Cours n° 10 - Moodle INSA Rouen

UV Statistique
Cours n°10
UV Statistique pour l'Ingénieur
Cours n° 10
Tests statistiques paramétriques
HS-HS ; HS-HC ; HC-HC
Ph. LERAY - A. ROGOZAN
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UV Statistique
Cours n°10
Tests entre 2 hypothèses SIMPLES (Rappel)
• Exemple : Soit X~N(µ, σ2) où µ inconnue et σ connue.
Tester 2 hypothèses simples (ex 2 du TD1.6)
{
H 0 :=0  HS 
H 1 :=1 10  HS 


}

Région critique définie par X 0 −
n1−
n
et = f n , 0 , 1 ,   constant
fixé
où α fixé
Remarque : autre test avec les mêmes hypothèses simples,
mais avec µ1>µ0 ⇒ région critique définie par
Ph. LERAY - A. ROGOZAN

X 0 
n1−
n
fixé
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Cours n°10
Hypothèse SIMPLE contre hypothèse COMPOSITE
• Soit X une v.a. et θ l'unique paramètre inconnu de sa distribution
de probabilité
• Se pose le problème de tester
{
H 0 :=0  HS 
H 1 :∈E 0 ∉E  HC 
}
⇒ résoudre le test :
{
H 0 :=0  HS 
H 1 :=i i ∈E  HS 
• Si la région critique Wi est indépendante de i
 la région critique du test initial W = W
i


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Η1: θ<θ0 ou θ>θ0
}
β dépend de la valeur du paramètre θ
θ∈Ε pour α fixée
⇒ 1-β(θ) est max / toute autre règle de décision
}
Test
UPP
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Courbe de puissance d'un test (rappel)
• Courbe de puissance d'un test = fonction qui à chaque valeur
du paramètre θ associe la probabilité de rejeter l'hypothèse de
référence H0 quand H1 est vrai ( ∈E )
1−= P rejeter H 0∣valeur du paramètre=∈ E ∈[0, 1]
• Définition d'un test UPP régi par la règle RUPP :
∀ ∈E tel que H 1 vrai , ∀ R, 1−RUPP ≥1−R
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Cours n°10
Hypothèse SIMPLE contre hypothèse COMPOSITE
• Soit X une v.a. et θ l'unique paramètre inconnu de sa distribution
de probabilité
{
H 0 :=0  HS 
• Se pose le problème de tester :
H 1 :∈E 0 ∉E  HC 
}
Η1: θ ≠ θ0
• Si région critique Wi n'est pas constante
⇒ la stratégie de « Neyman-Pearson » n'est pas applicable

Stratégie retenue :
• conserver la contrainte P [W∣H 0 ]= fixée
• chercher une région critique « raisonnable »
en s'appuyant sur une « fonction pivotale »
Ph. LERAY - A. ROGOZAN
}
Test
non
UPP
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Hypothèse SIMPLE contre hypothèse COMPOSITE
• Soit X une v.a. et θ l'unique paramètre inconnu de sa distribution
de probabilité
{
}
Test
H 0 :=0  HS 
• Se pose le problème de tester :
non
H 1 :∈E 0 ∉E  HC  UPP
Η1: θ ≠ θ0
• Si région critique Wi n'est pas constante
⇒ la stratégie de « Neyman-Pearson » n'est pas applicable
• Remarques :


α n'est pas constant mais <  fixée (niveau de signification du test)
β n'est pas constant mais dépend de la valeur du paramètre θ∈Η1
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Hypothèse SIMPLE contre hypothèse COMPOSITE
• Ex de « Test UPP » : Soit X~N(µ,σ2) où µ inconnue, σ connue ;
Tester 1 HS contre 1 HC
{
H 0 :=0  HS 
H 1 :0  HC 
}
Ex2.e/Chap1.6
Pour α fixé, déterminer la région critique,
puis l'expression du risque β de 2ème espèce
• Ex de « Test non-UPP » : Soit X~N(µ,σ2) où µ inconnu, σ connue ;
Tester 1 HS contre 1 HC
{
H 0 :=0  HS 
H 1 :≠0  HC 
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}
Ex1.b/Chap1.6
Pour α fixé, déterminer la région critique,
puis l'expression du risque β de 2ème espèce
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Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE
• Soit X une v.a. et θ l'unique paramètre inconnu de sa distribution
de probabilité
• Se pose le problème de tester :
{
H 0 :0  HC 
H 1 : 0  HC 
}
Th. de Lehman
• Si la famille des lois Lθ est à rapport de vraisemblance monotone*
⇒ Région critique de forme T>A où A défini par :
Test
P T  A∣=0 = fixée
*
}
UPP
S'il ∃ 1 statistique T telle que, pour θ'>θ,
L  x1 , , x n ,  ' 
L  x 1 , , x n , 
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est une fonction croissante de t
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Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE
• Soit X une v.a. et θ l'unique paramètre inconnu de sa distribution
de probabilité
• Se pose le problème de tester :
{
H 0 :0  HC 
H 1 : 0  HC 
}
• Si la famille des lois Lθ est à rapport de vraisemblance monotone*
⇒ Région critique de forme T>A où A défini par :
Test
P T  A∣=0 = fixée

