Lois de Newton

Soutien séance 8 – 2012
Lois de Newton
Quelques rappels de cours pour commencer
1ere loi de Newton Ou « Principe d’inertie » :
tout corps persiste dans son immobilité ou
son mouvement rectiligne uniforme si les
forces extérieures auxquelles il est soumis ont
une résultante vectorielle nulle :
X→
−
→
−
F ext = 0
⇔
Référentiels Pour appliquer les lois de Newton,
il faut se placer dans un référentiel galiléen.
Un référentiel est un repère, associé à une
horloge. Cet ensemble permet de repérer un
corps autant dans l’espace (repère (Oxyz))
que dans le temps (date t sur l’horloge).
Un référentiel est galiléen quand on peut négliger les mouvements des masses qui entourent le référentiel. Plus prosaïquement,
on peut dire qu’un référentiel est galiléen
quand on peut appliquer les lois de Newton.
−→
−
→
v G = Cte
2eme loi de Newton La résultante des forces extérieures appliquées à un corps est égale à
sa masse multipliée par l’accélération de son
centre d’inertie :
Appliquer du PDF
X→
−
→
F ext = m −
aG
3eme
1. Choisir le système sur lequel l’étude va
porter ;
On peut aussi appeler cette loi « Principe
Fondamental de la Dynamique » (PFD en
abrégé).
→
−
loi de Newton La force F A/B exercée par
un corps A sur un corps B, est égale et op→
−
posée à la force F B/A exercée par le corps
B sur le corps A :
2. Choisir le référentiel, que l’on prendra
galiléen ;
3. Faire l’inventaire des forces extérieures
appliquées au système ;
4. Écrire le PFD ;
5. Projeter l’expression vectorielle sur des
axes convenablement choisit.
−
→
→
−
F A/B = − F B/A
⇔
Chute libre Il s’agit de la chute d’un corps soumis exclusivement à l’attraction de la pesan→
−
teur, donc à son seul poids P . Le mouvement de chute libre est uniformément accéléré vers le bas, verticalement, le vecteur ac→
célération −
a G étant égal au vecteur champ
→
de pesanteur terrestre −
g :
−
→
→
−
→
−
F A/B + F B/A = 0
En conséquence, ces deux forces ont même
direction (la droite reliant les centres d’inertie A et B des corps), sens opposés et même
valeur.
Cette loi est aussi appelée loi des actions réciproques.
−
→
→
aG= −
g
1
Soutien séance 8 – Décollage de la fusée Ariane 5
Lors de son lancement, la fusée Ariane 5 a une masse totale M . Sa propulsion est assurée par un ensemble
→
−
de dispositifs fournissant une force de poussée verticale constante F . Tout au long du décollage, on admet
que la valeur du champ g de pesanteur est également constante.
On étudie le mouvement du système {fusée} dans le référentiel terrestre supposé galiléen, et on choisit un
−
→
→
−
repère (O j ) dans lequel j est un vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut est porté par l’axe (Oy).
À l’instant t0 = 0 s, Ariane 5 est immobile et son centre d’inertie G est confondu avec l’origine O.
Données :
Masse totale de la fusée M = 7, 3 × 105 kg ;
Force de poussée F = 1, 16 × 107 N ;
Intensité de la pesanteur g = 10 m · s−2 .
1. Cas idéal
→
−
→
−
Dans ce cas, on supposera que seul le poids P et la force de poussée F agissent sur la fusée. Pendant
la durée de fonctionnement, on admettra que la masse de la fusée reste constante.
1.1. Sans faire de calcul, représenter ces forces sur un schéma pendant le décollage.
1.2. En appliquant une loi de Newton au système {fusée}, trouver l’expression littérale de la valeur a de
l’accélération dès que la fusée a quitté le sol.
1.3. Calculer la valeur de cette accélération a.
1.4. Pendant le lancement, on suppose que la valeur de l’accélération reste constante. Déterminer l’équation horaire de la valeur v(t) de la vitesse.
1.5. En déduire l’équation horaire de la valeur y(t) de la position.
1.6. La trajectoire ascensionnelle de la fusée reste verticale jusqu’à la date t1 = 6, 0 s. Quelle distance la
fusée a-t-elle parcourue depuis son décollage ?
2. Cas réel
Au cours de ce lancement, Ariane 5 a en fait parcouru un peu moins de 90 m pendant les 6 premières
secondes. Citer un phénomène permettant d’interpréter cette donnée.
Comparaison entre les différentes versions d’Ariane et la fusée de XN.
2
Corrigé du Soutien séance 8 – Décollage de la fusée Ariane 5
→
−
1.1.
1. On représente le vecteur poids P appliqué
au centre de gravité G de la fusée, et le vec→
−
teur poussée F au niveau des tuyères du réacteur ;
On trace un vecteur de plus grande longueur
→
−
→
−
pour F que pour P , sinon la fusée restera
« clouée » au sol !
On décale artificiellement les vecteurs sur le
schéma, pour mieux voir leurs longueurs et
leurs points d’application :
1.4. Si l’accélération est constante, la vitesse est
la primitive de l’accélération selon :
v = at + v0
où v0 est une constante d’intégration déterminée par la condition initiale sur la vitesse. Ariane est immobile à l’instant initial
t0 = 0 s du décollage, donc :
v(t = 0 s) = 0 m · s−1
y
Par identification, v0 = 0 m · s−1 . En remplaçant l’accélération a par son expression trouvée à la question 1.2 :
−
→
F
−
→
j
O
G
−
→
P
v(t) = at =
y=
Bilan des forces :
→
−
→
– Poids P = M −
g : vertical, vers le bas, en
G, valeur P = M g ;
→
−
– Poussée F : verticale, vers le haut, en T
extrémité de la tuyère du réacteur, valeur
F = 1, 16 × 107 N.
y(t = 0 s) = 0 m
Par identification, y0 = 0 m. D’où l’équation
horaire de la position :
1
1
y(t) = at2 =
2
2
Deuxième loi de Newton appliquée au système considéré :
−
→
−
→
→
P + F =M−
a
y1 =
Projection sur l’axe (Oy) vertical ascendant :
F
− g t2
M
1 2 6, 1 × (6, 0)2
at =
= 1, 1 × 102 m
2 1
2
c’est-à-dire approximativement 110 mètres
de parcouru. La fusée s’élève lentement au
début, mais ne cesse d’accélérer, ce qui explique qu’il lui faut en général moins d’un
quart d’heure pour sortir de l’atmosphère.
F −P
M
En remplaçant le poids par son expression :
a=
F
F − Mg
=
−g
M
M
1.3. Application numérique :
a=
a=
1.6. Calculons la position y1 = y(t1 ) à laquelle se
trouve la fusée au temps t1 indiqué :
X→
−
→
F ext = M −
a
⇔
1 2
at + y0
2
où y0 est une constante d’intégration déterminée par la condition initiale sur la position.
Ariane a son centre d’inertie G confondu
avec l’origine O du repère à l’instant initial
t0 = 0 s, donc :
Référentiel terrestre, supposé galiléen, vec→
teur champ de pesanteur −
g supposé uniforme et constant ;
−P + F = M a
F
−g t
M
1.5. La position y est la primitive de la vitesse
selon :
1.2. Système : {fusée} de masse M supposée
constante ;
⇒
2. Les frottements de l’air ont été négligés. On
peut supposer qu’ils ralentissent suffisamment
la fusée pour expliquer qu’elle parcoure une distance plus faible que celle calculée dans le cas
idéal sans frottements.
1, 16 × 107
− 9, 8 = 6, 1 m · s−2
7, 3 × 105
3