Université de Bourgogne Institut de Mathématiques de Bourgogne

Université de Bourgogne
Institut de Mathématiques de Bourgogne
Université de Toulouse
École Nationale Supérieure d’Électrotechnique
Électronique, Informatique, Hydraulique et Télécom
Institut de Recherche en Informatique de Toulouse
Problème des trois corps restreint,
contrôle en temps minimum
J.-B. Caillau B. Daoud et J. Gergaud
Parallel Algorithms and Optimization Team
ENSEEIHT–IRIT (UMR CNRS 5505)
2 rue Camichel, F-31071 Toulouse
apo.enseeiht.fr
Technical Report RT/APO/09/03

Problème des trois corps restreint,
contrôle en temps minimum∗
J.-B. Caillau† , B. Daoud‡et J. Gergaud§
Octobre 2009
1 introduction
On se propose d’étudier le mouvement d’un engin spatial soumis à l’attraction de deux planètes.
On traitera le cas particulier d’un satellite soumis à l’attraction de la Terre et de Lune. L’exemple le
plus connu est celui de la mission SMART1 de l’ESA. On se propose de réaliser des transferts Terre-
Lune, l’orbite initiale étant une orbite autour de la Terre et la finale autour de la Lune. Le but de notre
étude est de déterminer la commande du moteur de l’engin spatial à chaque instant du transfert.
L’introduction de critères de minimisation, à savoir le temps minimal et la masse maximale, nous
ramène à un problème classique de contrôle optimal. On utilise, pour la résolution de tels problèmes,
des méthodes dites indirectes basées sur le principe de maximum de Pontryagin[6, 8]. D’autre part,
les méthodes directes sont basées sur une dicrétisation partielle (contrôle) ou totale (contrôle et
état) du problème et utilisent différentes approches pour résoudre le problème d’optimisation. Ces
méthodes connues pour leur robustesse présentent une basse précision et un problème d’optimisation
avec un grand nombre d’équations dépendant du pas de dicrétisation. Par conséquent, les méthodes
directes sont mal-adaptées pour des cas particuliers tels que les problèmes à contrôle bang-bang. On
montrera ultérieurement que le contrôle pour le transfert Terre-Lune avec maximisation de la masse
est bang-bang. On s’intéresse dans notre étude aux méthodes indirectes.
Le système {Terre, Lune, Satellite}est un problème à 3corps. C’est un cas particulier du problème
des Ncorps, un probléme célébre de mécanique. Il s’agit d’étudier le mouvement de Npoints
massiques soumis à l’influence de leur attractions gravitationnelles mutuelles. Ce problème est d’un
grand intérêt d’un point de vue pratique (étude du système solaire, du système Terre-Lune (notre
cas), etc...).
∗Rapport de première année de thèse financée par une allocation ministérielle fléchée
†Institut de Mathématiques, Université de Bourgogne, BP 47870, F-21078 Dijon
([email protected]).
‡Institut de Mathématiques, Université de Bourgogne, BP 47870, F-21078 Dijon ([email protected]).
§ENSEEIHT-IRIT (UMR CNRS 5505), 2 rue Camichel, F-31071 Toulouse ([email protected]).
1

