Projet 2

Le#circuit#RLC#série#
dans#tous#ses#états#
# #
Le#but#de#ce#second#projet#Python#est#d’étudier#numérique#le#comportement#d’un#circuit#RLC#série,#
dans#tous#ses#états#(régime#transitoire#et#régime#sinusoïdal#forcé).#
1. Etude(du(régime(transitoire(d’un(circuit(RLC(série(
1.1. (Etude(analytique(
(On# étudie# le# régime# libre#d’un# circuit# RLC#série,# en# établissant# à# tout# instant# la# tension# 𝑢!𝑡#aux#
bornes#du#condensateur.#
# # ###
#
1.1)#Déterminer#les#conditions#initiales#du#circuit,#à#savoir#:#
𝑢!𝑡=0!!!et!!
𝑑𝑢!
𝑑𝑡 𝑡=0#
1.2)# Déterminer# l’équation# différentielle# régissant# l’évolution# de# la# tension# 𝑢!𝑡#aux# bornes# du#
condensateur#et#en#déduire#la#pulsation#propre!𝜔!#et#le#facteur#de#qualité#𝑄#du#circuit#𝑅𝐿𝐶#série.#
1.3)#Quelle#est#la#condition#sur#le#facteur#de#qualité#pour#que#le#régime#soit#apériodique#?#critique#?#
pseudoKpériodique#?#
1.4)#Déduire#l’expression#de#la#résistance#critique,#notée#𝑅!,#en#fonction#de#L#et#C.#
1.5)#Déterminer#l’expression#complète#de#𝑢!𝑡#pour#les#3#régimes#de#fonctionnement.#
1.6)#Quel#est#l’ordre#de#grandeur#𝜏#de#la#durée#du#régime#transitoire#?#
1.7)# Tracer# l’allure# de# la# tension# 𝑢!𝑡#aux# bornes# du# condensateur#dans# les# 3# régimes# de#
fonctionnement.##
1.2. (Etude(numérique(
On#souhaite#ici#modéliser#numériquement#la#charge#d’un#circuit#𝑅𝐿𝐶#série.#
Pour#les#modélisations,#on#prendra#les#valeurs#numériques#suivantes#:#
• #𝐿=10!mH#
• 𝐶=10!nF#
• 𝑅!=𝑅!#valeur#de#la#résistance#pour#être#en#régime#critique,#puis#𝑅!=5𝑅!#et#𝑅!=𝑅!/10#
• 𝐸=5!V#

2###############Projet#Python#2#:#Le#circuit#RLC$série#dans#tous#ses#états#
1.8)#Dans#l’éditeur,#importer#les#modules#scientifiques#nécessaires#pour#le#problème#:#
K#numpy#
K#matplotlib.pyplot#
K#scipy.integrate#(pour#la#résolution#des#équations#différentielles).#
1.9)#Déclarer#et#affecter#les#variables#suivantes#:#
K#l’inductance#(notée#L)#et#la#capacité#(notée#C)#du#circuit#
K# les# 3# valeurs# de# résistance#(notées# R1,# R2# et# R3)# correspondant# aux# trois#régimes# de#
fonctionnement#possibles#
K#la#pulsation#propre#(notée#omega0)#
K#la#valeur#du#facteur#de#qualité#dans#les#trois#régimes#de#fonctionnement#(notés#Q1,#Q2#et#Q3)#
K#l’amplitude#(notée#E)#de#la#tension#créneau#
K#la#durée#caractéristique#(notée#tau)#du#régime#transitoire#
K# les# conditions# initiales# pour# la# charge# du# condensateur#:# tension# initiale# (notée# uc_0)#et#
dérivée#de#la#tension#initiale#(notée#duc_0).#
1.10)#Définir#un#vecteur#(noté#t)#contenant#1000#points#et#dont#les#valeurs#sont#comprises#entre#
𝑇=0!s#et#𝑡=5𝜏.##
1.11)# Définir# la# fonction#(appelée# decharge)# définissant# l’équation# différentielle# régissant# la#
décharge#du#condensateur#(indépendamment#du#régime#de#fonctionnement).#
1.12)#Résoudre#l’équation#différentielle#régissant#la#décharge#du#condensateur#dans#les#3#régimes#
de#fonctionnement.#On#notera#uc1,#uc2#et#uc3#les#solutions#correspondantes.#
1.13)#Tracer#l’évolution#de#la#tension#aux#bornes#du#condensateur#au#cours#de#la#charge#dans#les#
3#régimes#de#fonctionnement.#
2. Etude(du(régime(sinusoïdal(forcé(d’un(circuit(RLC(série(
2.1. (Etude(analytique(
On# souhaite# étudier# le# fonctionnement# d’un# circuit# RLC#série# en# régime# sinusoïdal# forcé,# en#
déterminant#à#tout#instant#l’expression#des#différentes#grandeurs#électriques#du#circuit.#Pour#cela,#on#
considère#un#circuit#RLC#série#soumis#à#une#tension#sinusoïdale#de#pulsation#𝜔#et#de#valeur#efficace#𝑈#:#
!𝑢!=2𝑈cos 𝜔𝑡 #
#
La#tension#aux#bornes#du#condensateur#et#l’intensité#circulant#dans#le#circuit#s’identifient#donc#aux#
solutions#particulières#de#l’équation#différentielle#et#peuvent#se#mettre#sous#la#forme#:#
!𝑢!=2𝑈!cos !𝜔𝑡 +𝜑!!et!!!!𝑖𝑡=2𝐼cos !𝜔𝑡 +𝜑′#
•"Etude"de"la"résonance"en"intensité"
2.1)#Déterminer#l’expression#de#l’intensité#efficace#I#circulant#dans#le#circuit#en#fonction#de#U,#et#de#
𝜔!#pulsation#propre#et#Q#facteur#de#qualité#du#circuit#RLC.#
2.2)#Déterminer#pulsation#de#résonance#en#intensité#ainsi#que#les#conditions#d’une#telle#résonance.#

