Enroulement sur le cercle Cosinus et sinus d`un réel

Chapitre 6 – Améliorer ses techniques – Corrigés
Math’x © Éditions Didier 2010
Enroulement sur le cercle
Exercice 1
D’ est le point image du réel J’ est le point image du réel
F’ est le point image du réel E’ est le point image du réel
Exercice 2
Les réels qui s’appliquent sur les points A’, D, E’ et I’ lorsque l’on enroule la droite
numérique sur :
a. dans le sens direct au premier tour :
A’ est le point image du réel ; D du réel ; E’ du réel et I’ du réel .
b. dans le sens direct au second tour,
A’ est le point image du réel ; D du réel ; E’ du réel et I’ du réel .
c. dans le sens indirect au premier tour.
A’ est le point image du réel ; D du réel ; E’ du réel et I’ du réel .
Cosinus et sinus d’un réel
Exercice 3
a. A’ est le point image du réel dont le est et le sinus est .
b. E’ est le point image du réel dont le est et le sinus est .
c. D est le point image de dont le cosinus est et le sinus est .
d. J’ est le point image du réel dont le est et le sinus est .
Exercice 4
a. a pour image D’ ;
b. – a pour image E ; – –
c. a pour image F’ ;
d. a pour image D’ ;
e. = 1005× (2 + Il a pour image I’ ;
f. = 502×(2 Il a pour image J’ ;

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Exercice 5
a. Le point à placer est confondu avec A et
b. Le point à placer est confondu avec E’ et .
c. .
Exercice 6
A est l’image de et .
B est l’image de ; et .
J est l’image de ; et .
Exercice 7
1. Les réels de ]– qui ont pour images les points
A, B, C, D, E, F, G, H sont respectivement :
pour A : 0 ; pour B : ; pour C : ;
pour D : pour E : pour F :
pour G : pour H :
2. Les réels que [0 ; 2 qui ont pour images les points
A, B, C, D, E, F, G et H sont respectivement :
pour A : 0 ; pour B : ; pour C : ;
pour D : pour E : pour F :
pour G : pour H .
3. a. En multipliant numérateur et dénominateur par on obtient :
b. équivaut à
Les réels correspondant sont ceux qui ont pour images D ou F.
Les réels de – tels que sont donc et –.
b. équivaut à
Les réels de [0 ; tels que sont ceux qui ont pour images F ou H.
Ce sont donc et

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Exercice 8
1. Soit et .
a. ;
b. Donc .
c. et 0 donc
2.
Exercice 9
1. On considère la proposition : « si , alors sin ».
Trouver, si possible, un réel tel que :
a. Pour , la proposition est vraie.
En effet on a bien et comme et , on aussi
b. Pour la proposition soit fausse.
En effet on a bien , mais comme sin et on n'a pas
2. On considère la proposition : « si , alors ».
a. Pour la proposition est vraie
b. Pour la proposition est fausse.
Cosinus et Sinus d’un angle : valeurs remarquables
Exercice 10
Dans le triangle BHC rectangle en H :
d’où .
d’où 2 .
Dans le triangle CHA rectangle en H :
d’où
d’où .
Conclusion :

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Exercice 11
Soit [AH] la hauteur issue de A dans le
triangle ABC. Les longueurs seront
exprimées en km.
Dans le triangle ABH rectangle en H :
• d’où
soit
• d’où
soit .
De et , on déduit que .
Par le théorème de Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H :
. Par conséquent .
Exercice 12
1. Le triangle ABC est rectangle en B donc son
aire est égale à
=
Or dans le triangle ABC rectangle en B,
.
Par conséquent et .
2. L’aire du triangle ABH est puisque le triangle est rectangle en H.
Dans ABH rectangle en H : et .
Donc , et
3. L’aire du triangle ABH est égale au quart de celle du triangle ABC si et seulement si
ce qui s’écrit encore
Or = .
Donc
Comme ABC est un vrai triangle, donc
Comme est un angle aigu,