Cours n° 8 - Moodle INSA Rouen
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UV Statistique Cours n°8 UV Statistique pour l'Ingénieur Cours n° 8 Statistique inférentielle : estimation méthodes d'estimation par intervalle Ph. LERAY - A. ROGOZAN 1 UV Statistique Cours n°8 Estimation par intervalle de confiance d'un paramètre • Soit T un estimateur ponctuel du paramètre θ d'une loi supposée connue (choisir l'estimateur T le plus précis ) • Objectif: construire un estimateur par intervalle de confiance [T 1 , T 2 ] de niveau de confiance 1-α le risque (statistique) que le paramètre θ soit en dehors de l'intervalle de confiance estimé est égale à α en répétant un grand nombre de fois l'opération d'échantillonnage (ou l'enquête), les estimations [t 1 , t 2 ] des intervalles de confiances contiendront dans (1-α)% des cas le paramètre θ Ph. LERAY - A. ROGOZAN 2 UV Statistique Cours n°8 Intervalle de confiance d'un paramètre • Soit un intervalle de confiance [T 1 , T 2 ] de niveau de confiance 1-α Intervalle aléatoire : T 1=1 T Il n'y pas d'unicité de l'intervalle de confiance Exemple : et T 2=2 T T estimateur sans biais T1 Intervalle de confiance unilatéral [T 1 ,∞] Ph. LERAY - A. ROGOZAN 3 UV Statistique Cours n°8 Intervalle de confiance d'un paramètre • Soit un intervalle de confiance [T 1 , T 2 ] de niveau de confiance 1-α T 1=1 T T 2=2 T T estimateur sans biais T1 T2 Intervalle de confiance bilatéral [T , T ] à risques asymétriques 1 2 Ph. LERAY - A. ROGOZAN 4 UV Statistique Cours n°8 Intervalle de confiance d'un paramètre • Soit un intervalle de confiance [T 1 , T 2 ] de niveau de confiance 1-α T 1=1 T T 2=2 T T estimateur sans biais T1 T2 Intervalle de confiance bilatéral [T , T ] à risques symétriques 1 Le risque que T 1 est égal à α/2 Ph. LERAY - A. ROGOZAN 2 Le risque que T 2 est égal à α/2 5 UV Statistique Cours n°8 Propriétés de l'intervalle de confiance d'un paramètre • Soit un intervalle de confiance [T 1 , T 2 ] de niveau de confiance 1-α si le niveau de confiance 1-α augmente, alors le risque statistique α doit diminuer => écartement de l'intervalle de confiance pour un niveau de confiance 1-α fixé si la taille de l'échantillon n augmente, alors Var T diminue => T devient plus précis => réduction de l'intervalle de confiance Ph. LERAY - A. ROGOZAN 6 UV Statistique Cours n°8 Exemple • Vous envisagez d'acheter le dernier PC à la mode si les tests de ce modèle à un benchmark B sont supérieurs à 0.2 • Une enquête sur 400 PC de ce modèle donne un benchmark moyen de 0.23 • Que décidez-vous ? 2 −2 B~ N , =10 • Modélisation : • Enquête : B~ N , 2 / 400 fonction de répartition de la loi N : Ph. LERAY - A. ROGOZAN B− ~ N 0, 1 n B− P −2.58≤ ≤2.58=0.99 n 7 UV Statistique Cours n°8 Exemple • B− P −2.58≤ ≤2.58=0.99 n P −2.58 ≤ B− ≤2.58 =0.99 n n • on cherche un intervalle de confiance sur µ P B−2.58 ≤ ≤B2.58 =0.99 n n T 1 =B−2.58 n T 2 =B2.58 n • [T 1 , T 2 ] intervalle aléatoire : les bornes sont fonction de l'estimateur T =B application numérique : intervalle = [0.217 , 0.243] ... on achète ! Ph. LERAY - A. ROGOZAN 8 UV Statistique Cours n°8 « Fiche recette » pour l'estimation d'un paramètre par intervalle de confiance • Choisir un estimateur T de θ - le meilleur possible - dont on connaît la loi de probabilité