2 ÉQUATIONS DU MOUVEMENT 2
Pour N= 2, on parle du problème de Kepler. Grâce à un nombre suffisant d’intégrales premières,
ce problème se résout analytiquement : toutes les solutions sont des ellipses, paraboles ou des hyper-
boles dans un repère rattaché à l’un des deux corps. Le cas N= 3 (notre cas) est d’une plus grande
difficulté.
Pour faciliter notre tâche, on commence par étudier un problème plus simple le CR3BP (Circular
Restricted Three Bodies Problem) défini comme suit par Victor Szebehely [7] "Deux corps décrivent
des orbites circulaires autour de leur centre de masse sous l’influence de leur attraction gravitation-
nelle mutuelle, et un troisième corps (attiré par les deux précédents mais sans influence sur leur
mouvement) se déplace dans le plan défini par les deux corps en rotation. Le problème restreint
consiste à décrire le mouvement de ce troisième corps.".
Cette définition est remplie en rajoutant au problème des 3corps des hypothèses simplificatrices
correspondantes à notre cas particulier :
– On suppose que le troisième corps M3n’influence pas les corps M1et M2, dont le mouvement
est donné comme une solution du problème de Kepler. Ceci revient à prendre nulle la masse de
M3dans les équations de mouvements de M1et M2; l’accélération de M3ne dépend pas de
la masse de M3. Cette approximation est pertinente étant donné que la masse du satellite est
négligeable par rapport à celles de la Terre et de la Lune (Msatellite ∼103<< MLune ∼1022
et MT erre ∼1024).
– Un mouvement particulier est choisi pour M1et M2: ces deux corps décrivent une trajectoire
circulaire autour de leur centre de masse. L’orbite de la Lune autour de la Terre possède une
excentricté de 0.0549 , ce qui est assez proche d’une orbite circulaire.
– On suppose que le mouvement de M3(le satellite) est restreint au plan orbital de M1(Terre)
et M2(Lune).
Le problème restreint circulaire des trois corps (CR3BP) est d’un intérêt important car il présente
une première approximation utile de beaucoup de problèmes réels. C’est aussi le cas particulier le
plus simple non intégrable du problème des Ncorps.
2 Équations du mouvement
On considère un satellite soumis à l’attraction de la Terre et de la Lune. On note ~ Tla force
motrice de l’engin du satellite. L’application du principe fondamental de la dynamique au satellite
dans un repère inertiel Idonne :
m3
d2~ R
dτ2=−Gm1m3
~
R13
R3
13 −Gm2m3
~
R23
R3
23
+~ T(1)
où :
m1, m2et m3sont les masses respectives de la Terre, la Lune et du satellite,
~
Rest le vecteur position du satellite,

2 ÉQUATIONS DU MOUVEMENT 3
~
R13 est le vecteur Terre-satellite,
~
R23 est le vecteur Lune-satellite,
Gest la constante de gravitation universelle,
et τest l’unité de temps.
On ramène le CR3BP à un système sans dimensions. La masse du troisième corps étant négli-
geable, la masse caractéristique est prise comme la somme des deux masses des primaires M1et
M2,m∗=m1+m2. La longueur caractéristique est la distance entre les deux primaires, l∗=R12,
où ~ R12 est le vecteur Terre-Lune. Enfin le temps caractéristique τ∗est choisi de telle manière que la
constante de gravitation sans dimension G∗soit égale à 1. Par la troisième loi de Kepler, on conclut
que τ∗=ql∗3
Gm∗. Les définitions précédentes nous mènent aux quantités sans dimensions suivantes :
~r =~
R
l∗, ~rij =~
Rij
l∗{i, j}∈{1,2,3}, µ =m2 m∗et t=τ τ∗.
Étant donné que la poussée de l’engin est bornée, on normalise ~ Tcomme suit : ~ T=Tmax~u, où Tmax
est la poussée maximale de l’engin et ~u est le contrôle avec |~u| ≤ 1. Le contrôle ~u est la commande
du moteur de l’engin, à déterminer selon les critères de minimisation.
En divisant l’équation (1) par m3et en utilisant le nouveau système d’unités on obtient :
d2~r
dt2=−(1 −µ) r3
13
~r13 −µ
r3
23
~r23 + ( l∗2
m∗G)Tmax m3
~u (2)
On pose ε=Tmax
m3et on suppose que le terme qui figure entre parenthèses devant le contrôle est
désormais sous entendu dans le terme ε, en fait, ceci ne nuit pas à l’écriture des équations et ce
terme sera pris en compte dans les calculs numériques.
On se propose d’écrire l’équation (2) dans un repère tournant à la vitesse angulaire de rotation
des deux primaires autour de leur centre de masse, l’origine du repère. Les deux primaires étant
fixes dans ce repère, elles se situent sur l’axe des abscisses : M1de coordonnées (−µ, 0,0) et M2de
coordonnées (1 −µ, 0,0). On prend (x, y, z)comme coordonnées de M3dans le repère tournant R.
On exprime (d2~r
dt2)Ien fonction de x,yet z.
(d2~r
dt2)I=(d2~r dt2)R+ 2~ω ×(d~r dt )R+~ω ×~ω ×~r (3)
où ~ω est le vecteur de rotation angulaire de Rpar rapport à I,~ω =~z dans le nouveau système
d’unités. On a :
~r =x~x +y~y +z~z
(d~r
dt )R= ˙x~x + ˙y~y + ˙z~z
(d2~r
dt2)R= ¨x~x + ¨y~y + ¨z~z