UV Statistique Cours n°10 UV Statistique pour l'Ingénieur Cours n° 10 Tests statistiques paramétriques HS-HS ; HS-HC ; HC-HC Ph. LERAY - A. ROGOZAN 1 UV Statistique Cours n°10 Tests entre 2 hypothèses SIMPLES (Rappel) • Exemple : Soit X~N(µ, σ2) où µ inconnue et σ connue. Tester 2 hypothèses simples (ex 2 du TD1.6) { H 0 :=0 HS H 1 :=1 10 HS } Région critique définie par X 0 − n1− n et = f n , 0 , 1 , constant fixé où α fixé Remarque : autre test avec les mêmes hypothèses simples, mais avec µ1>µ0 ⇒ région critique définie par Ph. LERAY - A. ROGOZAN X 0 n1− n fixé 2 UV Statistique Cours n°10 Hypothèse SIMPLE contre hypothèse COMPOSITE • Soit X une v.a. et θ l'unique paramètre inconnu de sa distribution de probabilité • Se pose le problème de tester { H 0 :=0 HS H 1 :∈E 0 ∉E HC } ⇒ résoudre le test : { H 0 :=0 HS H 1 :=i i ∈E HS • Si la région critique Wi est indépendante de i la région critique du test initial W = W i Ph. LERAY - A. ROGOZAN Η1: θ<θ0 ou θ>θ0 } β dépend de la valeur du paramètre θ θ∈Ε pour α fixée ⇒ 1-β(θ) est max / toute autre règle de décision } Test UPP 3 UV Statistique Cours n°10 Courbe de puissance d'un test (rappel) • Courbe de puissance d'un test = fonction qui à chaque valeur du paramètre θ associe la probabilité de rejeter l'hypothèse de référence H0 quand H1 est vrai ( ∈E ) 1−= P rejeter H 0∣valeur du paramètre=∈ E ∈[0, 1] • Définition d'un test UPP régi par la règle RUPP : ∀ ∈E tel que H 1 vrai , ∀ R, 1−RUPP ≥1−R Ph. LERAY - A. ROGOZAN 4 UV Statistique Cours n°10 Hypothèse SIMPLE contre hypothèse COMPOSITE • Soit X une v.a. et θ l'unique paramètre inconnu de sa distribution de probabilité { H 0 :=0 HS • Se pose le problème de tester : H 1 :∈E 0 ∉E HC } Η1: θ ≠ θ0 • Si région critique Wi n'est pas constante ⇒ la stratégie de « Neyman-Pearson » n'est pas applicable Stratégie retenue : • conserver la contrainte P [W∣H 0 ]= fixée • chercher une région critique « raisonnable » en s'appuyant sur une « fonction pivotale » Ph. LERAY - A. ROGOZAN } Test non UPP 5 UV Statistique Cours n°10 Hypothèse SIMPLE contre hypothèse COMPOSITE • Soit X une v.a. et θ l'unique paramètre inconnu de sa distribution de probabilité { } Test H 0 :=0 HS • Se pose le problème de tester : non H 1 :∈E 0 ∉E HC UPP Η1: θ ≠ θ0 • Si région critique Wi n'est pas constante ⇒ la stratégie de « Neyman-Pearson » n'est pas applicable • Remarques : α n'est pas constant mais < fixée (niveau de signification du test) β n'est pas constant mais dépend de la valeur du paramètre θ∈Η1 Ph. LERAY - A. ROGOZAN 6 UV Statistique Cours n°10 Hypothèse SIMPLE contre hypothèse COMPOSITE • Ex de « Test UPP » : Soit X~N(µ,σ2) où µ inconnue, σ connue ; Tester 1 HS contre 1 HC { H 0 :=0 HS H 1 :0 HC } Ex2.e/Chap1.6 Pour α fixé, déterminer la région critique, puis l'expression du risque β de 2ème espèce • Ex de « Test non-UPP » : Soit X~N(µ,σ2) où µ inconnu, σ connue ; Tester 1 HS contre 1 HC { H 0 :=0 HS H 1 :≠0 HC Ph. LERAY - A. ROGOZAN } Ex1.b/Chap1.6 Pour α fixé, déterminer la région critique, puis l'expression du risque β de 2ème espèce 7 UV Statistique Cours n°10 Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE • Soit X une v.a. et θ l'unique paramètre inconnu de sa distribution de probabilité • Se pose le problème de tester : { H 0 :0 HC H 1 : 0 HC } Th. de Lehman • Si la famille des lois Lθ est à rapport de vraisemblance monotone* ⇒ Région critique de forme T>A où A défini par : Test P T A∣=0 = fixée * } UPP S'il ∃ 1 statistique T telle que, pour θ'>θ, L x1 , , x n , ' L x 1 , , x n , Ph. LERAY - A. ROGOZAN est une fonction croissante de t 8 UV Statistique Cours n°10 Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE • Soit X une v.a. et θ l'unique paramètre inconnu de sa distribution de probabilité • Se pose le problème de tester : { H 0 :0 HC H 1 : 0 HC } • Si la famille des lois Lθ est à rapport de vraisemblance monotone* ⇒ Région critique de forme T>A où A défini par : Test P T A∣=0 = fixée } UPP Remarques : • α n'est pas constant mais < fixée (niveau de signification du test) • β n'est pas constant mais dépend de la valeur de θ∈Η1 • Si hypothèses inverses, idem avec T<A Ph. LERAY - A. ROGOZAN 9 UV Statistique Cours n°10 Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE • Montrer que la famille des lois : N(µ, σ2) avec σ connu, est à rapport de vraisemblance monotone • Ex de « Test UPP » : Soit X~B(n, p) où n inconnu ; Tester 1 HC contre 1 HC { H 0 : p p 0 HC H 1 : p p 0 HC Ph. LERAY - A. ROGOZAN } Ex3/Chap1.6 Pour α fixé déterminer la région critique, puis l'expression du risque β de 2ème espèce 10 UV Statistique Cours n°10 Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE • X suit une loi dépendant de plusieurs paramètres inconnus, dont le paramètre θ sur lequel porte le test : { H 0 :=0 , autres paramètres inconnus HC H 1 :,,≠0 , autres paramètres inconnus HC } • Pas de test UPP ⇒ la stratégie de «Neyman-Pearson» non applicable • Stratégie retenue : • trouver une fonction pivotale de θ • chercher une région critique « raisonnable » • déterminer le seuil avec la contrainte : } Test non UPP =P [W∣H 0 ] fixée Ph. LERAY - A. ROGOZAN 11 UV Statistique Cours n°10 Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE • Ex «Test unilatéral non-UPP» : Soit X~N(µ, σ2) où µ et σ inconnus ; Tester 1 HC contre 1 HC { H 0 :=0 , inconnu HC H 1 :0 , inconnu HC } Pour α fixé, déterminer la région critique, puis l'expression du risque β de 2ème espèce • Ex «Test bilatéral non-UPP» : Soit X~N(µ, σ2) où µ et σ inconnus ; Tester 1 HC contre 1 HC { H 0 :=0 , inconnu HC H 1 :≠0 , inconnu HC Ph. LERAY - A. ROGOZAN } Pour α fixé, déterminer la région critique, puis l'expression du risque β de 2ème espèce 12 UV Statistique Cours n°10 Hypothèse COMPOSITE contre hypothèse COMPOSITE • Ex «Test unilatéral non-UPP» : Soit X~N(µ, σ2) où µ et σ inconnus ; Tester 1 HC contre 1 HC { 2 2 0 2 0 H 0 : = , inconnu HC 2 H 1 : , inconnu HC } Pour α fixé, déterminer la région critique, puis l'expression du risque β de 2ème espèce • Ex «Test bilatéral non-UPP» : Soit X~N(µ, σ2) où µ et σ inconnus ; Tester 1 HC contre 1 HC Ex4/Chap1.6 { 2 2 H 0 : = 0 , inconnu HC 2 2 H 1 : ≠ 0 , inconnu HC Ph. LERAY - A. ROGOZAN } Pour α fixé, déterminer la région critique, puis l'expression du risque β de 2ème espèce 13 UV Statistique Cours n°10 Classification des tests paramétriques HS – HS = = UPP Neyman-Pearson L n 1 W ={ k } L n 0 = < =const =constant Ph. LERAY - A. ROGOZAN = ≠ UPP non-UPP Wi=W , ∀i Wi=g(i) Découpe du test A A W : = fixée HC – HC HS – HC = fixée = f Résolution fondée sur la « fonction pivotale » fixée = f > < UPP Lehman L n 1 monotone L n 0 =, ... <, ... Non-UPP Résolution fondée sur la « fonction pivotale » W :T A fixée = f 14 UV Statistique Cours n°10 P-value ou probabilité critique • P-value ou probabilité critique le plus petit α qui aurait fait changer la décision Ph. LERAY - A. ROGOZAN 15