Introduction à la logique

Introduction à la logique
Michel Lévy
29 avril 2009

2

Table des matières
1 Logique propositionnelle 7
1.1 Syntaxe .................................................. 8
1.1.1 Formulesstrictes ......................................... 8
1.1.2 Formulesàpriorité........................................ 8
1.1.3 Notationsbooléennes....................................... 9
1.2 Sensdesformules............................................. 9
1.2.1 Sensdesconnectives....................................... 9
1.2.2 Valeurd’uneformule....................................... 9
1.2.2.1 Équivalence ...................................... 10
1.2.2.2 Valide ......................................... 10
1.2.2.3 Modèle, Satisfaisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2.4 Conséquence...................................... 11
1.3 Les connectives et le langage mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Substitutionetremplacement....................................... 12
1.4.1 Substitution............................................ 12
1.4.2 Remplacement .......................................... 13
1.5 Équivalencesremarquables........................................ 14
1.6 AlgèbredeBoole ............................................. 15
1.7 Dualité................................................... 15
1.8 FormesNormales............................................. 16
1.8.1 Définitions ............................................ 16
1.8.2 Transformation en sommes de monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.2.1 Transformation de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.2.2 Ordre des transformations et simplifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.3 Utilisation des sommes de monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.4 Transformation en produit de sommes de littéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Fonctionsbooléennes........................................... 18
1.9.1 Fonctions booléennes et somme de monômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.2 Fonctions booléennes et produit de clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10Exercices ................................................. 20
2 Résolution propositionnelle 25
2.1 Systèmedelarésolution ......................................... 25
2.2 Complétude du système de la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Affectationd’unlittéral...................................... 27
2.2.2 Complétude de la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Restriction de la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Stratégiecomplète ............................................ 30
2.3.1 Clauses et ensembles de littéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Réduction d’un ensemble de clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3

2.3.3 Construction de toutes les clauses déduites d’un ensemble de clauses . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3.1 Plan de la construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3.2 Construction des suites ∆i(i≥0)et Θi(i≥0)....................... 31
2.3.4 Clausesminimales ........................................ 32
2.4 AlgorithmedeDavisetPutnam...................................... 33
2.4.1 Suppression des clauses qui ont des littéraux isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Résolutionunitaire........................................ 34
2.4.3 Algorithme de Davis et Putnam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Exercices ................................................. 37
3 Déduction Naturelle 39
3.1 Lesystèmeformel............................................. 39
3.1.1 Lesrègles............................................. 39
3.1.2 Preuve .............................................. 40
3.1.2.1 Brouillondepreuve .................................. 40
3.1.2.2 Contexte des lignes d’un brouillon de preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.2.3 Formulesutilisables.................................. 41
3.1.2.4 Preuves ........................................ 41
3.2 Cohérence de la déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Complétude de la déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Exercices ................................................. 47
4 Logique du premier ordre 49
4.1 Lelangage................................................. 49
4.1.1 Formulesstrictes ......................................... 49
4.1.1.1 Levocabulaire..................................... 49
4.1.1.2 Termes ........................................ 49
4.1.1.3 Formulesatomiques.................................. 49
4.1.1.4 Formules........................................ 50
4.1.2 Formulesàpriorité........................................ 50
4.1.3 Variableslibresetliées...................................... 51
4.1.3.1 Occurrences libres et liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.3.2 Variables libres et liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Lesensdesformules ........................................... 51
4.2.1 Interprétation........................................... 52
4.2.2 Sens des termes et des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2.1 Sensdestermes .................................... 52
4.2.2.2 Sens des formules atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.2.3 Sensdesformules ................................... 53
4.2.2.4 Modèle, validité, conséquence, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.3 Signature ............................................. 54
4.2.4 Instanciation ........................................... 55
4.2.5 Interprétationfinie ........................................ 55
4.2.5.1 Les entiers et leurs représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.5.2 Expansion d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.5.3 Interprétation et assignation propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.5.4 De l’assignation à l’interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.5.5 De l’interprétation à l’assignation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.5.6 Recherche d’un modèle fini d’une formule fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.5.6.1 Formule fermée sans symbole de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.5.6.2 Formule fermée avec symbole de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.6 Substitution et remplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4

4.3 Équivalencesremarquables........................................ 58
4.3.1 Relation entre ∀et ∃....................................... 58
4.3.2 Déplacement des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.3 Changement de variables liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Exercices ................................................. 61
5 Déduction Naturelle : quantificateurs et égalité 65
5.1 Lesrègles................................................. 65
5.1.1 Règlesdesquantificateurs .................................... 65
5.1.2 Lesrèglesdel’égalité ...................................... 67
5.1.3 Tactiquesdepreuves ....................................... 67
5.1.3.1 Raisonner en avant avec une hypothèse d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.3.2 Raisonner en arrière pour généraliser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.3.3 Un exemple d’application des tactiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.3.3.1 Plandelapreuve .............................. 69
5.1.3.3.2 Application de la tactique utilisant une hypothèse d’existence . . . . . . . 69
5.1.3.3.3 Application de la tactique pour obtenir une conclusion générale . . . . . . 69
5.2 Cohérencedusystème .......................................... 70
5.2.1 Propriétés de la conséquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 Preuvedelacohérence...................................... 71
5.3 Exercices ................................................. 73
6 Base de la démonstration automatique 75
6.1 Interprétation de Herbrand et théorème de Herbrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Skolémisation............................................... 78
6.2.1 Exemples et propriétés de la skolémisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2.2 Comment skolémiser une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2.2.1 Transformation en formule normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2.2 Transformation en formule propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2.3 Élimination des quantificateurs existentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2.4 Transformation en formule universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.3 Skolémiser un ensemble de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2.4 Formeclausale .......................................... 81
6.3 Résolutionaupremierordre ....................................... 83
6.3.1 Unification ............................................ 83
6.3.1.1 Définition de la solution la plus générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3.1.2 Algorithme d’unification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.1.2.1 Plan de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.1.2.2 Les règles de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.1.2.3 Correction de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.1.2.4 Terminaison de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.2 Règlesdelarésolution...................................... 86
6.3.2.1 Factorisation...................................... 86
6.3.2.2 Copied’uneclause .................................. 86
6.3.2.3 Résolvantbinaire ................................... 86
6.3.2.4 Preuve par factorisation, copie et résolution binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.3 Complétude de la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.3.1 Résolution 1oordre .................................. 87
6.3.3.2 Trois notions de preuve par résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.3.3 Lemmedurelèvement................................. 88
6.4 Exercices ................................................. 90
5