Variables aléatoires

Variables aléatoires
Exercice 1
Une entreprise fabrique des moteurs électriques. Afin de vérifier la conformité des moteurs, on
procède à deux types de test, l’un mécanique, l’autre électrique.
Un moteur est déclaré en parfait état de marche s’il ne présente aucun des deux types de défauts
et il est rejeté s’il présente au moins un des deux défauts.
On effectue sur 100 moteurs les deux tests :
– le test mécanique décèle 8 moteurs défectueux,
– le test électrique décèle 5 moteurs défectueux,
– deux moteurs présentent les deux types de défauts.
On prélève au hasard un moteur parmi les 100 moteurs testés (on suppose que chaque moteur a
la même probabilité d’être choisi).
1. Démontrer que la probabilité que le moteur prélevé soit en parfait état de marche est de
0,89.
2. Soit Xla variable aléatoire désignant le nombre de types de défauts (électrique ou méca-
nique) présentés par le moteur.
(a) Quelles sont les valeurs prises par X?
(b) Quelle est la loi de probabilité de X? (On peut faire une présentation dans un tableau).
(c) Calculer l’espérance mathématique E(X)et la variance V(X)de la variable aléatoire
X.
Exercice 2
Une usine est dotée d’un système d’alarme réglé pour déceler les incidents dans une chaîne de
production. Cependant, le système a des défauts et on admet que chaque jour :
P(A∩I) = 1
50 ,P(A∩I) = 1 500 ,P(I) = 1 100 .
où on note Al’événement "l’alarme se déclenche" et Il’événement "un incident se produit".
1. Calculer la probabilité que, dans une journée, un incident survienne et que l’alarme se dé-
clenche. En déduire P(A).
2. Quelle est la probabilité que, sur une journée le système d’alarme soit mis à défaut ?
3. L’alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu’il y ait réellement un incident ?
4. On estime qu’en moyenne, pour l’entreprise, le coût des anomalies est le suivant : 800
C pour un incident et que l’alarme fonctionne ; 2300 C pour un incident et que l’alarme
ne se déclenche pas ; 150 C lorsque l’alarme se déclenche par erreur. On considère qu’il
se produit au plus une anomalie par jour. Soit Xla variable aléatoire représentant le coût
journalier des anomalies.
(a) Donner la loi de probabilité de X.
(b) Quel est le coût journalier moyen des anomalies ?
Exercice 3
Une boîte contient 10 boules. Sur chacune d’elles on a inscrit un nombre suivant le tableau ci-
dessous :
1

Nombre inscrit 5 6 10 11 12 13 14
Nombre de boules 1 2 1 3 1 1 1
Un joueur mise 10 euros, tire une boule au hasard et reçoit la somme (en euros) inscrite sur la
boule. Toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées.
1. Le joueur joue une fois. On appelle P1la probabilité qu’il perde de l’argent (c’est-à-dire
qu’il reçoive moins de 10 C à l’issue du tirage) et P2la probabilité qu’il reçoive plus de 10
C . Donner les valeurs de P1et P2.
2. Soit Xla variable aléatoire qui à chaque tirage, fait correspondre le "gain" du joueur (une
perte est un gain négatif).
(a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X?
(b) Donner la loi de probabilité de Xà l’aide d’un tableau.
(c) Calculer son espérance mathématique E(X). Que représente E(X)pour le joueur ?
(d) Calculer la variance et la valeur approchée à 10−2de l’écart type de X.
3. Il s’agit maintenant, en changeant le nombre inscrit sur une boule, de rendre ce jeu équitable,
c’est-à-dire que l’espérance mathématique de la variable aléatoire associée doit être nulle.
Proposer une solution.
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