.
Dénition. ouvert et
Lemme. L’interieur relatif d’un convexe est convexe.
Proposition. Soit convexe de , alors
Dénition. Soit convexe. On appelle jauge de :
Proposition. Soit convexe contenant et sa jauge.
1.
2.
Proposition. Soit convexe tel que
et sa jauge.
Alors et continue sur .
Proposition. Soit convexe contenant .
Proposition. Si convexe,
, et ne
contient pas de demi-droite alors est une norme. Et
la
boule unité de .
Fonctions convexes
Proposition. 1. convexe
convexe
2. convexe
convexe
Lemme. Si convexe majorée au voisinage de alors
continue en .
Lemme. Soit convexe. Alors
localement bornée sur son domaine.
Corollaire. En dimension nie, une fonction convexe est
continue dans l’intérieur de son domaine.
Théorème de Hahn-Banach
Théorème (Théorème de Hahn-Banach).Soit un espace
vectoriel, une fonction 1-homogène et sous-additive.
Soit un s.e.v de et telle que :
alors telle que :
Corollaire. Soit un espace vectoriel normé, un
sous-espace et une forme linéaire continue sur . Alors
s’étend en une forme linéaire continue sur de même norme
que .
Corollaire. Soit e.v.n, xé, il existe de
norme telle que
Théorème. Soit un espace vectoriel topologique, ,deux
ensembles convexes disjoints.
1. Si ouvert, telle que
2. Si localement convexe, compact, fermé, alors
et tels que
Corollaire (Hyperplan d’appui).Soit un convexe fermé
d’intérieur non vide et . Alors admet un hyperplan
d’appui en :non nulle telle que
Polarité
Dénition. Soit . On appelle polaire de ,
Lemme. L’ensemble est convexe, fermé et contient .
Théorème. est convexe, fermé et contient .
Dénition. Soit . On appelle fonction d’appui de :
Lemme.
Proposition. Soit un convexe compact d’intérieur non
vide ( corps convexe ) tel que . Soit sa jauge.
Alors espace vectoriel normé dont la boule unité
est et i.e la boule unité de est le polaire
de .
Transformée de Legendre-Fenchel
Dénition. est dite semi-continue inférieurement si pour
toute suite convergente de on :
Lemme. s.c.i sous-ensemble fermé de
Lemme. Un de fonctions s.c.i est s.c.i
Dénition (Transformée de Legendre-Fenchel).Soit une
fonction propre.
Lemme. est convexe et s.c.i
Dénition. Soit une fonction propre et . On
dit que est sous-gradient de en , si :
i.e
Théorème. convexe propre,
Corollaire. fonction convexe propre minorée par une
fonction ane.
Théorème. Soit fonction propre, minorée par une fonction
ane. Alors
Corollaire. Soit fonction propre.
convexe et s.c.i.
Proposition. Si est convexe s.c.i, l’image du domaine de
par contient l’interieur du domaine de i.e.
.