}
UPP
Remarques :
• α n'est pas constant mais <  fixée (niveau de signification du test)
• β n'est pas constant mais dépend de la valeur de θ∈Η1
• Si hypothèses inverses, idem avec T<A
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Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE
• Montrer que la famille des lois : N(µ, σ2) avec σ connu, est à
rapport de vraisemblance monotone
• Ex de « Test UPP » : Soit X~B(n, p) où n inconnu ;
Tester 1 HC contre 1 HC
{
H 0 : p p 0  HC 
H 1 : p p 0  HC 
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}
Ex3/Chap1.6
Pour α fixé déterminer la région critique,
puis l'expression du risque β de 2ème espèce
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Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE
• X suit une loi dépendant de plusieurs paramètres inconnus, dont le
paramètre θ sur lequel porte le test :
{
H 0 :=0 , autres paramètres inconnus HC 
H 1 :,,≠0 , autres paramètres inconnus HC 
}
• Pas de test UPP ⇒ la stratégie de «Neyman-Pearson» non applicable
• Stratégie retenue :
• trouver une fonction pivotale de θ
• chercher une région critique « raisonnable »
• déterminer le seuil avec la contrainte :
}
Test
non
UPP
=P [W∣H 0 ] fixée
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Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE
• Ex «Test unilatéral non-UPP» : Soit X~N(µ, σ2) où µ et σ inconnus ;
Tester 1 HC contre 1 HC
{
H 0 :=0 , inconnu  HC 
H 1 :0 , inconnu  HC 
}
Pour α fixé, déterminer la région critique,
puis l'expression du risque β de 2ème espèce
• Ex «Test bilatéral non-UPP» : Soit X~N(µ, σ2) où µ et σ inconnus ;
Tester 1 HC contre 1 HC
{
H 0 :=0 , inconnu  HC 
H 1 :≠0 , inconnu  HC 
Ph. LERAY - A. ROGOZAN
}
Pour α fixé, déterminer la région critique,
puis l'expression du risque β de 2ème espèce
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Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE
• Ex «Test unilatéral non-UPP» : Soit X~N(µ, σ2) où µ et σ inconnus ;
Tester 1 HC contre 1 HC
{
2
2
0
2
0
H 0 : = , inconnu  HC 
2
H 1 :  , inconnu  HC 
}
Pour α fixé, déterminer la région critique,
puis l'expression du risque β de 2ème espèce
• Ex «Test bilatéral non-UPP» : Soit X~N(µ, σ2) où µ et σ inconnus ;
Tester 1 HC contre 1 HC
Ex4/Chap1.6
{
2
2
H 0 : = 0 , inconnu  HC 
2
2
H 1 : ≠ 0 , inconnu  HC 
Ph. LERAY - A. ROGOZAN
}
Pour α fixé, déterminer la région critique,
puis l'expression du risque β de 2ème espèce
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Classification des tests paramétriques
HS – HS
=
=
UPP
Neyman-Pearson
L n 1 
W ={
k  }
L n 0 
=
<
=const
=constant
Ph. LERAY - A. ROGOZAN
=
≠
UPP
non-UPP
Wi=W , ∀i
Wi=g(i)
Découpe du test
 A 
 A
W : 
= fixée
HC – HC
HS – HC
= fixée
= f 
Résolution fondée
sur la « fonction
pivotale »
 fixée
= f 
>
<
UPP
Lehman
L n 1 
monotone
L n 0 
=, ...
<, ...
Non-UPP
Résolution fondée
sur la « fonction
pivotale »
W :T A
 fixée
= f 
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P-value ou probabilité critique
• P-value ou probabilité critique

le plus petit α qui aurait fait changer la décision
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