en fonction de θ • Déterminer la fonction pivotale f(T,θ) , dont la loi de probabilité, notée P, ne dépend plus de θ (P = loi pivot) • Déterminer l1 et l2 tels que P l 1 f T ,l 2 =1− P T 1T 2 =1− • En déduire, si possible, où Ti sont 2 statistiques fonction de T T 1=1 T et T 2=2 T Ph. LERAY - A. ROGOZAN 9 UV Statistique Cours n°8 Déterminer les bornes l1 et l2 de la loi pivot P • A partir de la fonction de répartition de la loi pivot P de la variable aléatoire f(T,θ) Intervalle de confiance unilatéral P l 1 f T , =1− P X l 1 = X = f T , ~P x Ph. LERAY - A. ROGOZAN => P f T , l 1 = −1 l 1=F P l1 = fractile d'ordre α de la loi pivot P 10 UV Statistique Cours n°8 Déterminer les bornes l1 et l2 de la loi pivot P • A partir de la fonction de répartition de la loi pivot P de la variable aléatoire f(T,θ) Intervalle de confiance bilatéral à risques symétriques X = f T , ~P P X l 1 = 2 P X l 2 = 2 x 2 Ph. LERAY - A. ROGOZAN x 1− 2 l 1=F 2 l1 = fractile d'ordre α/2 de la loi pivot P −1 P l 2=F 1− 2 l2 = fractile d'ordre 1 - α/2 de la loi pivot P 11 −1 P UV Statistique Cours n°8 Quelques lois de fonctions pivotales usuelles 2 • f T =S , = • 2 (estimation par intervalle de la variance d'une loi normale) f T = X , = 2 loi du chi-deux à p d.d.l p p loi de student à p d.d.lµ (estimation par intervalle de la moyenne d'une loi normale, variance inconnue) Ph. LERAY - A. ROGOZAN 12 UV Statistique Cours n°8 2 2 Loi de la fonction pivotale f T =S , = • 2 loi du chi-deux à p degrés de liberté p 2 nS 2 ~ n−1 2 S ∗2 n−1 2 ~2n−1 • Propriétés : E 2p = p 2 p Var =2 p si p>30, Ph. LERAY - A. ROGOZAN 2 2 p~N 2 p−1, 1 13 UV Statistique Cours n°8 Loi du chi-deux • 2 p à p degrés de liberté 2 p = loi de probabilité d'une somme de carrés de v.a. normales centrées réduites indépendantes 2 nS 2 ~n−1 ? • Pourquoi d.d.l.=n-1 dans 2 n 2 n n 2 X i− X nS 2 = = U ∑ ∑ i 2 2 i=1 i=1 1 S = ∑ X i − X 2 n i=1 2 les Ui sont des v.a. centrées réduites, mais seulement n-1 sont n indépendantes car ∑ X i − X =0 i=1 Ph. LERAY - A. ROGOZAN 14 UV Statistique Cours n°8 Loi de la fonction pivotale f T = X , = • p loi de Student à p degrés de liberté • Propriétés E p =0 X − ~N 0,1 n X − => S ∗2 ~n−1 n p Var p = avec p2 p−2 p si p>30, p N 0, p−2 Ph. LERAY - A. ROGOZAN 15 UV Statistique Cours n°8 Loi de Student p à p degrés de liberté • Soient U une v.a. suivant une loi N(0,1) 2 V une v.a. suivant une loi p alors p= U V p suit une loi de Student à p d.d.l vérification pour la loi pivotale : X − U= n Ph. LERAY - A. ROGOZAN S ∗2 V =n−1 2 d.d.l =n−1 X − S ∗2 ~n−1 n 16 UV Statistique Cours n°8 Exemples • ex1 : soit une v.a. X ~N , 2 avec µ inconnu et σ connu proposer un estimateur pour le paramètre µ ; déterminer l'intervalle de confiance bilatéral de niveau de confiance 1-α, puis celui unilatéral Ph. LERAY - A. ROGOZAN 17 UV Statistique Cours n°8 Exemples • ex2 : soit une v.a. X ~N , 2 avec µ et σ inconnus 2 proposer un estimateur pour le paramètre ; déterminer l'intervalle de confiance bilatéral de niveau de confiance 1-α Ph. LERAY - A. ROGOZAN 18 UV Statistique Cours n°8 Exemples • ex3 : soit une v.a. X ~N , 2 avec µ et σ inconnus proposer un estimateur pour le paramètre µ ; déterminer l'intervalle de confiance bilatéral de niveau de confiance 1-α Ph. LERAY - A. ROGOZAN 19