Projet#Python#2#:#Le#circuit#RLC$série#dans#tous#ses#états## ## # # ## # #######3#
•"Etude"de"la"résonance"en"tension"
2.3)#Montrer#que#la#fonction#de#transfert#du#circuit#RLC#peut#se#mettre#sous#la#forme#:#
𝐻=
1
1−𝜔!
𝜔!
!+𝑗𝜔
𝑄𝜔!
'
2.4)#Pour#quelle#valeur#du#facteur#de#qualité#existeKil#un#phénomène#de#résonance#en#tension#?#A#
quelle#valeur#de#résistance,#cette#valeur#du#facteur#de#qualité#correspondKelle#?#
2.5)# Par# rapport# aux# régimes# de# fonctionnement# du# régime# transitoire,# dans# quel# régime# aKtKon#
résonance#en#tension#?#Commenter.#
2.2. (Etude(numérique(
On#souhaite#ici#modéliser#numériquement#la#résonance#en#tension#et#la#résonance#en#intensité#d’un#
circuit#𝑅𝐿𝐶#série,#alimenté#par#une#tension#sinusoïdale#de#fréquence#𝑓#variable.#
Pour#les#modélisations,#on#prendra#les#valeurs#numériques#suivantes#:#
• 𝐿=10!mH#
• 𝐶=10!nF#
• 𝑅!=𝑅!#valeur#de#la#résistance#pour#être#en#régime#critique,#puis#𝑅!=10𝑅!#et#𝑅!=𝑅!/10#
• 𝑈=5!V#
2.6)#Déclarer#et#affecter#les#variables#qui#ne#l’ont#pas#été#dans#la#partie#précédente.#
2.7)# Définir# un# vecteur# (noté# f)# contenant# 500# points# et# dont# les# valeurs# sont# comprises# entre#
𝑓=0!Hz#et#𝑓=100!kHz.#
•"Etude"de"la"résonance"en"intensité"
2.8)#Définir#3#vecteurs#(noté#I1,# I2,# I3)# correspondant# à#la#valeur# efficace# de# l’intensité# circulant#
dans#le#circuit#dans#les#3#régimes#de#fonctionnement.#
2.9)# Tracer# l’intensité# efficace# dans# le# circuit# en# fonction# de# la# fréquence#dans# les# 3# régimes# de#
fonctionnement.#
2.10)# A# l’aide# des# fonction# np.amax#et# np.argmax#du# module# numpy#(dont# on# cherchera# la#
fonction#et#le#principe#d’utilisation#sur#le#site#de#Numpy),#déterminer#la#fréquence#de#résonance#en#
intensité#et#comparer#à#la#valeur#de#l’étude#théorique.#
•"Etude"de"la"résonance"en"tension"
2.11)# Définir# 3# vecteurs# (noté# H1,# H2,# H3)# correspondant# à# la# fonction# de# transfert#dans# les# 3#
régimes#de#fonctionnement.#
2.12)# Tracer# la# fonction# de# transfert#en# fonction# de# la# fréquence#dans# les# 3# régimes# de#
fonctionnement.#
2.13)#A#l’aide#des#fonction#np.amax#et#np.argmax#du#module#numpy,#déterminer#la#fréquence#de#
résonance#en#tension#et#comparer#à#la#valeur#théorique.#
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